小题大做勤思考，课堂“三放”现妙招——基于学科核心素养的课堂教学研究

◎黄霞

一、研究背景

学科素养意蕴。核心素养是可以考查的.教育部考试中心副主任于涵在“第二届测试与评价国际研讨会”上讲到：“我们期待高考体现：育人的立场、选拔的立场、导向的立场，包括更好服务教学，更好服务考生成长.”因此，理清“核心素养—课程标准—考试大纲—高考命题”之间的关系.追根溯源，要从研究核心素养和课程标准入手去研究日常教学和高考命题，才能避免歧路亡羊和误入歧途的错误.要走出“考什么，教什么”的教学研究和高考研究的误区.理清“素养”与“考试”间的关系，当我们“把学生学业能力的提升建立在综合素质提升基础之上”时，素质教育和应试教育就达成一致了，否则就会对立和冲突.

核心素养引领课堂教学.“18个基本要点”，每一个要点都在每一节课，每一门学科，每一项教育教学活动中或明或暗，或强或弱的存在，都有具体的载体和实效的做法，并成为教育教学的目标.这样才不会成为空洞无物，不接地气的概念.如果上课只是把课本上的知识基本上讲清楚了，讲到位了，但文字后的东西挖掘不出来，如人文价值、核心素养、思维方法等等，这是一种“育分不育人”的教学.而核心素养的提出就是为了解决这个问题.具体操作中，要遵循核心素养的三大属性：科学性、时代性和民族性，即“面向未来、立足现实和传承文化”.

二、考试大纲动向

“考试大纲”和“考试说明”是高考命题的重要依据，也是学生备考和老师教学的重要依据.2017年的数学科高考《考试大纲》（课程标准实验版）及《考试说明》在2016年的基础上进行了微调和完善.在考试目标与要求上增加了“数学思想方法”，其明确提出了高考中重点考查的几个数学思想方法：函数与方程的思想；数形结合的思想；分类与整合的思想；化归与转化的思想；特殊与一般的思想；统计与概率的思想.

从能力要求上看，全国卷提高了考查逻辑推理能力试题的比例，考察考生慎密思维和严格推理的能力.因此，在平日教学中，要注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，多在知识的交汇处设计例题.紧紧抓住数学思想方法这条主线，贯穿教学与解题的整个过程.

导数是中学数学中的一大课题.在导数的应用中，其蕴含了几大数学思想.导数类题目也常常是高考中体现区分度的试题.2017年2月27日，“成都市高二数学教学研讨会”在成都铁路中学顺利召开.中心组专家向大家介绍了教学中的“三放”教学思路，包括：放手学生练习，放手学生板演，放手学生交流.针对这一观点，我颇受启发.为此，我就以导数课题为背景，在课堂上尝试了“三放”教学方法，并取得了一定的实效，特此分享.

三、教学分析

1.教学目标 学生现已学习了函数的求导方法和导数的应用，即在函数单调性、极值及最值上的简单应用.作为新课后的一节习题课，我确定了如下的教学目标，以拓展学生的思维能力和学科视野.

（1）学会用函数的单调性、最值等性质解决方程的根的问题和不等式问题；

（2）体会函数是解决方程、不等式问题的一种工具，导数是解决函数问题的一种重要工具；

（3）学会“用”知识，通过对例题的研究，体会多种数学思想在解决问题时的重要性，并培养学生的研究能力和创新精神，领会学科核心素养.

2.教学重难点 重点：利用函数与方程等思想解决问题；难点：化归思想在解题中的应用.

四、教学过程

1.抛出问题，任务驱动 上课后，我在黑板上呈现了如下一道考题：

例（2014全国 I理11）已知函数 f（x）=mx3-3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则m的取值范围为（ ）

A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1）

2.百家争鸣，精彩纷呈 题目给出后，老师给学生20分钟时间进行分析讨论，若有解题思路了，请举手示意，让老师查看.同学们快速进入解题过程……

5分钟后，学生1举手示意，其思路如下：

学生1：分类讨论，各个击破

由已知 m≠0，f′（x）=3mx2-6x，令f′（x）=0，得x=0或.

看完学生的解答后，老师给予了学生1充分的肯定，并引导学生尝试其它方法，学生又进入思考……

大约8分钟后，学生2给出了他自称比较“舒服”的方法：

学生2：数形结合，曲直分明

由mx3-3x2+1=0可知x≠0，可得作出y=3-的图象，转动直线y=mx，显然m＞0时不成立，当m＜0时，当直线y=mx与左边的直线相切时，设切点为，其中t＜0，则切线方程为.又切线过原点，则有，解得t=-1（t=1舍去），此时切线的斜率为 -2，于是m＜-2符合题意.

正当老师在看学生2的解答时，学生3又举手示意了，方法如下：

学生3：参变分离，演绎高效

此时，老师向学生2介绍了参变分离法，并总结了该类问题解决的思路.

参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离后变形为g（x）=l（m），将原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y=l（x）和函数g（x）的图象的交点问题.巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然.

