一种基于SARIMA的经验对流层延迟模型

刘中流，任　超，甘祥前，梁春丽

(1. 桂林理工大学测绘地理信息学院，广西 桂林 541004； 2. 广西空间信息与测绘重点实验室，广西 桂林 541004)

GNSS精密定位技术已广泛应用于测量改正的各个领域。然而GNSS信号穿过大气层时会引起大气延迟误差，这往往对定位精度会产生很大的影响。大气延迟误差主要分为电离层延迟误差和对流层延迟误差。由于电离层对GNSS信号表现出色散介质特性，故产生的电离层延迟与GNSS信号频率相关，因而目前在GNSS常规测量中常采用双频观测方法来消除电离层延迟的影响，且在一定范围内，其对电离层延迟的改正可达90%以上[1]。然而对流层对GNSS信号表现出了非色散介质特性，因此双频观测方法不适用于对流层延迟改正。对对流层延迟改正的常用方法有外部修正法、参数估计法和模型改正法[2-3]，它们可以通过采集或运算的方法估计出ZTD值，再代入GNSS观测方程中便可进行延迟误差改正[4]。

改进对流层模型一直是减弱对流层延迟影响的有效方法[5-6]，而近年来，部分学者在预测估计ZTD的领域进行了研究，并获得了一定的成效：王勇等使用BP神经网络的方法，在试验中取得了76%的预测值与真实值偏差(bias)在3 cm以内的成果[7]；李剑锋等在试验中使用组合模型的方法，使得试验中的平均预测值精度(均方根误差，下同)达到了14.88 mm[8]；吕慧珠等使用谱分析和AR补偿结合的方法，使得试验中的平均预测值精度达到了19.36 mm[9]。此类方法也可以较好地计算出对流层延迟，并代入观测方程中进行误差改正。许多学者将自回归移动平均模型(ARIMA)应用到电离层电子含量的预测中，并取得了较好的成果[10-12]，而在对流层预测中对其的应用却很少有。ARIMA模型对非平稳序列具有较好的预测效果，且适用范围广，但却容易在捕捉序列线性与非线性复合性特征时出现精度下降[13]。针对上述情况，本文将ARIMA模型应用于ZTD预测，并引入一种基于季节性自回归移动平均模型(SARIMA)的对流层延迟估计新方法，该方法可分别针对不同的原始ZTD序列进行参数构建，然后进行预测以得到最终结果；针对我国不同地区的ZTD值进行预测，并统计分析它们的预测精度。

1　模型介绍

1.1　自回归移动平均模型(ARIMA)理论

ARIMA是一个可以衡量内生变量与其滞后性与改变量关系的系统模型，是对移动平均模型(ARMA)的扩展[14]。

ARIMA(p,d,q)的实质是ARMA(p,q)的d阶单整(d次差分)，其效果是将一个非平稳的时间序列转化为平稳时间序列[15]。设Xt为等时间间隔的ZTD序列，则可将ARMA(p,q)模型表达为

φp(B)Xt=θq(B)εt

(1)

式中，B为滞后算子；εt为白噪声序列；φp(B)为p阶自回归系数多项式，定义其相应特征方程为φp(x)；θq(B)为q阶滑动平均系数多项式，定义其相应特征方程为θq(x)。

当原ZTD序列{Xt}不平稳时，可考虑通过式(10)进行差分

(2)

式中，u为差分算子；d为差分阶数。{Xt}在经过d次差分后变为平稳序列，即可建立ARIMA(p,d,q)模型的一般形式

(3)

1.2　季节性自回归移动平均模型(SARIMA)理论

SARIMA模型又是对ARIMA模型的拓展。虽然ARIMA(p,d,q)模型已经可以解决许多时间序列的拟合预测问题，但在实际操作中，又另有许多时间序列的变化具有明显的周期性特征，我们称之为季节性时间序列。由于时间序列的周期性变化，它们在不同周期内的同时期数据将处于一个相当的水平，此时可以恰当引入乘积季节性SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)模型[16]。当序列间的长期趋势、季节效应和随机波动间不是简单的相加关系时，可以使用ARIMA模型提取短期相关性，用周期步长为S的SARIMA模型提取季节周期性，再采用二者的乘积组合模型对ZTD序列进行预测，从而得到乘积季节模型的完整结构为

