高考导数新角度 数学素养新高度

☉安徽省安庆一中 陈贤清

导数及其应用是高中数学的核心内容之一，也是高考考查的重点与热点之一.导数及其应用作为高考“盛宴”中的一个亮点，经常创新命题角度，通过新图像、新定义、新背景、新交汇等多种方式“潜入”高考试卷中，精心包装，达到提升学生的数学核心素养，培养学生的创新意识，提高学生各方面的综合能力的目的.

一、新图像问题

例1 （2017年浙江卷7）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图像如图1所示，则函数y=f（x）的图像可能是（ ）.

图1

分析：根据导函数的图像在三个零点的两边导数值的符号相反确定其为极值点排除选项A、B；再结合导函数的图像在对应区间上的单调上排除选项C，从而得到正确判断.

解：根据题中导函数y=f′（x）的图像可知，其有三个零点，且每个零点的两边导数值的符号相反，因此函数y=f（x）在这些零点处取得极值，由此排除选项A、B；记导函数y=f′（x）的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在（-∞，x1）上f′（x）＜0，在（x1，x2）上f′（x）＞0，所以函数y=f（x）在（-∞，x1）上单调递减，由此排除选项C.故选D.

点评：本题以导函数的图像特征来确定原函数的图像特征，关键是考查识图能力与逻辑推理能力，以及对数学的探究能力和应用能力.巧妙地通过函数图像，把函数的图像与零点加以综合，交汇函数的图像与性质、导数的性质与零点等相关知识来达到考查能力、提升应用的目的.

二、新定义问题

例2 （2017年山东卷文10）若函数y=exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的是（ ）.

（A）f（x）=2-x（B）f（x）=x2

（C）f（x）=3-x（D）f（x）=cosx

分析：通过新定义可知，若函数f（x）具有M性质，则有f（x）+f′（x）＞0恒成立，结合各选项中f（x）+f′（x）的取值情况加以分类讨论，进而确定具有M性质的函数.

解：由题目条件可设g（x）=exf（x），则有g′（x）=ex［f（x）+f′（x）］，结合题目条件可得f（x）+f′（x）＞0.

选项A中，f（x）+f′（x）=（1-ln2）2-x＞0恒成立，则函数f（x）=2-x具有M性质；

选项B中，f（x）+f′（x）=x2+2x＞0不恒成立，则函数f（x）=x2不具有M性质；

选项C中，f（x）+f′（x）=（1-ln3）3-x＜0恒成立，则函数f（x）=3-x不具有M性质；

选项D中，f（x）+f′（x）=cosx-sinx＞0不恒成立，则函数f（x）=cosx不具有M性质.

故选A.

点评：本题以新定义为切入点，通过对新定义的再学习与提升，结合导数及其应用的转化来处理相应的新定义问题.解决导数中的新定义问题，一般所给信息量大、复杂，难以一步建立联系，经常需通过综合分析，在纷繁的信息中提炼有用的信息，朝着导数的运算、函数的单调性、极值、最值等方面转化，最后求解.

图2

三、新背景问题

例3（2017年全国卷Ⅰ理16）如图2，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

分析：连接OD交BC于点G，设OG=x，根据各边的长度关系确定BC、DG，求解三棱锥的高及△ABC的面积，进而得到三棱锥体积V的解析式，设出函数f（x）=25x4-10x5，通过求导，结合导数来确定最值问题，进而确定所得三棱锥体积的最大值.

令（fx）=25x4-10x5，x∈

则f（′x）=100x3-50x4.

图3

令f（′x）＞0，即x4-2x3＜0，解得0＜x＜2

点评：本题以立体几何为背景材料来考查函数与导数应用问题，必须先读懂题意，建立相应的函数模型，结合导数知识，利用导数的单调性、极值或最值来解决相应的应用问题.要注意在解决问题时，抓住函数与方程思想加以巧妙转化，从而达到解决问题的目的.

四、新交汇问题

例4（2017年全国卷Ⅲ理21）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（1）若（fx）≥0，求a的值；

分析：（1）通过求函数的导数，对函数的单调性进行了研究，求解函数的最小值点即可；（2）将问题转化为“和”式不等式，根据数列求和公式求解即可.

解：（1）（fx）的定义域为（0，+∞）.

故x=a是（fx）在（0，+∞）上的唯一最小值点.

由于（f1）=0，所以当且仅当a=1时，（fx）≥0，故a=1.

（2）由（1）知，当x∈（1，+∞）时，x-1-lnx＞0.

点评：本题以导数及其应用与不等式、数列等相关知识的交汇，把新交汇考点巧妙地融入试题之中，构思巧妙、题意新颖.解决此类导数新交汇型问题的关键在于用慧眼去找寻“交汇点”，用心灵去感受题意，用真心去科学合理地运算推理，从而达到解决问题，提升能力.

高考中的导数及其应用试题视角独特，立意新颖，选材紧扣教材又高于教材，具有立意深远、背景深刻、设问巧妙等特点.回归本质，导数及其应用的重点考查还是通性通法，将“考基础、考能力、考素质、考潜能”这“四考”合一，体现了“培养和提高学生的数学核心素养”的课程理念，突出数学的创新意识.F