树状六角系统的一些基于顶点度的拓扑指数

刘剑萍， 郑瑞玲, 陈锦松

(福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州 350116)

0 引言

一个2-连通的平面图若其每个有限面是一个单位边长的正六角形， 则称之为六角系统. 六角系统也称为多六边形图或苯系统(蜂窝系统). 六角系统在理论化学方面是十分重要的， 因为它们是苯分子结构的自然图形表示[1].

设G是一个六角系统， 以G中所有单位正六角形的中心为顶点集， 以相邻正六角形中心的连线为边集的图称为图G的特征图. 一个六角系统若其特征图是路， 则称之为六角链， 用Θh表示含有h个六角形的六角链的集合. 六角链具有如下性质： 1) 没有一个顶点同时属于3个六角形； 2) 每个六角形至多与2个六角形邻接. 六角链是苯分子的一个重要子类的图示. 一个六角系统若其特征图是树， 则称为树状六角系统(见图1). 用Ch∈Φh表示具有h个六角形的树状六角系统的集合. 对任意的Ch∈Φh， 用D(Ch)表示Ch的特征图. 显然， 树状六角系统的特征图的最大度不会超过3.

图1 不同类型的树状六角系统 Fig.1 Different kinds of catacondensed hexagonal systems

图2 树状六角系统中的转向六角形与分枝六角形 Fig.2 The turned hexagon and the branched hexagon in catacondensed hexagonal systems

对任意的Ch∈Φh， 若Ch中的一个六角形S恰有两个相邻的2度点， 则称S为转向六角形(turned hexagon)； 若Ch中的一个六角形S没有2度点， 则称S为分枝六角形(branched hexagon)(见图2). 令a(Ch)(b(Ch))表示Ch的转向六角形的个数(分枝六角形的个数).Ch的一个转向六角形(分枝六角形)在特征图D(Ch)中对应一个2度点(3度点). 没有转向六角形和分枝六角形的树状六角系统称之为线性六角链， 用Lh表示具有h个六角形的线性六角链(见图1) . 若Bh∈Θh中的转向六角形的个数恰为h-2个则称之为锯齿型链状六角系统， 记为Zh.

本研究主要考虑树状六角系统基于顶点度的一些拓扑指数， 关于这方面的近期结论有： 2011年, Chen等[6]给出了树状六角系统的ABC指数一般表达式. 2013年， Rada等[7]通过定义树状六角系统的2种变换给出了其基于顶点度的拓扑指数的表示式， 但文献[7]中一些结构的定义较含糊且有一些错误， 例如A2,A3,Eh等. 由以上分析可知， 文献[7]中的A2、A3分别为本研究中的转向六角形、 分枝六角形. 本研究将用另一种方法， 即从图的直接构造入手， 结合数学归纳法给出树状六角系统基于顶点度的一些拓扑指数和该六角系统的转向六角形个数以及分枝六角形个数的函数递推式， 并刻画了其对应的极图.

1 树状六角系统基于顶点度的拓扑指数的递推式

图3 极图集Ψh中的一些六角系统Fig.3 Examples of catacondensed hexagonal systems in the set Ψh of extremal graphs

以下给出树状六角系统基于顶点度的拓扑指数和该六角系统的转向六角形个数a(Ch)以及分枝六角形个数b(Ch)的函数递推式， 并确定其对应的极图.

定理1设Ch∈Φh， 则

I)I(Ch)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch)).

II) 若x22-2x23+x33<0， 则I(Ch)关于a(Ch)或b(Ch)是单调递减函数， 且I(Eh)≤I(Ch)≤I(Lh)， 其中Eh∈Ψh.

III) 若x22-2x23+x33>0， 则I(Ch)关于a(Ch)或b(Ch)是单调递增函数， 且I(Lh)≤I(Ch)≤I(Eh)， 其中Eh∈Ψh.

IV) 若x22-2x23+x33=0， 则I(Ch)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h=I(Lh).

证明 I) 对h用数学归纳法.

若h=1， 则a(C1)=b(C1)=0且有I(C1)=6x22， 结论成立.

若h=2， 则a(C2)=b(C2)=0且有I(C2)=6x22+4x23+x33， 结论也成立.

若h=3，b(C3)=0， 此时a(C3)=0(或a(C3)=1)， 那么I(C3)=6x22+8x23+2x33(或I(C3)=7x22+6x23+3x33)， 因此 I )对h=3也成立.

假设对所有的Ch-1∈Φh-1(h≥4)， I)成立. 即I(Ch-1)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)· (h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1)).

由于对任意Ch∈Φh总可以通过某个Ch-1再粘上第h个六角形sh得到. 不失一般性， 可以假设六角形sh和Ch-1中的六角形si相邻. 于是在新的树状六角系统Ch中si有如下3种情况.

