“慢”中求“实”，打造自然课堂

卜启虎

[摘 要] 概念教学要立足于“问”，要立足于学生的“最近发展区”. 教学时应“以生为本”，设计出灵动而富有成效的教学内容和教学流程，并根据教学进程合理调控教学进度，确保教学在学生需求的方向上前进.

[关键词] “慢”中求“实”；善于提问；自然课堂

众所周知，数学教学的本质是“思维的教学”，数学学习的本质是发展学生的思维，而数学学习的终极目标是培养学生的思维能力，养成良好的学习习惯，形成核心素养.

郑毓信教授提出数学教师要有三个基本功：善于举例、善于提问和善于优化.

概念教学要立足于“问”，课堂提问要实，要立足于学生的“最近发展区”，要通过概念教学这个载体将思维训练植根于“草根”课堂.

“实”指课堂教学要实在，不流于形式，不搞花架子. “实”是要给学生带来实惠，要充分发挥学生的主体作用，极力追求自然的、绿色的课堂.

数学教学是一个“慢”的过程. 在教学中，教师应本着学生自然生长的心态，减少教学的浮躁与功利，“等一等”，给学生独立思考的时间和空间，让学生体验独自深入探讨的经历，让学生体会深刻理解知识后的乐趣，让学生有常与他人合作的机会，从而多一些对思想方法的深思和顿悟，并让其在数学课堂上慢慢成长.

教学中，教师要深入挖掘所教授知识点的思维内涵，控制课堂教学的节奏，放慢思维的步伐，通过设置不同层次的数学问题，给予学生分层指导，教给他们必要的思维策略，使“不同的人在数学上都能得到长足的发展”.

下面以“一次函数的概念”教学（片段）为例，加以说明.

经历并感悟一次函数产生的

过程

上节课，我们学习了函数的概念以及常量和变量，同时还学习了函数的常见三种表示方法——表格法、图像法和解析式法. 现在，我们一起来研究下面的问题.

问题1 一个蓄水池储水100 m3，用0.8 m3/min的速度向外放水，若水池剩余水量为y（m3），放水时间为t（min），则当t=20时，y为多少？

师：谁能找出该问题中的常量和变量？

生1：100和0.8是常量，t和y是变量.

师：正确. y和t之间具有怎样的关系？

生2：y=100-0.8t.

师：好的. y是t的函数吗？为什么？

生3：y是t的函数，因为在这个变化过程中有两个变量，即t和y，并且对于t的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应.

师：很好. 当t=20时，y等于多少？其实际意义是什么？

生4：当t=20时，y=100-16=84，其实际意义是放水20 min后，蓄水池剩余水84 m3.

师：很棒. 获得这个解析式经历了哪几个步骤？

生5：像列方程解应用题一样，经历了审题、找数量关系、列出关系式等步骤.

师：非常好. 函数y=100-0.8t有何特点？

生6：等式右边是一个关于t的一次二项式，是个整式.

师：很好. 其实，这种特殊的函数具有很强的現实意义. 例如y=5x，y=25x+6，y=100t，g=h-105，y=-0.8t+100，都是从具体的实际生活中抽象出来的. 正因为这类函数有着很强的现实意义，所以我们才有研究的必要. 那么，它们有何特征？有何性质？本节课我们就来探究这些问题（揭示课题）.

说明 美国数学教育家杜宾斯基认为：“学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达到理解. ”实际上，列式（列代数式、列方程以及函数表达式等）本身就是数学的核心内容之一，也是学生必须掌握的重点内容之一，因此，必须留给学生充足的思考时间.

在这里慢下来，放慢教学的脚步，通过“慢呈现”，再现了列式的基本过程. 其意义在于，不仅让学生通过回忆复习了旧知，而且从具体问题情境中准确地理解了自变量、函数等知识，同时初步感知了函数的特点，给予学生足够的时间寻找新、旧知识的连接点，并运用已有知识尝试构建新的知识结构体系.

其作用是通过“慢”，能让绝大多数学生跟上课堂步伐，有体验、感悟的机会，激发学生的学习热情，从而让学生学到实实在在的数学知识. 这才是真正的、能满足学生需要的、不带任何修饰的、朴实无华的自然课堂.

