分类思想在人教版初中数学教材中的作用及其教学启示

☉浙江省台州市白云中学 张安军

数学思想可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型.［1］分类可看作是数学抽象派生出来的一种重要的思想方法，分类思想在义务教育初中数学教材中有着广泛的应用.发展和提升学生数学核心素养是数学教育的目的和归宿，而数学思想是数学核心素养的重要体现，分类思想是学生在学习数学过程中经常遇到的思想方法之一.本文以人教版初中数学教材编写为例，以分类思想的视角看教材的编排，挖掘教材中隐含的分类思想，教学中有机地融入分类思想，帮助学生形成分类思想，谈一些思考.

一、“分类”的视角看教材的编排

分类这一数学思想在人教版初中数学教材中有着广泛的渗透，从教材的知识结构，概念、法则、定理的形成过程，例题、习题的编排设计，我们都可以发现蕴含其中的分类思想.

1.“分类”是理解数学教材内容的关键一环

法国抽象数学的主角布尔巴基（Bour-baki）指出：“数学不是研究数量的，而是研究结构的.数学知识结构主要是指数学内容结构与数学方法结构，它不仅包括数学的基本概念和一般原理，而且还包括基本的数学方法、数学思想和数学观念.”数学内容结构既指数学教材内容的编排结构——数学内容及其排列、组合方式，也指数学内容本身所固有的内在的逻辑结构.［2］数学教材是按照数学结构进行分类并展开学习，例如，初中数学内容把数学分成“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合实践与应用”，其中“图形与几何”在人教版数学义务教科书中分成平面图形和立体图形，其中平面图形可分成直线型和曲线型，直线型又按边（线段）的条数进行分类，具体如图1所示：

图1

点是构成图形的基本元素，点动成线，线分成直线型和曲线型，“图形与几何”的编排，从宏观上以“线”为线索进行分类，从直线型到曲线型，从简单的两条直线的位置关系到多边形.微观上对于具体的几何图形首先是进行分类，然后再进行相关性质的探索，例如，三角形，首先对构成要素进行分类，顶点——边——内角——三角形；其后三角形按边的关系对三角形分成等腰三角形和三边都不相等的三角形；按照角的大小，可以将三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按构成的元素重要性可分成主要元素和相关要素，边和角是构成三角形的主要元素，三角形的角平分线、中线、高是构成三角形的相关要素.

上述不仅“图形与几何”的编排渗透分类思想，“数与代数”、“统计与概率”也渗透分类思想，可以说分类渗透数学教材内容中的每一个环节，分类的方法可以确定一种研究这个结构的逻辑顺序.理解教材是教好学生的其中一个前提，而分类的思想和方法是理解教材最好的切入点.

2.“分类”的眼光看概念、法则、定理形成和编排

在人教版初中数学教材中的概念、法则、定理等蕴含着丰富的分类思想.有的数学概念直接用分类的方法定义，如整数和分数统称有理数，有理数和无理数统称实数等.有的数学概念定义方式是种加属差，例如矩形，教材中利用平行四边形的不稳定性，当一组邻边的位置特殊化为垂直时，此时平行四边形矩形；因此从具体的情境中先确认它是否平行四边形，若为平行四边形再确认它的一组邻边位置关系是否垂直，从两个维度进行两次分类，同样正方形（菱形）从三个维度进行三次（二次）分类.又如，一元二次方程的概念，教材中先结合具体情境，列出一元二次方程，让学生概括这些方程的共同特点，是否是方程，等号两边是否都是整式，方程中是否只含有一个未知数，未知数的最高次数是否为二次，从四个维度进行四次分类.其实人教版有大量概念蕴含着丰富的分类思想，从数学内在逻辑明晰概念的内涵和外延.

有理数加法法则在人教版的教材中是这样引入的“引入负数后，除已有的正数与正数、正数与0相加外，还有负数与负数、负数与正数相加、负数与0相加等”.教材中把两个有理数相加通过分类的方法，哪一类有理数相加是熟悉的，哪些是陌生，明确本节课要探究的目标，化陌生为熟悉.此外教材中换乘（除）法则、去括号法则等渗透着分类思想.

有些定理，通过对它们的分类，可以确定一种研究这个结构的逻辑顺序，按类各个击破，形成一个新方法来证明这个结构的结果，有时，某种结果就是通过分类来证明，例如，教材中的圆周角定理的证明，以圆心在圆周角的位置为标准分成三类，当圆心在圆周角的边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部，化繁为简，各个击破.又如，线段垂直平分线性质定理：“垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，在证明时，当垂直平分线上的点在这条线段的中点上和不在已知线段上两种情形.

