股票价格随机变动的内生性解释及其应用

徐伟呈 李欣鹏

摘 要 建立了一个非对称信息下的重复博弈模型来刻画股票市场中庄家和散户的博弈行为，推导出股票价格的折现过程服从一个由布朗运动驱动的鞅过程，并给出股票价格随机变动的内生性解释：在博弈过程中庄家为了隐藏散户所不知道的信息采用随机化策略来迷惑对手，从而导致股票价格的随机变动.在此基础上，进一步研究了相应的期权定价问题并给出期权定价公式.

关键词 期权定价;重复博弈;鞅过程;非对称信息

中图分类号 F224.32  文献标识码 A

Abstract The players behavior in the stock market can be characterized by the repeated game model with asymmetric information. The discount price process of stock is a martingale driven by Brownian motion， and an endogenous explanation for the random fluctuation of stock price is obtained： the randomizations in the market is due to the randomizations in the strategy of the informed player which hopes to avoid revealing  his private information. Based on this price process， the related option pricing problems were also studied and the option formula was  given.

Key words  option pricing;repeated game;  martingale; asymmetric information

1 引 言

2015年中國股市经历了又一轮的大起大落，股票价格的变动之谜再一次引起了社会的关注.金融学中一个非常重要的问题是如何来合理地刻画股票价格的变动.以股票或股票指数为标的的期权定价模型严重依赖于股票价格变动过程的选择，基于不同的股票价格变动过程会得出不同的期权定价公式.2015年2月9日中国正式推出了金融市场上的首只期权——上证50ETF期权.在此背景下，研究适合于中国股市的股票价格过程以及相应的期权定价问题具有重要的理论意义和应用价值.

目前，常用的模拟股票价格变动的模型有Black-Scholes模型[1]，扩散模型（Merton（1971）[2]），随机波动率模型（Hull 和White（1988）[3]， Heston（1993） [4]），跳模型等等.值得注意的是，上述所有的模型都认为股票价格变动的随机性来源于外部冲击，比如有关上市公司的利好或利空信息的发布，国家宏观经济政策的调整等等.关于股票价格或股票收益率的随机性在理论上通常使用布朗运动来刻画.例如，著名的Black-Scholes模型假设股票价格服从几何布朗运动，其中布朗运动作为外生的随机项给出.De Meyer 和Moussa-Saley（2003）[5]通过建立一个简单的非对称信息下的重复博弈模型给出股票价格变动的一个内生性解释，即市场上博弈双方由于信息不对称而采取随机化策略导致了股票价格的随机变动.De Meyer（2010）[6]通过建立更一般的非对称信息下的重复博弈模型推导出由于博弈双方的随机化策略而导致股票价格服从一个由布朗运动驱动的鞅，称其为连续最大变差鞅.但是基于该过程的期权定价问题在文献[6]中并没有涉及.

本文将进一步推广文献[6]中的非对称信息下的重复博弈模型，发现在更一般的条件下，股票价格的折现过程仍然为一个连续最大变差鞅.在此基础上，进一步研究了在此过程下的欧式期权定价问题.

2 金融交易博弈模型

2.1 金融交易博弈模型

金融交易博弈模型由De Meyer（2010）引入， 它可以视为是经典的Aumann-Maschler博弈模型[7]的推广.该模型为单边不完全信息下的双人零和重复博弈模型.本文将以股票市场为例给出博弈模型.

式（11）意味着通过交易无风险资产不会产生价值.但是在某些情形，例如，当考虑到交易费用时，式（10）不再成立.文献[8]中给出一个带有交易费用的博弈模型，它不满足文献[6]中的自然交易机制，但是满足本文中的假设 （H1）～（H5）.

2）关于信息的不对称性，在第0回合，庄家已经知道风险资产L的确切取值，而散户仅仅知道它的分布.这导致在各回合的双方策略中，庄家的策略见式（2）可以依赖于L，而散户的策略见式（3）独立于L，但是散户可以通过庄家的策略来推测L的具体取值，而庄家则有意通过随机化策略来隐藏L的具体信息，在彼此的相互博弈过程中导致了股票价格的随机变动.

