移动最小二乘法在高程异常拟合中的应用

周平红,李志福

(1.广东环境保护工程职业学院,广东 佛山 528216;2.佛山市测绘地理信息研究院,广东 佛山 528000)

0　引　言

GPS测量得到的是大地高,需要转换成正常高,才能应用于工程中。当测区范围较小或者工程精度要求不太高时,可以采用数学模型拟合高程异常,从而得到我们需要的正常高。除物理大地测量方法以外,常用的高程异常拟合方法有多项式曲线、曲面拟合,样条函数拟合、多面函数拟合等方法。这些拟合方法是使用最小二乘进行求解。移动最小二乘法是Lancaster等在研究曲面拟合时对标准的最小二乘形式进行了推广[1]。近年来移动最小二乘法在点云数据处理、图像处理等方面得到了广泛应用[2-3]。本文将移动最小二乘(Moving-Least)应用到高程异常拟合中,拟合精度较常规方法有所提高。

1　移动最小二乘法

相对传统的最小二乘法,移动最小二乘法(MLS)有所不同,它引入紧支概念,认为某点的函数值仅跟它影响范围内点的坐标值有关,每个函数值有一个影响域,影响域外的点对该函数值无影响。在影响区域内定义了一个非常数的权函数w(x),当该权函数为常数时,就变成传统的最小二乘法。此外,MLS在拟合函数的建立上也有所不同,在一个局部子域上,拟合函数由向量a(x)和基函数p(x)构成,而a(x)是坐标X的函数[4],即

(1)

式中:α(x)=[a1(x)a2(x) …am(x)]T为待求系数。它是坐标X的函数。p(x)=[p1(x)p2(x) …pm(x)]T称为基函数,它是k阶完备的多项式,m是基函数的项数。曲线拟合时,p(x)可以取线性基或二次基, 线性基p(x)=[1,x]T,m=2 二次基p(x)=[1,x,x2]T,m=3

曲面拟合时,p(x)可以取线性基或二次基,线性基p(x)=[1,x,y]T,m=3 二次基p(x)=[1,x,y,x2xy,y2]T,m=6

式中:n为影响区域节点的数目;ζi为ζ(x)在xi处的值。w(x-xi)是节点xi的权函数。

为确定系数,对该函数求偏导:

(2)

α(x)=A-1(x)B(x)ζ.

(3)

B(x)=[w(x-x1)p(x1),w(x-x2)p(x2),…,w(x-xn)p(xn)].ζ=[ζ1,ζ2,…,ζn]T

2　权函数的选择与影响半径的确定

在MLS拟合中权函数发挥着重要作用。作为权函数,它的值要求非负且由计算点向外呈单调递减直至在某一范围即影响半径之外取零值,同时权函数应具有一定阶次的连续可导性从而保证形函数也能近似解连续可导。权函数的形式包括三次样条函数、四次样条函数、高斯函数等。常用的是三次样条函数[4]。

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(4)

应用MLS进行拟合,最大的难点是影响半径的确定。当点分布均匀时,已有学者研究出半径确定的方法[5],但当点分布不均匀时,如何取值还没有成熟的理论。本文提出“固定点数法”来确定影响半径R,即根据选取的基函数不同,确定影响区域所需要的最少点数N[5],则影响区域为以待求点M为圆心,包含(N+D)个点的圆。通过数据验算,综合考虑影响区域的局部性和A(x)可逆,D

取1较合适。为避免矩阵A(x)病态,点M的影响半径宜取到点M距离由近及远的第(N+2)个点的距离,如图1所示。

3　MLS在高程异常拟合中的应用

3.1　实例1:

某带状工程[6],高程异常最大较差为0.557 m。点位分布如图2所示,坐标及高程异常如表1所示。

表1　某带状工程点位坐标及高程异常 单位:m

1) 选取点11,28,35,40,19,7,43,44,15,32,42,26,17共13个点,作为建模数据,点21,23,41,38,39,33,34,13,25,39,29,30,共12个点作为检核点。

为提高拟合精度,选取曲线拟合中的二次基作为基函数,即p(x)=[1,x,x2]T,m=3,此时N=3.分别取影响区域内节点数(不含边界)C为4,5,6,7进行计算,结果如表2所示。

表2　不同节点数拟合精度比较

从表2看出,检核点的精度并没有随着影响区域内节点数的增加而提高。考虑到影响区域的局部性,线性拟合时,MLS影响区域内节点数取4,半径取待求点到第5个点的距离。

2) 为研究MLS曲线拟合的精度,将其与直线拟合、三次多项式拟合、样条曲线拟合三种拟合模型[7-8]进行比较,结果如表3所示。

从表3中看出,1) 各模型拟合效果均不是很好,均在厘米级,这主要是由于该工程已知点的分布较不均匀。2) 随着建模点个数的增加,拟合精度有所提高,但提高到一定程度,建模点个数对拟合精度的影响降低。3) 因该工程为线状工程,使