其实不仅在概念、法则、定理蕴含着分类思想，而且在一些内容安排上渗透着分类思想，例如，一次函数这一单元内容的安排上，以一次函数的解析式y=kx+b（k，b为常数且k≠0）中的b是否为0进行分类，当b＝0时为正比例函数，是一次函数的一种特殊情况；当b≠0时为一次函数的一般情形.

3.分类的眼光看教材局部和整体的和谐融合

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.分类是以比较为基础的，通过比较，不仅能识别各对象之间的差异性，而且也能发现各对象之间的共性.分类的本质是把一个复杂对象按照一定的标准分成几个部分，如果用集合语言表示，设某一对象的集合为M，按照对象的某一性质分为若干个子集M1，M2，…，Mn，使得：（1）M=M1∪M2∪…∪Mn；（不漏）（2）Mi∩Mj=Ø（i≠j，1≤i，j≤n）（不重）.那么M1，M2，…，Mn叫做M的一级分类.集合M中M1，M2，…，Mn虽在某一性质不相同，但在整体上它们都有共性.例如，初中的函数模型分为一次函数、二次函数和反比例函数，在函数的性质上虽不相同，但用整体的眼光，系统的视野下它们都存在共性，即通过引入变量，用变量之间的对应关系描述事物的变化过程，研究一个量变化时，另一个变量是如何变化的规律，从定性的刻画到定理的描述.具体表现各章节中都是在具体情境中得到所要研究的函数对象，然后加以定义，画出图像、观察图像、获得性质等认知过程，体会函数的直观研究方法，掌握这几类典型的函数模型的图像性质，并能运用这些函数模型描述、研究具体函数的变化过程，进而解决问题.［3］从中发现教材以分类的视角能起到化繁为简的作用，帮助我们更好地了解和认识事物，学生在对每一个部分的认识其实质恰好是从积累数学活动经验到数学思想方法的提升，同时对各分类的综合又能帮助学生形成整体的视野.

二、教学启示

1.通过分类，有效地促成新、旧知识的网络架构

学生的知识积累是渐进的，知识网络是逐步扩展的.因此，在学习过程中都要及时引导学生进行知识的组织和整理，建立涵盖新、旧知识的新的知识网络.分类思想可以使数学知识条理化、系统化、结构化，有助于学生更好地掌握知识和形成良好的知识结构，例如，在“直线与圆的位置关系”一课教学时，可以通过分类线与线的位置关系这个视角引入新课，先回顾直线与直线的位置关系及分类标准是什么，然后提出线与线的位置关系除了直线型，是否还存在其他线与线的位置关系呢（线有直线和曲线，目前已学过的特殊封闭曲线就是圆）？这样引入不仅自然，而且把将要学习的内容类比直线与直线的位置关系，从而构建新的知识网络，如图2所示.

图2

同时，也可以在本节课的小结中通过与上一节“点与圆的位置关系”进行比较，并提出下一节课所要探讨的学习主题，从而帮助学生进一步完善知识结构，既加强新、旧知识之间的联系，又在原有的知识网络中自然而合理地提出下一节课（三解形内切圆）所要探讨的问题.

点和圆的位置关系 直线与圆的位置关系点在圆上⇔d=r 直线与圆相切⇔d=r点在圆外⇔d>r 直线与圆相离⇔d>r点在圆内⇔d

知识只有成了系统，才能被我们充分掌握.脑子里装满了片断的毫无联系的知识，那就像东西放得杂乱无章的仓库一样，连主人自己也无法从中找到他所需要的东西．不仅是新授课要有意识渗透分类思想，其实人教版每个章节的单元小结中，都渗透着分类思想，构建出本章的知识结构，把本章节知识形成了系统化.

2.通过分类，有效地促进概念、法则等理解

数学概念、法则、定理等是构成数学的基础，在教学中不仅要关注结果，还要注重概念、法则等形成的过程.通过分类可以促进概念、法则、定理的理解.例如，在人教版八（上）“从分数到分式”这一课中，可以先通过对两个整数（整式）进行四则运算，得到结果有整数和分数，对运算结果的分类整理如下表.

用整式a和a+3进行四则运算，它们的运算结果还是整式吗？运算 加、减、乘法 除法 加、减、乘法 除法结果 整数 分数 整式 ？问题用整数2和5进行四则运算，它们的运算结果还是整数吗？

通过比较，让学生类比整数到分数，从数到式，两个整式相除可以得到分式，分式的实质是两个整式不能整除时，结果用分式表示，可见分式从形式上看类似于分数，都有分数线；从分式产生的角度看，是因为两个整式进行除法.［4］这样就帮助学生进一步明确整式和分式的概念.教材中有许多处都渗透分类思想，需要我们老师用心挖掘，并自觉地加以利用.为了方便起见，笔者统计了数与代数、几何与图形涉及分类思想的内容（不含习题和阅读材料等栏目的内容）如下表.

