倾斜轨道对地指向小卫星对日跟踪姿态控制算法

刘燎 孙华苗 李立涛 张迎春,

(1 深圳航天东方红海特卫星有限公司，广东深圳 518064) (2 哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨 150001)

卫星采用倾斜轨道，可在不同的时间段(包括夜间)对地面进行观测，因此对实现某种特定的任务目标具有更多的优势[1]。由于升交点赤经漂移和地球绕太阳公转运动，倾斜轨道上太阳光和轨道面夹角的变化要比太阳同步轨道复杂，太阳电池阵的在轨光照条件比较恶劣[2]，例如轨道高度900 km、45°倾角的圆轨道，轨道太阳角在±68°之间变化[3]，对卫星的热控设计和太阳电池阵的充电等带来了挑战[4-5]。目前，倾斜轨道也成为小卫星经常采用的轨道，而小卫星一般采用固定安装太阳电池阵的构型[6]，导致对地定向姿态时光照条件比较恶劣，因此必须寻求其他解决方案。

文献[7]中对倾斜轨道光照特性进行了深入分析，并分别提出惯性定向和对地定向2种航天器太阳电池阵对日跟踪的方法。文献[8]中针对倾斜轨道卫星太阳电池阵对日定向问题，提出了一种最优偏航角计算方法，对每个轨道太阳角计算出一个最优的偏航角ψ，使卫星偏航轴根据每轨太阳方向矢量符号分别偏置±ψ，再配合单轴驱动太阳电池阵，即可保证得到比较优化的光照条件。以上方法均具有一定的优越性，但是要配置单自由度太阳电池阵驱动机构，并不适用于采用固定安装太阳电池阵形式的小卫星对日姿态控制。文献[9]中从规避太阳光的角度对倾斜轨道小卫星机动方案进行设计，提出了平台偏航姿态机动方案，对小卫星采用姿态机动实现太阳跟踪有一定的借鉴价值，但是该方案只是偏置一定角度，无法实现太阳电池阵对太阳光的实时跟踪。对于任务要求是对地指向的小卫星，在满足对地指向条件下，要使太阳电池阵获得最优的光照条件，采用偏航轴姿态机动，从而实现太阳跟踪控制，是可行的解决方法。

本文研究了对地指向小卫星的期望姿态，对太阳电池阵法线和太阳方向矢量的关系进行数学建模，推导了最优偏航角、角速度和角加速度，设计了控制律，并对其稳定性进行分析；最后通过实例仿真验证了控制律的有效性，证明姿态控制算法能实现太阳电池阵对太阳的实时跟踪，最大程度地满足太阳电池阵的充电需求。

1 姿态控制算法

在对地指向小卫星姿态控制中，参考坐标系一般选定为轨道坐标系(ORC)，记为OXoYoZo，卫星本体坐标系(SBC)记为OXbYbZb，若卫星本体坐标系与轨道坐标系的姿态偏差为零，则2个坐标系的坐标轴重合，卫星本体坐标系、轨道坐标系与地球的

关系如图1所示。

在保证对地指向小卫星满足+Zb轴对地约束下，对太阳方向矢量和太阳电池阵法线的相对关系进行建模。通过推导，得出姿态运动中期望的偏航角、角速度和角加速度，对姿态进行规划，使对地指向小卫星在运行中始终保持太阳电池阵和太阳方向矢量的夹角最小，保证太阳电池阵最优的光照条件。对姿态控制算法进行控制律设计，并利用Lyapunov稳定性理论[10]对控制稳定性进行证明。

1.1 数学建模

轨道太阳角β定义为太阳方向矢量和轨道面的夹角，偏向轨道法线方向为正。太阳方向单位矢量vs和太阳电池阵法线方向单位矢量vn在轨道坐标系下的关系示意，见图2。其中：ψ为小卫星偏航角；α为vn与轨道坐标系-Zo轴的夹角，通过偏航控制，vn形成一个绕轨道坐标系-Zo轴、半锥角为α的圆锥面；γ为vs与轨道坐标系-Yo轴的夹角；θ为vs在轨道坐标系XoOZo面内的投影与轨道坐标系+Zo轴的夹角，随着卫星在轨道上运动，vs形成一个绕轨道坐标系-Yo轴、半锥角为γ的圆锥面；η为vs和vn之间的夹角。

对地指向小卫星需要本体坐标系+Zb轴稳定对地，随着小卫星在轨道上运动，太阳方向在轨道坐标系中不断变化，通过小卫星的偏航机动可实现太阳电池阵最优的对日定向。当η>α+γ时，如图2(a)所示，2个圆锥无交线，太阳电池阵无法实现准确对日，只能以最优夹角尽可能对日；当η≤α+γ时，如图2(b)所示，2个圆锥有2个交点A和B，或者1个交点，通过偏航机动即可实现太阳电池阵对日定向。

vs·vn=cosη=f(ψ)

(1)

当f(ψ)取最大值时，太阳电池阵法线方向和太阳方向夹角最小，太阳电池阵受照情况最优。

f(ψ)取极值的必要条件为

df(ψ)/dψ=-sinα(sinγsinθsinψ+cosγcosψ)=0

(2)

因此

sinγsinθsinψ+cosγcosψ=0

(3)

或者

sinα=0

(4)