参与定义一次函数的活动

问题2 函数“y=5x，y=25x+6，y=100t，g=h-105，y=-0.8t+100”有何共同特征？

生7：这些关系式中都含有两个变量.

师：很直观. 我发现你是通过观察变量的个数获得结论的.

生8：右边的代数式都是含有某个字母的整式.

师：很仔细. 你能从代数式类型的角度进行归纳.

生9：表达式中两个变量的最高次数都是1.

师：很到位. 你能透过现象看本质，从表示变量的字母的最高指数方面来进行归纳.

生10：如果把等号左边的字母换成0，那所有的式子都变成了一元一次方程；如果把等号左边的字母移到等号右边，它又变成了一个二元一次方程.

师：有道理. 你是用方程概念来归纳的.

生11：都是用字母表示的关系式.

师：非常好. 你有较强的符号表示意识.

师：好. 现在我们一起来归纳一下这样的函数所具有的共同特征.

众生：（教师板书）它们同时满足①两个变量的指数都为1；②必须是关于两个变量的整式；③比例系数k≠0.

说明 建构主义学习理论认为，学习不是被动地接收信息，而是以原有的知识经验为基础，积极主动地建构自己的理解，形成对问题的解释. 数学学习的关键是要让学生的脑子真正“动”起来，思维实实在在地“活”起来，把学习过程变成数学“活动”过程，让学生参与学习和探究，成为课堂学习的主人. 以数学现象为基础，培养学生的观察能力；以数学问题驱动，培养学生的分析、探究能力；以“互动”协作为方式，培养学生的合作能力. 实事求是地说，概念教学是数学教学的核心. 概念教学常常要还原概念产生、发展的过程，给学生提供充分感知概念本质特征的机会. 要达到这个目标，必须给予学生充足的思维空间.

在这里慢下来，拉长探索历程，通过“慢思考”，充分发挥学生的主体作用，能给学生足够的时间进行观察、归纳、总结，等待学生表达归纳的结论.

其意义在于，让学生经过困惑、冲撞、争执、顿悟的过程，深刻理解一次函数所具备的基本特征，完成对该知识结构体系的建构. 其作用是，在“慢思考”的过程中，通过学生自己觅得知识，能够有效地促进新知识结构的重建，学会数学地思考，提升理性思维. 这才算真正满足学生自然发展需要的、“淡”中见“实”的绿色课堂.

师：由于这类函数以后会经常用到，所以我们要给它一个名称. 就像同学们刚才归纳的那样，形如y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的函数叫一次函数. 当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，且k≠0），叫正比例函数，常數k叫比例系数.

师：确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的函数表达式经过整理后是否符合y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）或y=kx（k是常数，且k≠0）的形式. 也就是说，由一次函数的定义可知，若函数是一次函数，则其解析式可化为y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的形式；反之，若一个函数的解析式可化为y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的形式，则此函数为一次函数.

说明 建构主义认为：“学习是一个积极、有意义建构的过程，需要学生有很高的心理参与和智力参与，而不是教师简单地示范和解释. ”其实，数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程. 很显然，这样的过程一定要在慢等待中呈现.

在这里慢下来，通过教师的“慢引领”，给予学生充分的思考空间建构一次函数的概念，从而完善函数学习中数学基本活动经验的积累. 其意义在于，让学生把概念中蕴含的本质属性抽取出来，并建立在已有的基础上，同时从变量的指数、表示变量的整式等多方面观察，最后归纳、抽象、概括出一次函数的概念.

其作用是，从立足于学生发展的角度，让学生全方位地体验课堂，体验发现问题、探索问题的过程. 在教师的“慢引领”下思考问题，促进学生数学思维品质的和谐发展. 这才是能满足学生自由发展的、具有自然元素的绿色课堂.

师：在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？若是一次函数或正比例函数，则其系数k和常数项b的值各是多少？

y=4，y=3x2-x（2+3x）+1，y=4-x，y=x2，y=2πx.

