把握数学本质 渗透数学思想

付健 孙秀萍

教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》三年级上册第五单元第50页例1。

教材简析：

倍的认识是数与代数领域“数的运算”中的重要内容，是学生第一次接触比率。比率这一概念在数学学习中有着重要的作用，是学生以后学习比例、一元函数的基础。理解两个量的倍数关系（比率）也是学生乘法认知结构建立的重要内容。本节课教学的主要内容是理解一个数是另一个数几倍的含义，初步建立倍的概念。

教材编写特点：教材充分利用学生已有的乘、除法知识，帮助学生建立倍的概念。先利用“几个几”引出倍的含义后，再从除法的角度加深对倍的概念的理解，让学生体会倍的本质。教材安排多个层次的活动，让学生通过多次感知，在不断比较和抽象的过程中建立倍的概念。通过大量的比较两个量的倍数关系的机会，帮助学生建立倍的直观模型。

学情分析：

“倍”的概念建立是在学生掌握简单的乘法和除法知识后进行演化学习的，它是依据乘法知识中“份”的概念扩展而来的。然而在学习“倍”之前，学生对两个不等量的比较，只会用“多”或“少”来形容。所以，在引出倍的同时必须搭建好“倍”与“份”的桥梁，让学生由“份”拓展到“倍”，最终又回到“份”，使“倍”的知识在整体网络中产生和发展。

本节课我创造性地使用教材，由例题开始，要学生解读主题图，先引导学生搞清红萝卜的根数是绿萝卜的3倍，初步建立倍的概念。然后用总结出来的分类计数，圈、摆、列式等方法引导学生找到白萝卜与绿萝卜的倍数关系。“倍”的概念的感知和理解都从图形入手，使抽象的概念直观化、形象化、简单化，从摆图到看图以及练习中画出第二行小棒是第一行小棒的4倍，都反应出数形结合思想的渗透。在新课探究中，分别改变绿萝卜、白萝卜的根数，渗透正反比例的思想。

教学目标：

1. 结合具体情境，理解一个数是另一个数几倍的含义，初步建立倍的概念。

2. 在操作活动中，获得“倍”概念的直观体验。

3. 培养学生观察、操作、分析及语言表达的能力，养成良好的学习习惯。在探索与交流的过程中体会数学知识的应用价值。

教学重、难点：初步建立倍的概念。理解“倍”与除法的关系。

教学准备：绿萝卜教具、红萝卜教具、白萝卜教具、题单。

教学过程：

一、创设情境，谈话引入

展示教材50页情境图。

師：你看到了什么萝卜，数量各是多少？

生：我看到了绿萝卜和红萝卜。绿萝卜有2根，红萝卜有6根。（教师在黑板上贴出：绿萝卜2根，红萝卜6根。）

师：比较绿萝卜和红萝卜的数量，你有什么发现？

生1：2比6少。

生2：6比2多。

生3：6是2的3倍。

二、观察实践，探究新知

1.初步认识“倍”的概念。

师：6表示红萝卜的根数，2表示绿萝卜的根数，3倍是什么意思呢？

生：3倍表示6里面有3个2。

师：请一名同学上台摆一摆红萝卜，使大家看得清楚一些。

生：我是2根2根摆的。

师：（指着这个2根）这是——

生：1个2根。

接着边指边数，红萝卜有3个2根。

师：绿萝卜2根，红萝卜有3个2根。我们就说红萝卜的根数是绿萝卜根数的3倍。

师：“倍”就是我们今天要认识的新朋友（板书：倍的认识）。

师：什么是倍呢？两个数进行比较，一个数里包含几个另一个数，这个数就是另一个数的几倍。

师：刚刚我们用2和6这两个数进行比较，6里面包含几个2，6就是2的几倍。

师：我们通过摆一摆，找到了6里面有3个2。其实我们也可以2根2根地圈一圈，也可以在每2根的下面画一条横线，无论是摆、圈还是画横线，其实都是为了清楚地看到份数。除了这些方法，有没有更简便的方法呢？