(4)

图1　SARIMA模型进行ZTD预测的基本流程

2　试验分析

2.1　数据准备

本文分别选取IGS中心发布的长春站(chan)和上海佘山站(shao)的2016年年积日1—30 d和92—121 d的ZTD数据作为本次分析的原始ZTD数据，数据时间分辨率变为1 h。采用ARIMA和SARIMA模型分别对它们进行预测分析，并评定其精度。预测分析原则为，选取这两个时段前29 d逐小时观测的ZTD数据作为训练数据，并对未来24个ZTD值逐小时地进行预测。

2.2　精度指标

实现对各个ZTD分量序列的SARIMA模型构建后，选取前29 d的数据进行拟合分析，并对后24 h的数据进行预测。本文引入精度指标：均方根误差(root mean square error，RMSE)、平均绝对误差(mean absolute error，MAE)、平均相对误差(mean relative error，MRE)，它们的数学表达式分别为

(5)

(6)

(7)

2.3　建模分析

在进行拟合预测前，应对SARIMA模型(或ARIMA模型)进行定阶。此处以上海佘山站1—29 d 原始ZTD数据为例进行模型构建分析，此时段数据如图2所示。

图2　上海佘山站年积日1—29 d ZTD数据

通过观察易于发现，该序列波幅在趋势上下波动且无明显增大或减小倾向，应属于趋势平稳(trend stationary),此时再引入ADF单位根检验法，判断序列是否严平稳。ADF检验结果见表1。

表1　ZTD序列ADF检验结果

结果显示，原序列即使在10%的置信水平上也不能拒绝单位根假设。此时需要对原序列进行一阶差分，并再次进行ADF检验，结果见表2。

表2　一阶差分ZTD序列ADF检验结果

此时结果显示，即使在1%的置信水平下，也可以拒绝单位根假设，代表序列平稳，故d值取1。下一步应进行相关性分析，作出该一阶差分序列滞后36阶的ACF、PACF函数如图3所示。

由图3可知，其ACF、PACF函数均表现出拖尾性，满足AR(p)、MA(q)过程。此处PACF值三步截尾，一阶滞后处PACF值较为显著，且24阶滞后处再次上升至一个相对峰值，随后更高阶滞后的自相关系数明显减小，此类型表明AR(3)×SAR(24)基本符合该序列(此处SAR(24)仅为计算机的取向概念，告知计算机季节组中的每24 h为一个周期，而该模型应正确描述为p=3,P=1),同理可得q=8,P=1。故可基本选定SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)模型。但此时定阶的模型仅代表它能很大程度上迫近原序列，并不代表就是最优模型，此时可选取该模型已确认参数的一定邻域内的正整数替换原参数，并一起进行AIC准则运算，选择使得AIC最小的参数组合确认为最优模型参数。本文通过AIC验证最终确认模型为SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)，并以此进行回归，再进行残差白噪声检验，残差ACF、PACF函数图如图4所示。

图3　一阶差分ZTD序列ACF、PACF图

显而易见，残差为白噪声序列，故可认为该模型可靠，可进一步用于ZTD数据预测。同理，其他序列也以此过程进行模型定阶，并作预测分析。

2.4　预测分析

对所准备的原始序列进行预测分析，最终得到两模型预测精度对比分别见表3、表4、表5。

图4　残差序列ACF、PACF图

表4　两模型预测成果MAE对比　mm

表5　两模型预测成果MRE　(%)

本文对上述各表的预测结果进行分析，并总结得到以下结论：

(1) 加入季节性分析后，对ZTD序列的预测精度有较好的提高，对年积日1—30 d的数据预测结果显示，平均RMSE降低了27.7%，对年积日92—121 d的数据预测结果总体精度较前者虽有所下降，但同期平均RMSE也降低了25.7%。

