埋置移动荷载作用下饱和成层地基—梁耦合系统动力响应分析

胡安峰　李怡君　付鹏　孙波　谢康和

摘要：针对地铁列车运行中引起的地表振动问题，研究了埋置移动荷载作用下饱和成层地基-梁耦合系统的动力响应。将地基土体采用Biot饱和多孔介质理论来模拟，将地下轨道结构简化为埋置无限长Euler-Bernoulli梁，埋置移动荷载作用在梁上。并采用传递透射矩阵法（TRM法）考虑地基的成层性。利用Fourier变换及逆变换，结合梁与土体间的力与位移连续条件，得到了地基在时间空间域内的动力响应解答。当饱和成层地基退化为均质黏弹性地基时，所得解与已有解能很好地吻合。最后，通过数值算例分析了梁的刚度、埋置深度及荷载移动速度、频率等因素对地表振动的影响。

关键词：埋置移动荷载；动力响应；地基-梁耦合系统；TRM法

中图分类号：TU435 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）01-0140-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.017

引言

近年来，随着高速铁路和地铁等轨道交通的快速发展，列车运行引起的环境振动问题受到越来越多的关注。不少学者在该领域进行了深入的研究。Sneddon，Eason，Hung和Yang等首先将地基考虑为均质线弹性或黏弹性介质模型，对移动荷载作用下（黏）弹性地基的动力响应进行了理论求解。为考虑轨道结构的作用，Kenney首次研究了移动荷载作用下弹性梁及下卧弹性地基的稳态动力响应问题；chen和Huang将铁路系统简化为黏弹性地基上有限长和无限长的Timoshenko梁，研究了移动简谐荷载和非简谐荷载作用下Timoshenko梁的动力响应问题；Malli等研究了黏弹性地基上无限长Euler-Bernoulli梁在匀速移动点荷载作用下的动力响应问题。由于饱和土体是一种两相介质，其中土骨架与孔隙水的耦合作用对波在土体中的传播影响较大。故自Biot提出饱和多孔介质的动力控制方程后，多数学者都基于此对饱和地基的动力响应进行了研究。Theodorakopoulos考虑了水土之间的相对运动，采用解析和数值的方法研究了多孔弹性半平面在移动线荷载作用下的动力响应；金波等研究了匀速移动的简谐荷载作用下多孔饱和固体中产生的应力和孔隙水压力，并利用扩展的梯形求积公式获得数值解答；蔡袁强等采用半解析法研究了列车荷载作用下板式軌道一下卧饱和土体系统的动力响应间题。针对地铁等埋置移动荷载作用下的地基动力响应问题，senjuntichai等求得了均质饱和多孔半平面在地表一定深度下的简谐荷载及流体压力等荷载作用下的动力格林函数；Metrikine和Vrouwenvelder通过将隧道结构简化为埋置于二维黏弹性半平面内的欧拉梁，研究了作用于梁上的三种不同类型的移动荷载引起的地表振动规律。

在天然沉积作用下，地基土体一般都具有成层性。Luco和Apsel首次利用传递反射矩阵法（Transmission and Reflection Matrices Method，以下简称TRM法）求得了三维弹性成层半空间的动力格林函数。当土层厚度较大及荷载频率较高时，该方法与传统的传递矩阵法相比，能够克服计算过程中出现的病态方程组等问题。Xu等利用TRM法研究了饱和成层地基上无限长Euler-Bernoulli梁在移动荷载作用下的动力响应问题。从已有结果来看，TRM法在解决高频高速问题上具有很好的效果。

目前关于饱和成层地基在地铁列车等埋置移动荷载作用下的动力响应的理论研究还较少见。本文基于Biot饱和多孔介质动力控制方程，采用TRME法对成层饱和地基的动力响应问题进行求解，同时将地下轨道结构简化为无限长Euler-Bernoulli梁模型，移动荷载作用在欧拉梁上。经过Fourier变换及逆变换，得到地基中任一点在空间一时间域内动力响应的积分形式解。通过将本文的退化结果与Metrikine的黏弹性地基动力响应解进行对比，验证了本文求解方法的可靠性。最后，通过数值算例分析了梁的刚度、埋置深度、荷载速度及频率等因素对地表振动的影响。

1成层饱和地基-梁耦合模型

建立如图1所示的成层地基一梁平面应变耦合模型（x-z平面内），即ε_xy=ε_yy=ε_yz=0。地基中的梁位于第z层和第l+1层的交界面处。移动荷载作用在梁上（即z=z_l处），假定梁在水平方向不发生位移。荷载表达式为：F=P₀e^-iw₀tδ（x-ct）；其中p₀为点荷载幅值；c为移动荷载速度，δ（…）表示狄拉克函数；w₀为荷载圆频率。

