压敏油藏不规则裂缝形态对压裂水平井产能的影响

孙璐，刘月田*，王宇，张艺馨，柴汝宽

1 中国石油大学油气资源与探测国家重点实验室，北京 102249，中国

2 奥克拉荷马大学石油与地质工程学院，奥克拉荷马州诺曼市 73019，美国

0 引言

目前研究压裂水平井产能问题已成为高效开发致密油藏的重要内容，其产能模型应该充分考虑人工裂缝的复杂性以及致密油藏的压力敏感性，对此国内外学者进行了大量的研究。Evans[1]在1993年首先提出了均匀流量模型；Larsen[2-3]在1994年建立了有限导流模型；Ozkan[4-5]以压裂水平井的渗流区域为基础提出了三线性模型；F. Medeiros[6-7]又发展到三孔模型，三孔模型认为压裂改造区(SRV)之外的储层对多级压裂水平井产能的贡献可以忽略。三孔模型没有考虑缝间干扰的问题，也不能真实地模拟地层中裂缝的形态及其分布情况。Ozkan[8-9]在1991年提出了Laplace空间的源函数，Guo和Evans[10]在此基础上利用源函数结合Newmann积分方法得到了多级压裂水平井的非稳态流动解析解。Raghavan[11]、Chen[12]、姚军[13]、王晓冬[14]、廉培庆[15]等也利用此方法和叠加原理求解了地层流体流入人工裂缝的数学模型，解决了缝间干扰问题。2015年郭建春[16-17]等考虑到人工裂缝的导流能力与裂缝宽度有关，求解了楔形人工裂缝的压裂水平井的产能模型，但是该研究模拟的裂缝都是与井轴对称的垂直缝。在现场的实际监测和压裂措施模拟中发现人工裂缝形态复杂多变，存在裂缝两翼长度不同，两翼与井筒的夹角不同，裂缝颈缩，人工裂缝发生转向，以及转向后各级裂缝之间距离不相等的情形，这些因素都会对压裂水平井产能造成影响(Menglu Lin[18]、包劲青[19]等)。现有的致密油藏多级压裂水平井产能模型对人工裂缝的复杂性考虑得还不是很全面，有待进一步提高。

李传亮[20]、孙来喜[21-22]等对低渗、特低渗油藏压力敏感实验研究发现，人工裂缝的压力敏感系数大于天然裂缝。因此，致密油藏压裂水平井产能模型的建立还需要分别考虑人工裂缝和天然裂缝的压力敏感系数。Blasingame[23-24]、孙贺东[25]、陈民锋[26-27]等在压力敏感油藏产量递减分析中发现，生产压差大，致密油藏生产井产量递减快。而在油藏开发过程中，适当放大生产压差，有利于流体流动，提高生产井产量。因此，对压力敏感油藏进行开发时，确定合理的生产工作制度是致密油藏高效开发的研究内容之一，也是致密油藏精细开发的重要基础。

本文在前人研究的基础上，考虑不规则形态人工裂缝、人工裂缝与天然裂缝的压力敏感系数组合，建立了致密油藏压裂水平井的产能模型。在模型建立中，引入了不规则形态裂缝离散方法，采用Green源函数并结合Duhamel原理求解裂缝微元段在线汇节点处的压降，采用等效渗透率思想描述了SRV区中双重介质渗透率，并处理SRV区压力敏感问题。

1 数学模型建立及求解

图1所示在封闭的矩形油藏内有一口N级压裂水平井，沿水平井筒从左至右，人工裂缝依次记为f1、f2、…、fk、…、fN，其中，fk1和fk2分别为左翼和右翼，k=1,2, 3,…,N 。实际人工裂缝几何形态可分为规则(如fk−1和fk)和不规则(如fk+1、fk+2和fk+3)2类。建立的产能模型遵循如下基本假设：①忽略压裂改造区(SRV)外围区域中流体流动，SRV区具有双重介质结构和渗透率各向异性特征，考虑SRV区天然裂缝和人工裂缝的压力敏感系数组合。②各级人工裂缝具有不同形态——垂直楔形缝、斜交楔形缝、转向裂缝、颈缩裂缝、矮裂缝等，各级裂缝之间存在干扰。③人工裂缝垂直贯穿储层。④储层内流体仅通过人工裂缝流入井筒，考虑水平井筒中的摩擦压降和加速度压降。⑤流体为单相微可压缩流体，流动满足达西定律。