3）关于假设（H1），与Aumann-Maschler模型不同，由于此时重复博弈模型中博弈双方的策略集均不是有限集，最小和最大算子未必可以交换（Mertens等（2015）[9]），从而相应的单期博弈的值未必存在.

4）定理1中的结论与风险中性理论的结论相一致.风险中性理论说明在等价鞅测度下，风险资产的折现过程为一个鞅（Harrison和Pliska（1981，1983）[10，11]）.在上述重复博弈模型中，为了简化问题，并没有考虑无风险资产的折现问题，从而定理1中的股票价格事实上是股票的折现价格.此时，股票价格的折现过程是一个在维纳测度下由标准布朗运动驱动的鞅.

5）模型中其實暗含庄家和散户在进行高频交易，即博弈回合数n充分大时，股票价格过程收敛于鞅模型（9）.但是中国股市实行T+1的交易规则，高频交易似乎在此行不通.如果将庄家和散户看成是两个群体，这样在短期内会发生高频交易，从而使得股票价格过程仍能收敛到鞅模型.

6）实际股票市场中庄家和散户的博弈行为要复杂的多，远非通过理论模型可以刻画.但是本文所得的结果非常有趣：股票价格的折现过程是由布朗运动驱动的鞅.值得注意的是，与Black-Scholes模型不同，重复博弈模型中并没有关于布朗运动的外生性假设，但是所得到的股票价格过程却是由布朗运动来驱动，从而可以给出股票价格随机变动的一个内生性解释，即股票价格的随机变动来源于庄家和散户的随机化交易策略，庄家采用随机性策略来干扰散户对其所知信息的判断以获得最大收益.当然，外部冲击对股票价格的影响在某些情形会起到关键性作用，但是考虑到模型的复杂性，本文在此处并没有考虑到外部冲击对股票价格的影响.

3 期权定价公式

4 结 论

本文通过建立一个非对称信息下的重复博弈模型对股票市场中庄家和散户的博弈行为进行了刻画，推导出股票价格的折现过程服从一个鞅模型.通过该模型，本文给出了股票价格随机变动的一个内生性解释：庄家通过采取随机化策略来隐藏自己所知道的信息从而导致了股票价格的随机变动.在此基础上，本文研究了基于鞅模型的欧式期权定价问题，并给出相应的期权定价公式以及未知函数的估计方法.

参考文献

[1] BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）： 637-654.

[2] MERTON R. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time mode [J]. Journal of Economic Theory， 1971， 3（4）： 373-413.

[3] HULL  J ，WHITE A.  An analysis of the bias in option pricing caused by a stochastic volatility [J]. Advances in Futures and Options Research， 1988， 3： 27-61.

[4] HESTON S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options [J]. The Review of Financial Studies， 1993， 6（2）： 327-343.

[5] DE MEYER  B， MOUSSA-SALEY H. On the strategic origin of Brownian motion in finance [J]. International Journal of Game Theory， 2003， 31（2）：285-319.

[6] DE MEYER B. Price dynamic on a stock market with asymmetric information [J]. Games and Economic Behavior， 2010， 69（1）： 42-71.

[7] AUMANN  R， MASCHLER M. Repeated Games with Incomplete Information [M]. Cambridge： MIT  Press， 1995.

[8] LI X. Sublinear expectations and their applications in game theory [D]. Paris： Sorbonne Economics Center， University of Paris 1， 2013.

[9] MERTENS J F， SORIN S， ZAMIR S. Repeated Games [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2015.

[10]HARRISON  M，PLISKA S. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading [J]. Stochastic Processes and their Applications， 1981， 11（3）： 215-260.

[11]HARRISON M， PLISKA S. A stochastic calculus model of continuous trading： complete markets [J]. Stochastic Processes and their Applications， 1983， 15（3）：313-316.

[12]BREEDEN D，LIZENBERGER R. Prices of state-contingent claims implicit in option prices [J]. The Journal of Business， 1978， 51（4）：621-65.