1.1饱和土体的控制方程

不考虑土体自重并假设土体内部不存在流体源，Biot饱和多孔介质的波动方程可以简化为如下形式：

饱和土体的应力应变关系为：

将式（5）和（6）代入式（1）和（2）中，得到一组关于势函数的偏微分方程。

定义Fourier变换及其逆变换分别为：

1.2梁的运动方程

饱和成层地基一梁耦合模型中的梁采用Euler-Bernoulli梁模型，梁的运动方程可表示为

2模型的边界条件

饱和成层地基-梁耦合模型的边界条件及连续条件可以表述为：

而当把第n+1层考虑成下卧基岩时，边界条件可以表示为：

3利用TRM法求解成层地基

由第一节中可以得到地基中任意一层（第j层）在变换域内的动力响应表达式：

则埋置荷载之下土层（即l

由变换域内的地基自由表面（即z=z₀）的边界条件表达式可得

同理，埋置荷载之上土层（0

至此，由式（13b）可以得到饱和成层地基在频率一波数域内的动力响应解。

为了得到時间一空间域的解，对上述频率一波数域的解进行Fourier逆变换：

4算例分析

4.1数值计算结果验证

由前面的分析可知，当M=pf=m=b=a=0时，饱和地基可退化为黏弹性地基。当各层土参数取值相同时，层状土退化为均质土。为了验证本文解的正确性，将本文退化解（退化为单层黏弹性地基）与Metrikine的解进行了对比。Metrikine给出了下卧基岩的黏弹性地基与内部梁耦合模型动力响应的积分形式解，其中E_layer=3×10⁷N/m²，v=0.3，p=1700kg/m³，h=12m/7m（梁到地基表面的距离），H=15m（梁到下卧基岩的距离），梁的单位长度质量ps=3×10⁴kg/m，梁的抗弯刚度EI=109N·m²，荷载大小P₀=10⁴N，荷载速度v=30m/s。如图2所示为二者的位移时程曲线对比图，从图中可以看到计算结果吻合得较好。4.2数值计算算例分析

考虑下卧基岩的饱和成层地基，埋置梁结构到地基表面与下卧基岩的距离分别为h₁=10m，h₂=15m。梁的抗弯刚度为E1=5×10⁹N·m²。饱和地基、梁及荷载参数的取值见表1。采用修正黏滞阻尼模型来考虑饱和土的黏弹性：λ^*=λ（1+η_ssign（ω），μ^*=μ（1+η_ssign（ω）。

设图1中的坐标原点（x=0，z=0）为观察点，假定t=0时刻，移动荷载恰好作用在观察点位置处，则t<0时与t>0时分别代表“荷载朝着观察点移动”及“荷载远离观察点”。

下面通过几个算例对埋置移动荷载作用下观察点的振动规律进行分析。

4.2.1移动荷载速度及频率对动力响应的影响

图3分别给出了4种不同类型的埋置移动荷载作用下地表竖向位移曲线图。考虑地基的瑞利波速c_R为临界波速，荷载速度分别取亚瑞利波速0.5CR，瑞利波速c_R和超瑞利波速1.5c_R，其中饱和土体的瑞丽波速fR≈100m/s；荷载频率考虑常值荷载（f₀=0）与简谐荷载（f₀=10）两种情况。另外，为了考虑梁在耦合系统中的作用，将荷载直接作用于饱和半空间内部与荷载作用于埋置梁结构上两种情况下观察点的振动情况进行对比。

首先，从以上4幅图可以观察到，同一埋置荷载作用下，地基-梁耦合系统的地表振动幅值均小于饱和半空间地基模型的振动幅值，尤其是当荷载速度小于临界速度时，梁的存在对地表振动幅值的影响更明显。另外，在梁的作用下，地表振动相位向左有一定偏移，说明梁对波的传递有一定的延迟作用。

图3（a）与（c）中的移动荷载加振频率均为零，为移动常值荷载。当荷载移动速度小于临界波速时，地表位移振动曲线关于t=0对称，呈脉冲状，为准静态变形；而当荷载移动速度大于临界波速时，振动曲线出现明显不对称，且位移最大值不再出现在t=0处，t>0时的位移振动幅值远大于t<0时的位移振动幅值，位移振动曲线呈现出明显的波动状态。另外，图3（c）中的最大位移幅值大于图3（a）中的最大位移幅值，这是因为当荷载移动速度超过临界速度时会发生马赫效应，引起共振。