数与代数 几何与图形有理数的概念，有理数的绝对值几何图形的分类（平面图形、立体图形）有理数加、乘、除法法则 从不同方向看立体图形有理数的乘方，整式的概念，字母表示数取值分类，去括号法则直线段的分类，点和线段位置关系，角的分类（以角的始边和终边位置关系）象限分类，等式性质，不等式性质 直线与直线的位置关系数的平方根、立方根，实数的分类两条直线被第三条直线所截构成角的分类同底数幂除法，因式分解方法分类三角形按边分类，三角形按角分类分式、二次根式的概念及 a2全等三角形判定条件分类正比例函数性质和一次函数性质姨 的化简等腰三角形腰和底角不确定性引起的分类一元二次方程概念、根的判别式直角三角形直角的不确定性引起分类二次函数的图像及其性质的分类平行四边形判定和性质定理，特殊平行四边形分类反比例函数图像及其性质圆弧的概念，圆的有关性质，圆周角定理三角函数的概念 点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系

当然对于分类思想，这里面要讲清两个要点.首先，要明白为什么要分类，分类的原因是什么？教材中有的是为了条理化进行分类，例如，有理数的概念，由于引进了负数，数的地盘扩大，如何把仓库里的有理数进行条理化、秩序化，此时对有理数进行分类；有的是为了区别需要分类，例如，三角形中按最大的角进行分类；有的是数学运算引起的分类，如运算中除数为不零；有的是图形位置、形状变化引起的分类，如直线与直线的位置关系；此外还有具体问题等原因引起的分类.其次，在分类时，要正确选择分类的标准，分类的标准是将数学对象不重复、不遗漏的划分.

3.通过分类，有效地提升知识关联度和迁移能力

让学生用相同或相似的方法做事，是深刻体会数学思想方法、积累数学活动经验的有效途径.用相同的方法做相同的事情，是复习；用相同的方法做不同的事，则是迁移.“通过分类活动，可以提升知识结构的关联度和迁移度，促进学生有效积累数学活动经验、提升数学方法.［3］”代数式分为整式、分式和二次根式，式与式之间虽有不同，但也有着相同性，这就是用代数运算加以表达的问题，这里的运算指的就是加、减、乘、除、乘方和开方，代数学的基础就是运算律，用运算律可以有效地解决各种各样的代数问题.用字母表示数，数的一般化就是式，数式通性，因此在“有理数”一章进行了系统的“数及其运算”的学习，初步建立了研究数系扩张、运算法则和运算律的“基本套路”，为后续学习奠定了代数的基本思想和基本方法的基础.在数的扩充过程中：引入一种新的数，先研究它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算律.这是代数学的基本思路.同样教材中整式、分式和二次根式也是先具体代数式的概念（定义研究对象）——具体代数式的性质——具体代数式的运算（运算法则和运算律的应用），其中概念、性质是运算的基础，在运算中自然地提出“如何算”，并运用运算律得到相应的运算法则，从而有效地、系统地进行各类代数式的运算.

其实不仅仅是代数式，例如，函数、几何图形等在研究上都有着共同的“基本套路”，例如，通过对函数的分类，可以分成一次函数、二次函数和反比例函数，虽然一次函数和反比例函数在性质上有所不同，但是它们在研究的内容、思路、方法和结果上有着相似性，这就是学生在学习过程中用相同的方法做不同的事情，又如，对几何图形中三角形的研究，教材的知识结构是三角形→等腰三角形→直角三角形，体现了从整体到局部，从一般到特殊，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索.［5］这里做不同的事情就是基本活动经验，相同的方法就是数学的思想和方法，数学思想方法就是在基本活动经验中累积和提升.

参考文献：

1.史宁中.漫谈数学的基本思想［J］.中国大学教学，2011（7）.

2.李昌官.试论数学教学的结构性原则［J］.课程·教材·教法，2002（5）.

3.吴增生.基于系统思维的二次函数图象性质教学策略［J］.中学数学教学参考，2015（9）.

4.张安军.从概念教学几个片断谈概念教学立意的三个层次［J］.中国数学教育，2017（9）.

5.张安军.著名特级教师和优秀青年教师“同课异构”的比较与启示［J］.中学数学（下），2017（3）.F