图1 模拟压裂水平井平面示意图Fig. 1 Plan schematic diagram of fractured horizontal wells

1.1 不规则形态裂缝离散

如图2所示，对于任意形态的裂缝，以fk的左翼fk1和右翼fk2为例，可将左翼裂缝壁面形状记为不规则形状Ak1Bk1Ck1，Ck1Dk1为中线。流体由远处汇流至裂缝壁面处，人工裂缝可视作由沿裂缝中心线分布的线汇微元组成。设定线汇分布在裂缝的横截面与2个壁面交汇的位置，图2中Ok1,i点记为线汇XHk1,i位置，将横截面与不规则形状Ak1Bk1Ck1中线交点在x−y平面内的坐标(xk1,i,yk1,i)记为线汇XHk1,i的坐标。Ok1,0和Ok2,0分别记为左翼fk1和右翼fk2与水平井筒壁的交汇点。设定在Ok1,i+1点至Ok1,i点之间是一个共有(ns−i)个线汇流量流经的矩形微元段，矩形的长度等于裂缝宽度，矩形的宽度等于相邻两个交汇点间的垂直距离。经过上述方法处理，将任意形态的裂缝划分为许多变宽度的矩形微元段。对于不规则形态的裂缝，裂缝的2个壁面视作2段连续的曲线，2条曲线的平面距离即为裂缝宽度。结合压裂措施模拟的裂缝形态数据，通过数值逼近获取左边曲线Ak1Ck1形态的函数表达式Fl( x, y )，右边曲线Bk1Ck1形态的函数表达式Fr( x, y )。对于矩形缝，2个表达式是常数项不等但斜率相等的一次函数；对于楔形缝，2个表达式是斜率不等的一次函数。

1.2 储层中的数学模型

1.2.1 SRV区的数学模型

初始时刻油藏各边界无流体流动。开始生产时，线汇对整个油藏产生瞬时压降。假设从初始时间t0=0到时刻t，人工裂缝fk左翼上任意线汇XHk1,j以qk1,j的速度流入裂缝中，线汇坐标为(xk1,j,yk1,j,zk1,j)。在t时刻，所有线汇对线汇位置(xk1,j,yk1,j,zk1,j)产生的总压降为

式中，

图2 人工裂缝离散处理示意图Fig. 2 Schematic diagram of the left wing discretization of arti ficial fractures

1.2.2 人工裂缝中的数学模型

假设人工裂缝fk内的流体保持线性流动，可以计算得到左翼fk1上任意线汇位置Ok1,j和Ok1,0之间的压差(即Ok1,j到水平井筒壁之间的压降)为

同理，得右翼内任意线汇位置Ok2,j和Ok2,0之间的压差表达式。

1.3 产能耦合模型及求解

1.3.1 水平井筒的数学模型

井筒内的压降分为摩擦压降和加速度压降，则摩擦压降表达式和加速度压降表达式分别为

设定各级人工裂缝的跟端压力pfk近似为

当pf1=pf2=…=pfk=…=pfN时，求解得到井筒为无限导流时多级压裂水平井的产能。水平井筒跟端处p0,1=p0,2=pwf。

1.3.2 耦合模型及求解

如图3所示，选取节点一-储层至节点三-缝口(跟端)作为研究对象，2个子系统的压降表达式为

已知N级压裂水平井，共得到关于2N⋅ ns个未知线汇流量的2N⋅ ns个方程，得到2N⋅ ns阶线性方程组。此外，任意线汇是变质量流动，应用Duhamel原理确定任意线汇处的压力降。采取离散时间处理，在时间步n∆ t下展开式(7)可得