（生列算式。6÷2=3。）

师：请同桌之间说一说红萝卜和绿萝卜之间的倍数关系。

…………

师：同学们，我们已经找到了红萝卜和绿萝卜之间的倍数关系，下面请大家回忆一下，我们是怎么找到6和2的倍数关系的？先怎么样？

（生先观察图片：凌乱的绿萝卜、红萝卜图片。）

师：按颜色的不同进行分类，并且数出了个数。这就是分类计数的过程。

生：然后我们圈一圈比较，也可以摆一摆比较，也可以画横线，还可以列算式。

师：最后我们找到了红萝卜和绿萝卜之间的倍数关系，完成了填空。

师：现在小兔又拿来了白萝卜，下面我们就用刚才的这种方法来找到白萝卜和绿萝卜之间的倍数关系，好吗？

根据自学提示（圈一圈、填一填），完成答题卡。

师：有多少根白萝卜？

生：10根。

师：谁来填一填？

生：10根里面有5个2根，白萝卜是绿萝卜的5倍。（师板书。）

师：同学们，你们和我一样吗？为什么2根2根圈？

师：这道题不圈行不行？

生：不行，自学提示要求圈一圈。

师：审题很重要。

【评析】通过观察红萝卜和绿萝卜之间的关系，引导学生发现绿萝卜有2根，红萝卜有3个2根，红萝卜的根数是绿萝卜的3倍，让学生初步建立“倍”的概念。并用圈一圈、摆一摆、列式等求倍的方法找到白萝卜的与绿萝卜的倍数关系。

2. 在变化中加深对倍的概念的理解。

（1）白萝卜减少到8根、2根。白萝卜的根数是绿萝卜的（ ）倍。

（2）白萝卜由2根增加到12根，白萝卜的根数是绿萝卜的（ ）倍。（2根绿萝卜在下面，也就是1份量的位置发生了变化。）

师：两个数比较大小，与实物的位置没有关系。

师：刚才我们一直在比较萝卜的数量，如果不是萝卜，是其他事物行不行？

生：行。

师：对，倍是两个数进行比较，这两个数对应什么事物都可以。你们瞧，老师用2个方形代替绿萝卜，用10个梯形代替红萝卜，谁能来填一填？

【评析】由萝卜图片逐渐抽象成图形，把“对象之间的关系”转化成为“图形之间的关系”，培养学生的几何直观。分别增加和减少白萝卜、绿萝卜的根数，比的比较量和标准量分别变化，使学生发现倍数会发生变化，无形中渗透了正、反比例思想。

三、练习巩固，加深理解

1.小小答题手。

生：苹果的个数是梨的3倍。

师：你是怎么想的？

生：苹果9个，梨3个，9÷3=3。

师：还有其他方法吗？

生：这是一个有规律的排列，3个苹果和1个梨为一组重复出现。第一组中苹果的个数是梨的3倍，所以这道题苹果的个数就是梨的3倍。

师：第一组里苹果的个数是梨的3倍。第二组里苹果的个数是梨的3倍。第三组刚刚知道了苹果的个数是梨的3倍。对于有规律的排列，无论组数怎么变化，苹果和梨的倍数关系是不变的。

师：你们第二行画了多少根小棒？

生：20根。

师：为什么是20根小棒？

生：因为是4个5根，也就是20根。

【评析】每一道题目的设计都充满了执教者对本节课内涵以及外延的独特见解。（1）将苹果和梨按3：1的比例成组出现，渗透比例思想。（2）虽让学生建构了“解决求一个数的几倍是多少”的问题的思维模式，但重点是加深学生对倍的含义的理解。

2. 小小魔术师。

师：如果老师给你6个红○（课件出示6个红○），请你摆出绿色○，使红色○的个数是绿色○的倍数，你能摆出几种情况呢？（小组讨论。）

师：观察四组○，你有什么发现？

师：红○始终是6个，为什么比较的结果一会儿是6倍，一会儿是3倍、2倍、1倍呢？

生：因为绿○的个数在不断地变化。

【评析】在这个环节的教学过程中，付老师带给我们的不仅仅是认识“倍”，更将倍的意义建立在一个深厚的数学大背景中。通过红○个数不变，改变绿○的个数，让学生从观察、操作中再一次体验到“1份”在变化，比较的结果也发生着变化。即在总数不变的情况下份数如果变了，那么它们之间的倍数关系也发生了变化。总数不变，每份数越少，份数就越多，反之亦然。