图3（a）与（b）中荷载移动速度均小于临界波速。从图3（a）中可看出，当荷载无加振频率时，地表变形为准静态变形，没有出现波动；从图3（b）中可看到，当荷载有加振频率时，地表产生振动，且其振动表现出多普勒效应，t<0一侧的振动频率大于t>0一侧的振动频率。此外，饱和地基模型与地基-梁耦合模型中的振动曲线有很大不同，在梁的作用下观察点在t=0时的振动趋于零。

图3（c）与（d）中荷载移动速度均大于临界波速。可观察到，两图中的位移曲线在t>0时，均出现一些不规则的振荡，且当荷载有加振频率时，地表振动频率更高。

图3（b）与（d）中荷载的加振频率相同时，荷载移动速度越大，地表的振动持续时间越长，振动衰减越慢，振动频率越低。

4.2.2梁刚度对地基动力响应的影响

图4给出了荷载作用在不同刚度梁上时的饱和地基振动曲线。分别取梁的刚度为：E1=5×10⁸N·m²，E1=1×10⁹N·m²和E1=5×10³N·m²，其他参数的取值不变。

图4（a）为亚瑞利波速移动常值荷载作用下，不同梁刚度时的地表振动曲线。此时荷载加振频率为零，地基振动主要是由列车自重引起的。随着梁刚度增加，地表振动幅值降低，振动衰减变慢。从能量角度看，由于轨道结构的刚度大于地基的刚度，荷载通过梁作用于周围土体，梁刚度越大，其作为能量吸收层所耗散的能量就越大，地基自由场中传播的能量就越小，地基位移幅值就会越小，梁影响的区域也就相应越大。

图4（b）为超瑞利波速移动常值荷载作用下，不同梁刚度时的地表振动曲线。当荷载速度超过临界速度时，梁刚度的变化对振动幅值影响不明显。在t=0附近，地表位移会发生振荡，梁刚度越小，振荡越激烈。此外，由于梁的存在会影响波的传播方式，地表振动相位随梁刚度的变化也出现了一定变化。

图4（c）给出了亚瑞利波速简谐荷载作用下，梁刚度对地表振动曲线的影响。可观察到梁刚度对地表振动幅值与相位都有一定影响。随着梁刚度的增大，地表振动幅值降低，且振动相位向左有一定偏移。

图4（d）给出了超瑞利波速简谐荷载作用下梁刚度不同时地表的振动情况。从图中可以看到，随着梁刚度的增大，振动相位向左偏移。

4.2.3梁的埋置深度对动力响应的影响

取梁的抗弯刚度E1=5×10⁹N·m²，梁的埋深分别取h₁=5，10，15m。土体参数及荷载参数与表1中的取值相同。

由以上四幅图可看出，梁的埋深越深，地表位移响应幅值越小，且随着埋深的增加，地表振动相位也有一定的偏移，振动频率也有所降低。

图5（a）与（b）中移动荷载的加振频率为零。当荷载速度小于临界速度时，梁的埋深越深，地表振动幅值越小，振动持续时间越短；当荷载速度大于临界速度时，随着梁埋深的增加，地表振动相位向右偏移，地表振动频率有所降低，在t>0时更明显。

图5（c）与（d）中，移动荷载有一定的加振频率，当荷载速度小于临界速度时，响应幅值不再是在t=0时达到最大，反而在t=0附近最小。在t>0时，梁的埋深对地表振动幅值的影响比t<0时的影响更明显。当荷载速度大于临界速度时，在t=0附近，振动曲线出现一段震荡区域；在t<0时，地表振动相位随隧道埋深的增加向左偏移；在t>0时，地表振动相位随隧道埋深的增加向右偏移。

5结论

本文采用TRM法对饱和成层地基-梁耦合模型进行求解，得到了当移动荷载作用在埋置梁结构上时，地基中任一点任一时刻的動力响应积分形式解。通过数值计算，分析了荷载的速度、频率、梁的刚度及埋深对地表振动的影响，得到以下结论：

（1）当移动荷载为常值荷载时，地表变形在荷载速度小于临界速度时为准静态变形，振动曲线关于t=0对称；地表变形在移动速度超过临界速度时出现振动，且t>0一侧的地表振动幅值远大于t<0一侧的地表振动幅值。当移动荷载有加振频率时，地表振动表现出多普勒效应。

（2）梁结构的存在对振动的振幅及相位均有影响。且随着梁刚度的增加，地表振幅降低，振动的范围变大，振动衰减变慢，振动相位也出现了偏移。

（3）梁结构的埋置深度对地表振动的影响较大。埋深的增加不仅会使地表振动幅值降低，而且会对地表振动相位及频率产生影响，影响的大小与荷载的移动速度及频率都有关系。