用MLS拟合时,影响域的点仅分布在待求点的两侧,拟合精度一般,与其他模型比较,优势不是很明显。但拟合精度相对较稳定。

表3　各模型精度比较 单位:m

3.2　实例2

某面状工程GNSS水准点共40个,区域面积约300 km2,最大最小高程异常较差为1.068 m,坐标如表4所示。

表4　某面状工程水准点坐标表 单位:m

点号X坐标Y坐标高程异常点号X坐标Y坐标高程异常1425523545505991.7153425557255428101.3241525535545496351.6533525504555301971.0251625489755509571.7693625492545310191.0671725504295475151.6393725508545316401.0481825475545467671.6673825515005410171.4051925555375462891.5133925604555437131.2632025514905419691.414025495335321901.106

1) 选择2,5,7,9,13,16,18,23,24,29,30,32,35,38,11,34共16个点作为建模点,1,3,4,6,8,12,14,15,17,19,20,21,22,25,26,27,28,31,36,37,39,40共22个点作为检核点。应用“固定点数法”,采用曲面拟合的二次基作为基函数。影响半径内的节点数(不含边界)分别取7,8,9,10进行计算,结果如表5所示。

表5　不同节点数拟合精度比较 单位:m

表5数据显示,高程异常的拟合精度并没有随着影响范围内节点数的增加而提高,为了突出局部性,取影响范围内的节点数为七个较合适,则影响半径为该点到第八个点的距离。

2) 为研究MLS曲面拟合的精度,将其与平面拟合、二次曲面拟合、多面函数拟合三种拟合模型[9-11]进行比较。

① 分别按分布均匀、不均匀来选取其中16个点作为建模点,其余的22个点作为检核点。检核点拟合较差如图3所示。

由图3所示:随着建模数据均匀度的降低,各模型拟合精度均下降。相对来说,MLS拟合精度较稳定。

② 分别按表6三种方案选取建模点和检核点。

表6　选点方案

检核点拟合较差如图4,图5,图6所示。

从图4、图5、图6中看出,当拟合区域较大,高程异常起伏较大时,平面拟合和二次曲面拟合精度已经不能满足工程要求。相对来说,应用MLS进行高程异常拟合优势明显,精度高于其他模型。

4　结束语

将移动最小二乘法应用在高程异常拟合中具有最小二乘法不具有的优势。通过上述两个实例中的线状工程和面状工程验算,显示当拟合区域成面状分布,尤其是区域面积较大时,MLS优势更加明显,它无需分块拟合,但精度仍较好。MLS最重要的是权函数和影响半径的确定,权函数建议使用三次样条函数,拟合效果较好。影响半径可以采用“固定点数法”。为了使整个区域的精度均匀,选取已知点(建模点)时应尽量分布均匀,且最外围点应选取,以避免精度外推。

[1]LANCASTER P,SALKAUSKAS K. Surfaces generated by moving least square methods [J].Mathematics of Compution, 1981(37):141-158.

[2]李睿,林海荣,吴小燕.基于稳健移动最小二乘法的点云数据拟合[J].测绘与空间地理信息,2017,5(5):122-124.

[3]楚东东.基于移动最小二乘法的视差图像拼接 [J].计算机应用与软件,2017,8(8):231-235.

[4]曾清红,卢德唐.基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合[J]. 工程图学学报,2004(1):84-88.

[5]左传伟,聂玉峰,赵美玲.移动最小二乘方法中影响半径的选取[J].工程数学学报,2005,22(5):833-838.

[6]张永.GPS高程拟合及其在交通工程中的应用研究[D].西安:长安大学.2008.

[7]刘舜,谢忠良.线形工程中GPS高程拟合方法的探讨[J].北京测绘,2010(3): 77-78.

[8]李明军,杨国东.带状广域高程拟合方法的探讨[J].城市测绘,2011(2): 96-99.

[9]吴砚辉,黄焱等.GPS高程异常拟合研究[J].测绘与空间地理信息,2009, 32(6):151-156.

[10]王世君.多面函数法高程拟合研究[J].山西建筑,2008,34(15):355-356.

[11]王明华,李浩.GPS高程拟合的模型优选[EB/OL].中国科技论文在线，[2015-11-30]. http://www.paper.edu.cn.