生12：y=4-x，y=2πx是一次函数. y=4-x的系数k为-1，常数项为4；y=2πx的系数k为2π，常数项为0. 其中，y=2πx又是正比例函数，其比例系数为2π.

师：其余的为什么不是一次函数？

生12：y=4中的k=0；y=x2中x的指数为2；y=3x2-x（2+3x）+1不满足一次函数的表达式.

生13：不对，老师刚才讲了，一次函数解析式的形式是y=kx+b（k≠0），要判断一个函数是否为一次函数，就要判断其是否能化成以上形式. 我觉得y=3x2-x（2+3x）+1经化简后得y=-2x+1，应该是一次函数，其系数k为-2，常数项为1.

师：这个同学说得很好. 接下来请同学们思考“获得一次函数的概念经历了哪几个步骤”.

生14：先从表示生活问题的应用题中抽象出数学表达式，然后从这些数学表达式中归纳出它们具有的共同特征，最后用形如y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的形式来表示.

师：说得非常好. 这个过程体现了抽象思想、归纳思想、符号表示思想等.

师：通过以上学习，谁能说出一次函数与二元一次方程有何区别与联系？

生15：一次函数是用形如y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的形式来表示的，是用自变量x表示函数y. 而二元一次方程形如ax+by=c（ab≠0）. 联系是它们之间可以互化. 将一次函数写成kx-y+b=0（k≠0）就可将此函数看作二元一次方程，将二元一次方程ax+by=c（ab≠0）写成 y=-x+的形式就可看作一次函数.

师：非常好. 它们都是描述现实世界数量关系的重要数学模型——方程模型和函数模型，当然也体现了方程思想和函数思想.

说明 建构主义学习理论认为，学生获取知识的多少、优劣，并不完全取决于学习者记忆和背诵教师讲授内容的能力，而最终取决于学习者根据自身经验去建构有关知识的意义的能力. 事实上，“数学教学”的关键在于辨识出核心知识且讲清核心概念蕴含的数学思想和数学思考方法. 数学思想方法既隐身在数学课程内容之中，也体现在人们解决问题的基本思路中，因此渗透数学思想方法的教学活动必然与数学课程内容的教学、解决数学问题的教学交织在一起. 在这里慢下来，通过“慢等待”，给予学生一个充足的“领悟”数学思想的时空.

其意义在于引导学生揭示隐藏于知识之中的思维内核，把数学嵌入活的思维活动之中，并不断地在学数学、用数学的过程中，引领学生学习知识，掌握方法，形成数学思想.

其作用是，向学生传递一个信息，即只有注重数学思想方法渗透的课堂，才算得上是有思想深度的课堂，只有这样的课堂，才能促进学生思维能力的发展，才能真正提高学生的数学素养，从而真正让学生自觉地爱上数学. 正所谓，自然的才是永恒的.

对一次函数概念的再辨析

师：x+y=3是一次函数吗？

生16：x+y=3是关于x，y的二元一次方程. 如果将x+y=3化成y=-x+3，则可看成y是x的一次函数. 如果将x+y=3化成x=-y+3，则可看成x是y的一次函数.

师：非常棒. 该同学正确运用二元一次方程与一次函数之间的关系准确地回答了本题. 由此，谁能总结出与此相关的重要结论？

生17：如果y可以表示为x的一次函数，那么x也必然可以表示为y的一次函数.

师：太精彩了. 接下来请思考“2x+3是x的一次函数吗”这一问题.

众生茫然.

师：首先要理解函数的本质是什么.

生18：一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量.

师：很好. 函数是研究在某一个变化过程中，两个变化数量之间的关系，而这两个变量中，当一个变量取一个值时，另一个变量有唯一的值与之对应. 因此，函数的本质之一是一个变化过程中两个变化的数量关系. 这里x变化了，2x+3是否也随之变化？

生（众）：变化.

师：既然在这样的变化过程中有两个变量x，2x+3，并且对于x的每一个值，2x+3都有唯一的值与之对应，那么2x+3就是x的函数. 从2x+3的形式上来看，其符合一次函数的定义，因此，2x+3是x的一次函数.