图3 流动节点系统分析示意图Fig. 3 Schematic diagram of flow node point system

依据式(8)，提取线性方程组的系数矩阵，得到时间步n∆ t下线性方程组为A⋅ qn∆t=B ，其中，系数矩阵A为

系数矩阵中各元素的计算通式如下

其中，d=1,2。

时间步n∆ t下的未知量矩阵为

其中，

常数项矩阵为

矩阵中相应系数计算表达式为

当压裂水平井的内边界条件为定井底流压pwf时，可以利用式(4)-式(6)计算不同跟端位置的压力，并借助人工裂缝的流量qfk来确定每一级人工裂缝的跟端压力。

1.4 SRV区和人工裂缝压力敏感的处理

在n∆ t时刻，通过线性方程组A⋅ q=B已经得到了第1时间步至第n时间步的所有线汇流量。那么，在所有线汇流量和矩形封闭油藏一个线汇的解的基础上，应用Duhamel原理确定n∆ t时刻下油藏中任意位置(x, y, z)的压力表达式如下

采用等效渗透率确定SRV区平均渗透率Kx、Ky、Kz的计算表达式(16)。平均渗透率Kx、Ky、Kz与SRV区地层平均压力有关。采用压力敏感系数α1表示天然裂缝的压力敏感程度。

其中，kfx、kfy和kfz的计算表达式为

表1 中Bakken致密油井B-1#和B-6#的基础参数Table 1 Basic parameters of B-1# and B-6# in Mid-Bakken

图4 半解析模型与Arps模型及改进Ambrose模型的对比Fig. 4 Comparison of semi-analytical model with Arps model and improved Ambrose model

将不同生产时刻线汇处的压力代入人工裂缝的渗透率kf表达式(17)中，可得沿不同线汇处裂缝微元段中的渗透率。采用压力敏感系数α2表示人工裂缝的压力敏感程度。

2 模型验证

杨俊峰[28]应用Arps模型预测了中Bakken致密油井B-1#压裂水平井产能，用改进的Ambrose模型预测了中Bakken致密油井B-6#压裂水平井产能。

图5 人工裂缝形态示意图Fig. 5 Schematic diagram of morphology of arti ficial fractures

表2 人工裂缝、水平井和油藏的参数Table 2 Parameters of arti ficial fractures, horizontal wells and reservoir

本文对中Bakken致密油井B-1#和B-6#开展模拟计算，计算中采用的参数与杨俊峰的一致，见表1。通过稳态逐渐逼近非稳态的方法，运用本文的半解析模型计算了压裂水平井全生产过程。计算对比结果见图4，证明半解析模型计算结果能够描述两口井的生产变化。

3 模型分析

在压裂水平井模型中设计了9种不同形态的中心对称裂缝，其中裂缝与井筒的关系包括垂直、斜交和转向，裂缝的形态包括矩形、楔形和颈缩，如图5中的①-⑨所示。采用抛物线方程描述裂缝⑦和⑧的形态，采用双曲线方程来近似描述裂缝⑥和⑨的形态，采用线性关系式来描述裂缝③的形态。方程中的系数根据裂缝的平均宽度、趾端和跟端宽度、垂直长度和水平长度计算得到。

通过压裂施工模拟计算、微地震监测和示踪剂测试解释来获取人工裂缝、水平井、油藏的参数，计算各级裂缝线汇流量的基础参数参见表2。

3.1 人工裂缝的形态与线汇流量的关系

图6为裂缝之间无干扰时9种形态裂缝的线汇累积流量图。由图6可见，相同裂缝形状下，垂直缝的累积流量明显低于斜交缝和转向缝，但均呈现出裂缝越长，累积线汇流量越大的趋势。相同裂缝与井筒关系下，楔形缝累积线流量最大，颈缩缝次之，矩形缝最小。跟端导流能力大的楔形缝的累积线汇流量比矩形缝的累积线汇流量高出6.5%，跟端导流能力小的颈缩缝比矩形缝的累积线汇流量高出6.3%。

图6 9种裂缝形态的累积流量对比Fig. 6 Comparisons of cumulative flow rates of 9 kinds of fractures

图7 考虑缝间干扰的9种裂缝形态累积流量对比Fig. 7 Comparisons of cumulative flow rates of 9 fractures under the fracture interference

图8 3种裂缝形状的累积流量对比Fig. 8 Comparisons of cumulative flow rates of 3 kinds of fractures