(2) SARIMA模型预测结果显示，平均偏差不大，且占原值比很小，年积日92—121 d的数据预测结果的平均MRE仅1%左右，年积日1—30 d的数据预测结果平均MRE仅0.15%。

(3) SARIMA模型对ZTD数据的总体估计精度较领域内当前的其他模型(前文提及)的估计精度要高，总体平均RMSE降低了19.9%。

(4) 在部分时期、地区出现了预测精度降低的情况，由于对流层延迟受湿度影响较大，故本文猜测与同期气象变化存在关系，但不于此处进行研究。

3　结　论

本文综合分析了中国长春、上海地区的ZTD变化，并分别以ARIMA和SARIMA模型，对两个地区不同时期的ZTD序列进行了短期(24 h)预测。综合不同地区、时段的预测成果，结论如下：

(1) ARIMA和SARIMA模型对ZTD序列均有较好的预测效果，而由于ZTD序列存在一定的季节性特征，故总体而言加入季节性分析后预测精度均有较大提高。

(2) 本文在定阶试验时发现，存在个别ZTD序列不具有较强的季节性特征的情况，此时不能盲目加入季节性影响，否则将降低模型精度。

(3) SARIMA模型对ZTD序列的预测精度较高，可满足许多ZTD数值估计的需求，具有一定的实用意义。

(4) 关于SARIMA模型在不同地区、时期对ZTD序列的预测的应用效果需要进一步研究。

参考文献：

[1] 李征航，黄劲松.GPS测量与数据处理[M].武汉:武汉大学出版社,2005.

[2] 赵章明,冯径,洪亮.卫星定位中对流层延迟模型对比分析[J].测绘通报,2016(11):18-21.

[3] 李昭,邱卫宁,邱蕾,等.几种对流层延迟改正模型的分析与比较[J].测绘通报,2009(7):16-18.

[4] 丁晓光.对流层延迟改正在GPS数据处理中的应用与研究[D].西安:长安大学,2009.

[5] 姚宜斌,胡羽丰,余琛.一种改进的全球对流层天顶延迟模型[J].测绘学报,2015,44(3):242-249.

[6] 姚宜斌,张豹,严凤,等.两种精化的对流层延迟改正模型[J].地球物理学报,2015,58(5):1492-1501.

[7] 王勇,张立辉,杨晶.基于BP神经网络的对流层延迟预测研究[J].大地测量与地球动力学,2011,31(3):134-137.

[8] 李剑锋,王永前,郭俊元.预测模型在对流层延迟计算中的应用研究[J].测绘科学技术学报,2015,32(5):450-454.

[9] 吕慧珠,黄文德,闻德保.一种基于频谱分析和AR补偿的对流层延迟预报模型[J].大地测量与地球动力学,2015,35(2):283-286.

[10]刘军,柴洪洲,刘先冬,等.基于ARIMA(p,1,1)的电离层预报模型[J].大地测量与地球动力学,2010,30(3):79-82.

[11]刘立龙,陈军,黄良珂,等.基于小波-ARIMA电离层短期总电子含量预报[J].桂林理工大学学报,2016,36(2):294-299.

[12]张小红,任晓东,吴风波,等.自回归移动平均模型的电离层总电子含量短期预报[J].测绘学报,2014,43(2):118-124.

[13]朱帮助,林健.基于ARIMA和LSSVM的非线性集成预测模型[J].数学的实践与认识,2009,39(12):34-40.

[14]ZHANG G P.Time Series Forecasting Using a Hybrid ARIMA and Neural Network Model[J].Neurocomputing,2003,50(1):159-175.

[15]李子奈.计量经济学[M].北京:高等教育出版社,2000.

[16]张婷.CPI的 SARIMA 模型与X-12季节调整模型对比预测分析[J].经济问题,2014(12):37-41.