四、课堂总结

师：同学们，让我们一起回顾一下今天所学的内容。今天这节课我们认识了一个新朋友“倍”。倍，是两个数进行比较，要想知道一個数是另一个数的几倍，那我们就要先知道一个数里包含几个另一个数。我们还学习到了一些求倍的方法。

总评：

一、 对数学知识本质的准确把握

基于核心素养的教学，首先要求教师抓住知识的本质，创设教学情境，启发学生思考。

“倍”是一个比较抽象的概念，是两个数量之间的比率关系，是学生的认知从加法结构变化到乘法结构的转折点。乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次数学认知结构。在学习“倍”之前，学生头脑中建构的是“加法结构”，是数量的合并与多少的比较，没有接触到两个数量的比率关系。对两个量或多个量之间的比率关系的真正理解，需要在学生头脑中建构起“乘法结构”。而“倍”的学习正是建构乘法结构的开始。付老师紧紧抓住“倍的本质是两个数量在相互比较”，运用几种不同数量的萝卜比较：6个红萝卜与2个绿萝卜比较，10个白萝卜与2个绿萝卜比较，通过摆一摆、圈一圈的方法，给被比较量按照标准量分份。在这个过程中不断强调谁与谁比较，让学生建立起“倍”的直观模型，然后结合除法从比较关系的角度对“倍”再认识（求红萝卜的个数是绿萝卜的几倍就是以绿萝卜的个数为标准，看红萝卜里包含几份绿萝卜），再通过两个比较量不断的、有趣的变化，进一步加深对“倍”的认识，在多种形式的活动和练习中巩固对“倍”概念的理解，不急不躁，循序渐进，建立起倍数关系的数学模型。在变化的过程中，付老师还注意引导学生把不同的、非本质的特征全部去掉，只保留数字之间的比较关系，如10与2，6与3……并用简单的语言表达出来，使学生在不断的抽象中实现一次次理性的飞跃，对“倍”的认识达到了概念性水平。

二、 对学生已有认知的有效利用

站在学生的立场思考问题，就是我们所说的“尊重教育”的一方面。教师在备课时要充分了解学生对所讲授的内容知道了什么，不知道什么。对学生知道的内容如何加以利用，对学生不知道的内容采用什么方式传授才能更好地让学生理解……这也是课程资源的一部分。

二年级的学生已经学习了乘法、除法的相关内容，通过课前调研还发现，关于“倍”学生也或多或少有些了解，甚至许多学生知道一个数的几倍就是这个数乘几。付老师充分利用学生的这些已有认知完成了“倍”的直观模型初步建构。上课伊始，开门见山地提出：观察6与2，你有什么发现？然后由学生的回答6是2的3倍，追问：2 由2个绿萝卜表示，6由 6个红萝卜表示，3倍怎么表示？引导学生在黑板上摆出3倍关系。在不断的追问中进一步明确谁与谁比较、每一份的个数是多少、一共有多少份。“倍”的直观模型完全建立起来后，再运用二年级乘、除法的知识进一步解释，顺利建立起“倍”的数学概念。新旧知识衔接点找得准确，教学过程流畅、有序。

三、 对解决问题方法的精心指导

学生解决问题的能力不是天然而成的，也不是一蹴而就的，需要教师长期、反复精心指导逐步形成。

本节课的每一个教学环节结束，付老师都及时总结、归纳方法。如第一个环节认识倍以后，及时引导学生归纳确定直观图片给出的两种数量倍数关系方法：分类——比较——解决。同时强调比较的方法可以是摆一摆、圈一圈等分份的方法，也可以用列除法算式的方法，体现了算法多样化。在圈一圈找白萝卜与绿萝卜的倍数关系中，引导学生关注审题的重要性。在找苹果、梨的倍数关系时，引导学生注意一般方法和特殊方法（规律的运用）的取舍，强调优化意识。

四、对基本数学思想的有意渗透

数学思想不是靠讲解让学生理解的，而是在大量、反复的情境创设中让学生自主感悟的。

本节课通过设计连续情境，不断改变两个比较量的数量，让学生充分感悟正、反比例的思想；在小组合作摆出红、绿两种圆片的倍数关系中让学生感悟一一对应的思想。在“第一行给出5根小棒，如何在第二行摆出第一行的4倍”的分析中，付老师通过反例让学生清楚按照份数摆的方法最好，不容易多摆或少摆。体现算法多样化的同时，进一步渗透优化思想。

编辑/魏继军