“问题导学”让教学标准明确、有法可依

陈茵

[摘 要]教学是一门科学，又是一门艺术；科学讲究规则，艺术讲究创造.课堂教学既要做到“教学有法”，又要做到“教无定法”.在“问题导学”的背景下，在数学课堂的新课引入、概念形成、概念深化、应用探索等环节中应抓“关联性”“合理性”“内涵、外延”“模型化”，从而解决为什么要学的认知需求问题，让学生知其然知其所以然，帮助学生多视角理解、认识概念，使学生领悟解决问题的思想方法.通过“问题导学”，使得数学课堂教学标准明确、有法可依.

[关键词]问题导学；核心素养；标准；有法

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02000303

我是一名2016年大学毕业刚入职的青年教师.初为人师，我既兴奋又紧张，兴奋是因为实现了从小就立下的理想——成为一名人民教师，而紧张则在于人们对于名校教师的期待，这让无教学经验的我不禁有些担忧.幸运的是，我参加了学校开展的《问题导学：发展学生核心素养的实践研究》课题研究工作，有机会多次参与广西教科院组织的“问题导学”新授课教学模式的研讨活动，并担任了其中一节现场展示课的主讲教师.在这个过程中，我逐步学习和了解了“问题导学”的原理和方法，并对如何将其有效运用到教学实践中有了自己的思考.下面以《抛物线的简单几何性质》一课的教学为例，谈谈我的一些认识和体会.

一、“新课引入”要抓“关联性”——解决为什么学的认知需求问题

【教学实录1】师：今天，老师给大家介绍一个传奇人物.他是一位哲学家，也是一位数学家，我们熟悉的坐标系就是他创立的，他被称为“解析几何之父”，他的名字叫笛卡尔.他的贡献在于：借助坐标系，将点与数建立了联系，将曲线与方程建立了联系，从而实现了用代数方法研究几何问题的设想.今天，我们借助笛卡尔的研究方法，看看怎样用代数的方法来研究抛物线的简单几何性质.

【评点】新课引入是一节课的思维起点，万事开头难.本节课从数学史引入，既介绍了笛卡尔创立解析几何的研究方法，又点明了主题：用坐标法来研究几何性质，开宗明义，一目了然.

二、“概念形成”要抓“合理性”——让学生知其然知其所以然

【教学实录2】实验：选取p>0的值，作出抛物线y2=2px的图像（如图1），观察图像研究它的几何性质.

问题1：抛物线的定义、标准方程的结构与椭圆、双曲线的类似，猜想抛物线的几何性质是否与椭圆、双曲线的类似？你认为应该研究抛物线的哪些几何性质？

【评点】知识不是孤立出现的，需要教师设置问题引导学生将新知识与旧知识建立联系，形成新的认知结构.抛物线作为圆锥曲线的一种，其几何性质的研究内容和研究方法应该与椭圆、双曲线的类似.

问题2：观察图像，抛物线伸展的范围是有限还是无限的？抛物线方程y2=2px中的变量x、y的取值范围是有限还是无限的？

【评点】通过问题设置，引导学生经历研究曲线几何性质的发现过程：观察图像，从“形”入手分析；研究方程，从“数”入手分析.这样，既培养了学生的几何直观能力，也培养了学生的代数运算能力.

问题3：抛物线方程y2=2px中变量x的取值范围是什么？你能判断抛物线的开口方向吗？

【评点】由代数式x中的取值范围得到抛物线的开口方向，让学生观察发现由“数”到“形”的过程，体会数形结合思想.

问题4：观察图像，抛物线是否是轴对称图形？是否是中心对称图形？任取抛物线上一点（x，y），其關于x轴的对称点（x，-y）是否在抛物线上？说明了什么？

【评点】让学生观察发现，抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形.将方程中的y换成-y，方程不变，说明抛物线上任意一点（x，y），其关于x轴的对称点（x，-y）在抛物线上，曲线关于x轴对称.

问题5：请你尝试采用这样的研究方法，说明抛物线是非中心对称图形.

【评点】问题4让学生学习用代数方法去研究曲线的对称性，而问题5则让学生运用这种方法去尝试解决新问题，很好地巩固了学生对研究方法的掌握.

在给出抛物线的顶点和离心率概念后，我设置以下例题.

【例1】 一条抛物线关于x轴对称，顶点为原点，并且经过点（1，2），求抛物线方程.

【评点】设计此例的目的有二，一是强化抛物线几何性质的学习；二是引导学生发现“过焦点且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交的两点，其横纵坐标之比为1∶2”，并为解决例2做准备.

问题6：抛物线y2=2px上有几个点横、纵坐标之比是1∶2？它们在什么位置？

【评点】问题6连接了例1的已知点，从代数角度分析已知点横、纵坐标的关系，从几何角度分析已知点位于焦点的正上方，从而找到抛物线焦点的方法.问题设置着眼于学生的最近发展区，将难度分解到若干个小问题中，小问题间又有相应的逻辑联系，解决了小问题，难题也就迎刃而解了.

由此可见，问题的设置不仅要有关联性，还需要有梯度.接下来的例2难度不低，要解决它，就必须铺设一些“阶梯”.

【例2】 已知抛物线和它的对称轴.试用几何作图法作出抛物线的焦点和准线.