对比①、②和③可见，矩形缝中近趾端流量与近跟端流量相差不到1%；楔形缝中近趾端流量是近跟端流量的1.58倍；颈缩缝中近趾端流量是近跟端流量的1.55倍。

3.2 人工裂缝干扰与线汇累积流量关系

图7为裂缝之间干扰和不干扰2种情形下，9种裂缝形态整条缝的累积线汇流量及其增加程度对比。由图7可见，与裂缝不干扰相比，裂缝之间存在干扰时，累积线汇流量更大；累积汇流量越大，累积汇流量增加程度也越大。

3.3 合理生产工作制度

图8中颜色相同的曲线代表人工裂缝压力敏感系数相同，SRV区天然裂缝压力敏感系数不同。颜色不相同的曲线代表人工裂缝压力敏感系数不同，SRV区天然裂缝压力敏感系数相同。对于矩形缝、楔形缝、颈缩缝曲线变化趋势一致。

在图8中，以矩形缝为例，忽略压力敏感时，随着井底流压降低，累积流量线性增加。考虑压力敏感时，当人工裂缝压力敏感系数为0.05时(黑色曲线)，随着井底流压降低，累积流量逐渐增加；当井底流压相同时，天然裂缝压力敏感系数越大，累积流量越小。当人工裂缝压力敏感变形系数为0.15时(蓝色曲线)，随着井底流压降低，累积流量先增加后降低；当井底流压相同时，天然裂缝压力敏感系数α2变化对累积流量影响很小。由图8的曲线分析可知，当人工裂缝压力敏感系数大于0.15时，存在最优井底流压。

4 结论

(1) 建立了压敏致密油藏压裂水平井非稳态模型，模型能够描述不规则形态的人工裂缝以及垂直、斜交、转向的人工裂缝，能够计算SRV区天然裂缝与人工裂缝压力敏感系数组合下的压裂水平井产能。

(2) 本文模型能够准确描述中Bakken的 B-1#和B-6#两口致密油井生产变化，说明了本文模型的可靠性。

(3) 人工裂缝导流能力由大到小依次为楔形缝、颈缩缝、矩形缝。当人工裂缝压力敏感系数大于0.15时，压裂水平井存在最优井底流压，SRV区天然裂缝的压力敏感系数越大，累积流量越小。

符号说明

N—裂缝级数，整数；yfk1、yfk2—左翼和右翼的趾端纵坐标；(xk1,i,yk1,i,zk1,i)—线汇XHk1,i的坐标；ns—人工裂缝单翼微元段数，整数；wk1,i—Ok1,i和Ok1,i-1之间的裂缝fk1微元段的宽度，m；t—生产时间，天；qk1,g、qk2,g—分别为线汇XHk1,i和XHk2,g的流量，m3/d；∆p—压降，MPa；pini—油藏原始地层压力，MPa；∆ps1,i、∆ps2,i—左翼上线汇XHs1,i和右翼上线汇XHs2,i对任意线汇位置(x, y, z)产生的瞬时压降，MPa；xe、ye、h—油藏的长度、宽度和厚度，m；φ—孔隙度，小数；µ—流体黏度，mPa⋅ s；Ct—综合压缩系数，MPa-1；S1、S2、S3—点(xk1,i,yk1,i,zk1,i)处的Green函数；α=φµCt；Kx、Ky、Kz—x、y、z方向的渗透率，mD；rw—井筒半径，m；pk1,0、pk2,0—水平井筒壁Ok1,0和Ok2,0处的压力，等于pfk；kf—人工裂缝渗透率，mD；Qk1,i—左翼上通过第i个微元横截面的流量，α1、α2—SRV区裂缝和人工裂缝的压力敏感系数；nx、ny—对xe、ye平均分段的数目，正整数。—渗透率张量；kfx、kfy、kfz—x、y、z方向的SRV区裂缝渗透率，mD；kff0—SRV区裂缝初始渗透率，mD；km—基质渗透率，mD；kf0—人工裂缝初始渗透率，mD；pk1,i、pk2,i—左翼和右翼上第i个线汇位置处的压力，MPa；frk—井段∆Lk壁面摩擦因子，与管壁粗糙度fτ和流动状态有关；ρ—流体的密度，kg/m3；Qk—井段∆Lk中流体流量，m3/d；pfk—人工裂缝fk的进入压力，MPa；pwf—井底流压，MPa。

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