情形1. 若si是Ch的一个分枝六角形. 那么a(Ch)=a(Ch-1)-1并且b(Ch)=b(Ch-1)+1. 由归纳假设和直接计算可得:

I(Ch) =I(Ch-1)+(2x22+3x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)(h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))+(2x22+3x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)-1+3(b(Ch-1)+1))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))

I)成立.

情形2. 若si是Ch的一个转向六角形. 那么a(Ch)=a(Ch-1)+1， 并且b(Ch)=b(Ch-1). 由归纳假设和直接计算可得:

I(Ch) =I(Ch-1)+(x22+2x23+2x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)(h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))+(x22+2x23+2x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+1+3b(Ch-1))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))

综上， I) 成立.

情形3. 若si既不是Ch的一个转向六角形也不是Ch的一个分枝六角形. 那么a(Ch)=a(Ch-1)， 并且b(Ch)=b(Ch-1). 由归纳假设和直接计算可得:

I(Ch) =I(Ch-1)+(4x23+x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)(h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))+(4x23+x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))成立.

综上， I )成立.

II) 若x22-2x23+x33<0， 由I)可知I(Ch)关于a(Ch)或b(Ch)是单调递减函数. 由于 0=a(Lh)≤a(Ch)， 0=b(Lh)≤b(Ch)， 因此I(Ch)≤I(Lh).

I(Eh) =(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Eh)+3b(Eh))

I(Ch) =(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)((a(Ch)+2b(Ch))+b(Ch))

=I(Eh)

III) 同理可证 若x22-2x23+x33>0， 则III)成立.

IV) 若x22-2x23+x33=0， 由I )即得. 定理1得证 .

注意到六角链中不含分枝六角形， 由定理1即可得到如下关于六角链的基于顶点度的拓扑指数的表示式.

定理2设Bh∈Θh， 则

I)I(Bh)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)a(Bh).

II) 若x22-2x23+x33<0， 则I(Bh)关于a(Bh)是单调递减函数， 且I(Zh)≤I(Bh)≤I(Lh).

III) 若x22-2x23+x33>0， 则I(Bh)关于a(Bh)是单调递增函数， 且I(Lh)≤I(Bh)≤I(Zh).

IV) 若x22-2x23+x33=0， 则I(Bh)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h=I(Lh).

记q=x22-2x23+x33， 接下来将着重讨论以下几种基于顶点度的拓扑指数.

根据以上讨论并结合定理1可得以下定理：

定理3设Ch∈Φh， 则对于图的广义Randic指数、 广义的和连通指数(α>1或α<0)、 第一类几何—算术指数、 调和指数以及增强型萨格勒布指数都有I(Lh)≤I(Ch)≤I(Eh)， 其中Eh∈Ψh.

定理4设Ch∈Φh， 则对于图的广义的和连通指数(0<α<1)和ABC指数有I(Eh)≤I(Ch)≤I(Lh)， 其中Eh∈Ψh.

设Ch∈Φh， 则对于图的第一类Zagreb指数有q=0， 结合定理1知M1(Ch)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h=26h-2.

定理5设Ch∈Φh， 则Ch的第一类Zagreb指数为M1(Ch)=26h-2.

2 结语

本研究根据图的基于顶点度的拓扑指数的定义， 从树状六角系统的直接构造入手， 结合数学归纳法等， 给出了树状六角系统基于顶点度的拓扑指数和该六角系统的转向六角形个数以及分枝六角形个数的函数递推式， 并确定了相应的极图. 在此基础上， 讨论了树状六角系统的关于以下6种拓扑指数的极值问题： 广义的Randic指数、 广义的和连通指数、 第一类几何—算术指数、 调和指数、 ABC指数和增强型萨格勒布指数.

参考文献：

[1] GUTMAN I, CYVIN S J. Introduction to the theory of benzenoid hydrocarbons[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1989.

[2] DONG H, GUO X. Character of trees with extreme Balaban index[J]. Match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2011, 66(1): 261-272.

[3] DAS K, SORGUN S. On Randic energy of graphs[J]. Match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2014, 72(1): 227-238.

[4] FURTULA B, GUTMAN I, DEHMER M. On structure-sensitivity of degree-based topological indices[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 219(17): 8973-8978.

[5] LI X, GUTMAN I. Mathematical aspects of Randic-type molecular structure descriptors[M]. Kragujevac： University of Kragujevac, 2006.

[6] CHEN J, GUO X. Extreme atom-bond connectivity index of graphs[J]. Match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2011, 65(3): 713-722.

[7] RADA J, ROBERTO C, GUTMAN I. Vertex-degree-based topological indices of catacondensed hexagonal[J]. Chemical Physics Letters, 2013, 572: 154-157.