众生恍然大悟.

这里学生感到茫然主要有两方面的原因，一是看不懂题，认为函数大都是x，y之间的关系，这里怎么冒出2x+3与x；二是不知2x+3是x的函数，更不知2x+3是x的一次函数. 由于很多教师在平时教学中呈现给学生的函数问题过于强调以字母x，y的形式表达，以及函数解析式的标准表达形式为y=kx+b（k≠0），使得学生的认知习惯还在以字母x，y来表达两个变量以及函数解析式的標准表达形式y=kx+b（k≠0）上，一旦这两个变量换成用其他字母表达或函数解析式变成非标准形式时，学生就出错或无从下手. 因此，教师应及早提醒学生注意这方面的问题.

说明 概念学习的最终目的是学会应用，其应用需要学生在进行数学思考的同时实施理性思维，这些都需要有一定的时空作保障，因而不能急躁、冒进. 在这里慢下来，通过“慢思维”，在学生活动过程中，突出教师的引导作用，在学生原有知识和教学目标之间合理设置阶梯，架设桥梁，让学生在最近发展区不断完善自己的知识结构体系，提升思维品质.

其意义在于，让学生在掌握一次函数概念后，经历由“学”到“悟”的过程，通过深刻领会概念的内涵和外延，熟练解决实际问题.

其作用是，以数学知识为载体促进学生的发展，真正实现“数学育人”. 教师在领悟数学问题的本质、理解数学、清楚数学的前提下，实现对学生进行“思维的教学”. 这才是自然课堂带给我们的无穷魅力.

李邦河院士说：“数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧. 因此，在概念的学习过程中，教师要想让学生真正地理解概念，就必须先让学生了解其产生的背景，然后通过大量实例分析概念的本质属性，进而让学生概括概念、完善概念，最终达到巩固和应用概念的目的. 这里让学生再次回归概念，慢慢领悟，慢慢消化，以求得实效，以加深学生对一次函数概念的理解.

实践证明，每一个数学概念的理解都是在学习活动中发生、发展的，“发现一些具体情境中对象的特征——归纳对象的共性——提炼对象的本质属性得到概念——理解概念并运用”，这就是学生学习概念过程中常见的几个环节，每一个环节在课堂学习中都离不开学生的“说”. 既然要让学生大胆地“说”，就要在慢等待中给足学生思考的时间，这才是“慢”中求“实”的本意. 本来新知识的学习和应用就应贯穿学生的整个学习过程，学生的“思”和“悟”决定着新知学习的成效.

值得说明的是，一次函数作为初中数学核心内容之一——“函数”的学习，是一个起始阶段，对以后学习其他诸如反比例函数、二次函数等起着指导作用. 这里的“慢”操作，除了要让学生掌握学习函数的基本套路外，还要引导学生通过思考获得学习函数的基本数学活动经验，而基本数学活动经验的获得需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，需要在数学学习活动中积累. 这里的积淀也好，积累也罢，更多的时候需要“思”和“悟”，而“思”和“悟”需要一定的时间等待，因而应慢从缓来，不能急功近利.

结束语

教学心理学研究表明：教学效果的优劣既取决于教师教学的主导行为，更取决于学生作为主体在学习过程中的积极参与，而教师科学引导和精心主导下的学生主体活动会更有意义.

数学学习的终极目标是培养学生的思维能力，养成良好的学习习惯，形成核心素养.

教育要回归简单，回归自然，回归人性，不能急功近利. 知识的获得，经常也是困难、艰苦、缓慢的过程. 在教学中，适度地“慢”，才能焕发学生积极的热情；恰当地“慢”，才能让探究更自主，让激情更勃发，让思维更灵活，让课堂更精彩. 只有把握好 “慢”，我们的课堂才能蕴含灵动的生命力. 只有慢下来，才能回归教育本质，实现以人为本的“真教育”. 思维能力的培养、情感的对话、心灵的唤醒、基本数学活动经验的体验，是万万急不来的，慢工才能出细活.

这才是在“慢教育”理念指导下实实在在的数学课堂，这才是我们一直努力追求的自然课堂.