高考中一类隐零点问题的解题策略

刘彦永

(东北师范大学附属中学 130000)

例1 设函数f(x)=ex-ax-2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.

本题是2012年全国新课标Ⅱ文科第21题，题目限制条件比较新颖，采用设而不求的解法非常有效，这类题型的练习对学生的思维有一定的启发性.

解析(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=ex-a.

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数，f(x)的单调递增区间是R；

当a>0时，令f′(x)=ex-a=0，得x=lna.

令f′(x)=ex-a>0，得x>lna，所以f(x)在(lna,+∞)上是增函数.

令f′(x)=ex-a<0，得x

(-∞,lna)上是减函数.

故f(x)的单调递增单调区间是(lna,+∞)，单调递减区间是(-∞,lna).

(2)解法1 (分离参数、设而不求，转化为函数最值问题)

若a=1，则f(x)=ex-x-2，f′(x)=ex-1.

所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1=x(ex-1)+x+1-k(ex-1).

当x>0时，(x-k)f′(x)+x+1>0等价于x(ex-1)+x+1-k(ex-1)>0，

由(1)知，函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)单调递增，

而h(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0，所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零点.

故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零点，设此零点为α，则α∈(0,2).

当x∈(0,α)时，g′(x)<0；当x∈(α,+∞)时，g′(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(α).

由于①式等价于k

解法2 (分类讨论，转化为函数最值问题)

当x>0时，(x-k)f′(x)+x+1>0等价于

(x-k)(ex-1)+x+1>0.

②

令g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1 (x>0),g′(x)=(x-k+1)ex.

(1)当k≤1时，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)>1>0，符合题意.

(2)当k>1时，若x∈(0,k-1)，则g′(x)<0；若x∈(k-1,+∞)，则g′(x)>0.

故g(x)在(0,k-1)上单调递减，在(k-1,+∞)上单调递增.

由于②式等价于g(x)min=g(k-1)=k+1-ek-1>0.

令h(k)=k+1-ek-1(k>1)，h′(k)=1-ek-1<0，故h(k)在(1,+∞)上单调递减.

且h(2)=3-e>0，h(3)=4-e2<0，故整数k的最大值为2.

解法3 (巧妙换元、数形结合，转化为切线问题)

当x>0时，(x-k)f′(x)+x+1>0等价于x(ex-1)+x+1-k(ex-1)>0.

令t=ex∈(1,+∞)，则问题等价于tlnt+1-k(t-1)>0，即tlnt+1>k(t-1).

问题等价于函数g(t)=tlnt+1的图象恒在过定点(1,0)的直线y=k(t-1)的上方.

作出草图即知临界值为过(1,0)作g(t)=tlnt+1的切线.

且h(3)=ln3-1>0，h(4)=2ln2-2<0，即α∈(3,4).

k切线=lnα+1=α-1∈(2,3)，故整数k的最大值为2.

例2 已知函数f(x)=axex-1,g(x)=lnx+kx.

(1)求函数g(x)的单调区间；

(2)当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围是多少.

提示问题(1)对k进行讨论即可.

问题(2)利用分离参数的方法，参照解法1.利用分类讨论的方法，参照解法2. 利用数形结合的方法，参照解法3.

(2)解法1 (分离参数、设而不求，转化为函数最值问题)

当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，即axex-1≥lnx+x恒成立.

故lnt+t=0，即t=e-t.

解法2 (分类讨论，转化为函数最值问题)

当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，即axex-lnx-x-1≥0恒成立.

(1)当a≤0时，h′(x)<0恒成立，h(x)在(0,+∞)上单调递减，h(1)=ae-2<0，不符合题意.

(2)当a>0时，令p(x)=axex-1(x>0)，p(x)在(0,+∞)上单调递增.

当x趋近于0时p(x)趋近于-∞；

当x趋近于+∞时p(x)趋近于+∞，故存在t∈(0,+∞)使得p(t)=0,即atet=1.取对数有lna+lnt+t=0，即lna=-lnt-t.

x∈(0,t)时，h′(x)<0；x∈(t,+∞)，则h′(x)>0.h(x)min=h(t)=atet-lnt-1=-lnt-t=lna≥0，故a≥1.

解法3 (数形结合，转化为公切线问题)当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，即axex-1≥lnx+x恒成立. 分别研究f(x)=axex-1和g(x)=lnx+x在(0,+∞)上的图象.当a≤0时，axex-1≥lnx+x显然不恒成立.

图1 图2

因此，只需找到临界状态对应的a即可.设临界时两曲线的公共点的横坐标为t，

隐零点问题是高考的一类重点和难点问题，解决此类问题主要有分离参数、分类讨论和数形结合三种方法，三种方法各有千秋，具体问题具体分析.一般首选分离参数的方法.因为这样能将问题转化为不含有参数的函数的最值问题，直接降低了解答的难度.对于不易或不能分离参数的问题就采用分类讨论的方法.对于选择题或者填空题，我们可以利用技巧等价转化并数形结合快速得到答案.

参考文献：

[1]刘彦永.对2017年新课标文科第21题的解法探究[J].数理化解题研究,2018(4):29-30.

[2]麦康玲.数学分析思想在高中数学解题中的应用[J].教科文汇(下旬刊),2015(5):110-111.