双复合泊松风险模型下的投资问题

袁野 邓飞其

摘 要 在经典风险模型基础上，研究了保险公司保费收入和索赔均服从复合泊松过程的双复合泊松风险模型，针对最优投资策略和求解破产时刻惩罚金期望折现函数的问题，利用重期望公式和马氏性得到期望折现函数满足的带边界条件的二阶积分微分方程，通过高效的Sinc数值方法求出折现函数的近似数值解，从而由图像分析破产概率变化的趋势.

关键词 双复合泊松过程;重期望公式;马氏性;积分微分方程;Sinc数值方法

中图分类号 O211.6  文献标识码 A

Abstract Based on the classical risk model，we studied  the double compound Poisson risk model in which the insurance company′s premium follows a compound Poisson process and the claims also follow a compound Poisson process.Consider the optinal investment and the expected discount penalty function，by using the heavy expectation formula and Markov property， we obtained  the second order integro-differential equation with boundary conditions，a numerical Sinc method was proposed to derive a approximate numerical solution，then we can analyze the ruin probability by the figure of approximate numerical solution.

Key words double compound Poisson process;heavy expectation formula;Markov property;integro-differential equation; Sinc numerical method

1 引 言

在经典风险模型中，假设索赔服从复合泊松过程，考虑在破产时刻给予惩罚，Gerber 和 Shiu（1998）[1]讨论了惩罚金的期望值，发现该期望值依赖于破产时刻和破产时刻的赤字大小，并得到了破产时刻与赤字大小的联合概率密度函数.Albrecher和Thonhauser（2008）[2]研究了复合泊松风险模型下的最优分红策略.Gerber和Landry（1998）[3]在经典风险模型中引入一个独立的扩散过程，通过重期望公式得到惩罚金期望函数满足的积分微分方程，利用Lundberg方程得到期望函数满足一个更新方程，并得到其概率解释.本文假设保险公司盈余过程服从双泊复合松过程，从而得到惩罚金期望函数满足的积分微分方程，由于这种二阶积分微分方程不存在解析解，从而研究其数值解[4]具有重要的意义.

2 市场模型

考虑经典的风险模型，保险公司的盈余由下列过程给出：

8 结 论

建立了服从复合泊松分布的盈余过程模型，首先考虑在终端时刻处的期望效用函数，利用动态规划原理得到值函数满足的HJB方程，得到最优投资策略的显性表达式，在投资比例确定的情况下，考虑破产时惩罚金的期望折现函数，得到期望折现函数所满足的积分微分方程，利用高效的Sinc数值方法，得到惩罚金期望折现函数的近似数值解，由图像分析得到相应参数对破产概率和惩罚金期望折现函数变化趋势的影响.该盈余过程模型还可以继续改进，使其更符合实际情况，可以研究更有效的数值方法来得到惩罚金期望折现函数的近似数值解.

参考文献

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[2] ALBRECHER H，THONHAUSER S.Optimal dividend strategies for a risk process under force of interest [J].Insurance：Mathematics and Economics，2008，43（1）：134-149.

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