式(4)成立时，α=0或π，式(2)直接为零，无法找出最优的偏航角，因此仅对式(3)中的情况进行分析。当式(3)为零，即f(ψ)取得极值的充分条件为

(5)

f(ψ)的二阶导数为

(6)

当ψ=π/2+arctan(tanγsinθ)时，可得

(7)

当ψ=-π/2+arctan(tanγsinθ)时，可得

(8)

对情况②进行分析，情况③类似。

tan(ψ+π/2)=tanγsinθ

(9)

式(9)对时间求导，可得

(10)

由式(10)可得偏航角速度为

(11)

式(11)对时间求导,可得偏航角加速度为

(12)

1.2 控制律设计

将小卫星看成刚体，为了简化控制律设计，假设小卫星的执行机构为3个互相垂直的反作用飞轮，则小卫星姿态动力学方程为

(13)

(14)

式中：I为小卫星相对质心的惯性张量；ωbi为小卫星相对惯性坐标系(J2000坐标系)的角速度在本体坐标系中的分量；h为小卫星反作用飞轮的角动量；Nd为小卫星在轨受到的干扰力矩，包括重力梯度力矩、气动力矩、太阳光压力矩等；Nw为作用在小卫星反作用飞轮上的控制力矩。

D(ωbi-ωc)+Kqvec

(15)

姿态控制系统的闭环控制方程为

(16)

小卫星相对惯性坐标系下的姿态角速度与参考坐标系下的姿态角速度的差记为ωe=ωbi-ωc，则式(16)可转化为

(17)

利用Lyapunov直接法证明此控制的渐近稳定性。令Lyapunov函数为

(18)

式(18)对时间求导可得

(19)

由姿态运动学方程可得

(20)

可得

(21)

当k>0且D正定时，式(18)是正定的，式(21)是负定的，根据稳定性定理，该控制率在Lyapunov意义下是渐近稳定的。

2 实例验证

仿真中采用45°低倾角圆轨道，轨道高度为900 km，轨道半长轴为7 278.14 km，轨道周期为102.99 min，发射时间设为2018年5月1日12：00。在1年时间里，轨道太阳角在±68°之间变化；最大地影时间小于35 min，相应最大星食因子小于34%。太阳电池阵法线方向单位矢量在小卫星本体坐标系中的坐标为(0.939，0.000，-0.342)，即太阳电池阵法线在本体坐标系XbOZb平面内，由+Xb轴向-Zb轴方向偏转20°。在太阳电池阵上安装一个小型太阳敏感器，用于测量太阳方位，其测量示意见图3。太阳敏感器可输出太阳方向矢量在两维方向的入射角αs=arctan(X/F),βs=arctan(Y/F)，其中X和Y分别为光斑中心至光学零位像元的距离，F为光缝至光敏面的垂直距离，根据太阳敏感器的测量模型[tanαs,tanβs,1.0]，可解算出太阳方向矢量在太阳敏感器坐标系(OXsYsZs)的分量，安装上使太阳敏感器的+Zs轴与太阳电池阵法线方向一致，+Xs轴位于小卫星本体坐标系XbZb平面内，因而太阳敏感器的输出角βs与卫星的偏航角ψ是一致的。

轨道光照条件如图4和图5所示，对地指向小卫星太阳电池阵法线方向单位矢量与太阳方向单位矢量的夹角如图6所示。可以看出：太阳电池阵的光照条件比较恶劣，不能满足充电需求。

采用本文的对日跟踪姿态控制算法，期望的偏航角速度如图7所示，仿真结果如图8～11所示。由图7可以看出：轨道太阳角趋向于零时，期望的偏航角速度趋向于无穷大，本文的控制率已无法满足对日跟踪需求，需要其他的对日跟踪策略。由图8和图9可以看出：太阳敏感器输出角βs为零，在满足对地指向下，通过偏航机动保持最优的对日跟踪状态，能大大改善太阳电池阵的光照条件。由图10和图11可以看出：卫星偏航姿态控制精度可达0.6°，能满足一般对地指向小卫星的控制精度需求，同时小卫星能很好地实现对日跟踪姿态控制，极大地改善太阳电池阵的光照条件。

3 结束语

本文研究了对地指向小卫星对日跟踪姿态控制问题，在满足小卫星+Zb轴对地约束下对太阳方向矢量和太阳电池阵法线方向矢量的相对关系进行数学建模，通过数学推导得出了小卫星姿态运动中期望的偏航角、角速度和角加速度，通过对姿态进行规划，满足对地指向小卫星运行中始终保持太阳电池阵和太阳光照的夹角最小，获得最优的光照条件。对姿态控制算法进行控制律设计，设计了带前馈的姿态四元数和角速度联合状态反馈姿态控制律，并利用Lyapunov稳定性理论对控制器的稳定性进行证明，通过数值仿真得到了对地指向小卫星通过偏航机动进行对日跟踪姿态控制的仿真结果，偏航控制精度在0.6°以内，能很好地满足小卫星太阳电池阵的光照条件。该姿态控制律可以广泛地应用于对地遥感、通信等卫星的姿态控制中。当轨道太阳角趋向于零时，期望的偏航角速度趋向于无穷大，本文的控制率已无法满足对日跟踪需求，需要其他的对日跟踪策略，可作为下一步研究的目标。

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