【评点】再次深化抛物线的几何性质，借助坐标系，将几何问题转化为代数问题求解，最后再翻译成几何语言，让学生体验由“形”到“数”及由“数”到“形”的过程.

教学中，教师要让学生了解作图依据：以抛物线顶点为坐标原点，顶点到焦点的方向为x轴的正方向建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，焦点坐标为（

p2，0），准线方程为x=-p2.过焦点作平行于y轴的直线与抛物线相交，得到两个交点P1（p2，y1），

P2=（p2，-y1）

，其中y1>0.由y21=2p·p2得y1=p.因此，P1（p2，y1）在直线y=2x上，是直线y=2x与抛物线的交点；还要让学生明确作图步骤（如图2）：

（1）抛物线的对称轴与抛物线相交，得到顶点O.

（2）在对称轴上任取一个与O不重合的点A，使OA指向抛物线的开口方向，从A点作AB⊥OA，作|AB|=2|OA|，射线OB与抛物线相交于点P.

（3）过P点作PF⊥OA，与射线OA相交于F，则F为抛物线焦点.

（4）延长FO到D使OD=FO.过D作⊥OD，则l为准线.

【评点】以“问题”为导向，让学生理解概念形成的“合理性”与“必然性”，这是本环节的主要内容.教师设计的问题要符合学生的认知水平，要从学生熟悉的旧知识出发，寻找与新知识的联系和冲突，并逐步感受新知识的产生是合理的，是在同化和顺应的过程中重新建构认知图式.这是建构主义学习理论所提倡的支架式教学模式.

三、“概念深化”要抓“内涵、外延”——帮助学生多视角理解、认识概念

【问题系列】

（1）抛物线y2=2px的焦点坐标为（p2，0），准线方程x=-p2；

【评点】回顾抛物线定义，帮助学生回忆另外三个开口方向不同的抛物线的焦点坐标公式和准线方程，引导学生发现抛物线焦点非零的坐标值与抛物线标准方程一次项系数是1∶4的关系.

（2）如图3，四边形DFME是正方形；

（3）焦准距为p；

（4）通径：过抛物线焦点垂直于对称轴的弦.抛物线的通径长为2p.

【评点】深挖抛物线中蕴含的结论，深化抛物线的几何性质.

通过前面的几何观察和代数研究，我们得到了抛物线的简单几何性质，学会了运用几何作图法寻找抛物线焦点的位置.那么，在“概念深化”环节，我们要解决哪些重点问题呢？我认为，要重在引导学生挖掘概念的内涵与外延.例如，从内涵入手，抛物线的本质是它的定义，从定义我们可以得到它的离心率、焦准距等几何性质，从标准方程我们可以得到焦点坐标和一次项系数的联系.除此之外，我们还要引导学生对它们各自的结构、特点和关键信息做出明确的认定，强化学生对概念的认识，并由此出发，引导学生思考还可以得到哪些重要的结论，归纳这节课研究的数学思想方法等，从而让学生学会全方位地去认识和理解概念，提高思维的水平.

四、“应用探索”要抓“模型化”——使学生领悟解决问题的思想方法

【例3】 抛物线形拱桥如图4，当拱桥离水面2.5m时，水面宽4.5m，如果水面上升0.5m时，水面宽多少？（精确到0.01m）

解析：如图4建立直角坐标系，1m为单位长.则现在水面与拱桥在第四象限的交点A的坐标为（2.25，-2.5），代入方程x2=-2py，得2p=2.025.水面上升0.5m后，水面与拱桥在第四象限的交点B（x2，y2）的纵坐标为y2=-2，代入方程，得

x2=-2py2≈

-2.025×（-2）≈2.01，

故水面宽为2.01×2=4.02（m）.

【评点】通过解决实际问题，巩固抛物线简单几何性质的内容，促进学生领悟借助坐标系解决几何问题的思想方法.

例题，是进一步强化学生对新知识的理解、实现数学思想方法类化的重要载体，需要教师的精心设置与分析讲解.本节课设置的应用例题是生活中常见的问题，学生需要通过抽象出抛物线模型，运用抛物线的几何性质解题.教师要有意识地给学生传递数学的实用性，引导学生用数学的思维方式来解决实际问题，这也是数学应用的重要体现，是培养学生应用意识的有效手段.

五、“总结归纳”要抓“知识建构”——引导学生建立思维导图

问题7：这节课你学到了哪些内容？涉及哪些数学思想方法？

知识点小结：抛物线的几何性质，如范围、对称性、顶点等.

技能点小结：类比思想、数形结合思想、建模思想、坐标法、待定系数法.

【评点】让学生自主总结归纳本课所学知识点和这节课所学到的思想方法，能帮助学生自主建构新的认知图式.

“总结归纳”是一节课必不可少的环节.建构主义学习理论认为，学习是学习者主动进行意义建构的过程，学习者只有主动对学习内容进行加工、整理，进而建立新的认知图式，内化成自己的东西，才是真正的收获.

总之，通过这样的研修学习，让我心中对教学有了明确的标准，学會了自我评价、自我修正，对教学组织有了更高的目标和追求，也有了属于自己的独特方法.我坚信，只要坚持研究、实践，自己的从教之路一定会走得更加坚实、更加稳健！

（责任编辑 黄春香）