15分钟时，学生4发言了：“老师，我有两个方法：第一个是分类讨论，第二个是特例法”.其法一与学生1基本相同，法二如下：

学生4：巧取特例，曲径通幽

取 m=3，则 f（x）=3x3-3x2+1.由于 f（0）=1，f（-1）＜0，从而 f（x）在 （-∞，0）上存在零点，故排除A，C.

看完其过程后，我向其介绍了特例法的原理：

特例法就是利用数学问题中的特殊与一般的关系来简化解题过程的一种技巧方法，是一种小题小做、省时省力的重要策略.特例法是从题干（或选项）出发，通过选取适合条件的特殊情形代替普遍情形，将问题特殊化得出特殊结论，然后进行判断排除，这种方法往往能缩减思维过程，降低题目的难度.

20分钟到了，老师邀请以上4位同学上讲台讲解各自的方法，必要的步骤作出板演.听完他们的讲解后，一些同学又给出了“高见”：

学生5：数形结合，曲曲与共

令 f（x）=0，得 mx3=3x2-1.问题转化为 f1（x）=mx3的图象与f2（x）=3x2-1的图象存在唯一的焦点，且焦点横坐标大于零.

若m=0时，函数f1（x）的图象与f2（x）的图象存在两个交点；

若m＞0时，不符合题意；

若m＜0时，可先求出函数f1（x）=mx3与f2（x）=3x2-1的图象有公切线时 m的值.由 f′1（x）=f′2（x），f1（x）=f2（x）得 m=-2.由图形得当m＜-2时，满足题意.

同学们听后，由心的给出了掌声，该同学还向大家介绍了本题给予的启示：

函数f（x）的零点，亦即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用且最有效的策略.

话音刚落，又一学生站了起来，“老师，我要对同学2的方法进行优化，优化后可简化计算.”

解法6：参变分离，换元优化

由已知m≠0，f（x）=mx3-3x2+1有唯一的正零点，等价于m=有唯一的正零根.令，则问题又等价于m=-t3+3t有唯一的正零根，即y=m与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在y轴右侧.记 f（t）=-t3+3t，f′（t）=-3t2+3，由 f′（t）=0，得 t=±1，当 t∈（-∞，-1）时，f′（t）＜0；当 t∈ （-1，1）时，f′（t）＞0；当 t∈ （1，+∞）时，f′（t）＜0，要使m=-t3+3t有唯一的正零根，只需m＜f（-1）=-2.

同学们再次献出了掌声……

3.思维碰撞，智慧生成 听完同学们的讲解后，老师颇为激动，借此气氛与同学们总结了解决该题的思路：

函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好的考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好的体现试卷的区分度.

由本题的六种方法，可知破解含参零点问题常有“四招”.

第一招，带参讨论：我们无法通过等价转化的思想将原问题划归为相对容易的问题，此时根据题设要求合理的对参数的取值进行分类，逐一求解.利用该策略求解时一般要求我们要明确讨论的标准，必须做到不重不漏.如解法一中就要考虑到m的正负对根“0”与“”的大小的影响.

第二招，数形结合：由两个基本的初等函数组合而得的超越函数f（x）=g（x）-h（x）的零点个数，等价于方程g（x）-h（x）=0的解的个数，亦即g（x）=h（x）的解的个数，进而转化为基本初等函数 y=g（x）与y=h（x）在同一直角坐标系中图象交点的个数.

第三招，参变分离：通过将原函数中的参变量进行分离后变形成g（x）=l（m），则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y=l（m）和函数g（x）的图象的交点问题.

第四招，要注意一些特殊情况，如函数图象的渐近线。在解法二中，函数的图象以y=3为渐近线.在解法四中，当x→-∞和x→+∞时，函数的图象都以x轴为渐近线；在x=0的左右两边时，函数的图象以y轴为渐近线.解法五在解法四的基础上进行了换元，令.关于函数零点问题中，用换元时一定要注意换元前后相关变量的范围.另外，换元时还要考虑是否改变零点的个数问题.如本题的解法五，，t与x是一一对应的，并没有改变零点的个数，但在某些题目中，令t=x，则t与x并不是一一对应的关系，此时讨论零点个数就要注意t与x的对应关系.

4.一题多变，回味无穷 本节课已接近尾声.一道题，学生们能够得出六种不同的解法，实属不易.结合学生们的热情，老师顺势又抛出了两道变式题：

变式一：（2014辽宁文）当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

变式二：（2016全国 I理科）若函数 f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点，求a的取值范围.

同学们会心一笑，并快速抄写在了作业本上，看来这节课同学们是真的“解渴了”.或许老师真的是该放手了，任他们自由的思考、成长和蜕变.

五、反思与感悟

高三阶段是学生从新手走向成熟的阶段，有意识的培养学生的研究和分析问题的能力很有必要，小题大做非本意，放手思考乃初衷.感受数学思想，培养学生学科核心素养，以提高其学习数学的信心和自信.常言道：“有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天下负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴”.是时候放手了！