波利亚解题思想在高等数学中的应用

岑思慧，王传利

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆　526061）

高等数学在高等教育中虽然地位重要，但因其具有高度的抽象性和概括性，很多学生又未能很好地掌握解题的思路，所以学起来难度较大.波利亚解题理论在世界上有着广泛的影响，尤其是波利亚的“怎样解题表”，可以解决许多数学问题，帮助学生获得解题的思路和策略.本文中，笔者以案例分析的方式说明波利亚解题思想在高等数学解题中的应用.

1　学生高等数学学习现状及其原因分析

高等数学是一门基础课程，是理工科高校非数学专业开设的一门课程.高等数学不仅是学生学习后续课程的基础，还在培养学生思维能力、创造能力、审美意识、应用能力等基本素质方面起着重要作用[1].大部分学生在学习高等数学过程中都存在不同程度的问题.

1.1　抽象思维能力欠缺

学生学习高等数学时，认为教科书中的概念很抽象，难以理解.例如：在学习“数列极限”时，讲到割圆术描述为“当n无限增大，即n→∞,内接正多边形的面积无限接近某一确定的值，这个值就是圆的面积”.这是要学生从“近似”认识到“精确”，从“有限”认识到“无限”，但许多学生对此很难理解.类似的还有“连续”“无穷小”“线性空间”等概念，大多是抽象的产物，以动态的形式出现，具有客观性、合理性、辩证性等特点，很难形象生动地予以描述.学生由于思想方法及认识不足，难以理解概念的内容和关键属性，从而导致其只学会了表面具体的东西，抽象思维还很欠缺.

1.2　逻辑思维能力不强

学生上课听不懂证明过程，也害怕做证明题.他们通常只会按照书本定义套结构，未能真正理解内容本质，因而对于严格的形式化表述难以掌握.例如：由于学生不理解极限“ε-δ”定义中符号∀,∃,ε,N,δ,A代表的意义，以及ε的任意性、N的相对性、ε与δ之间的关系，因而利用定义证明极限的题目就很困难.高等数学逻辑推理的语言和方法学生难以掌握，其认知能力与课程要求不匹配，学习中遭遇困难重重.

1.3　逆向思维能力差

在求解无固定解题套路的题目和需要深层思维或逆向思维的问题时，学生只知道按公式演算或套用固定操作程序解题，有时会感到无从下手.例如：要求解不定积分∫2xex2d x.学生不知道都有哪些积分方法及其算法原理，应该如何选择，如何确定原函数等.学生不会运用逆向思维思考问题，不能灵活运用不定积分法.学生只是将教师在课上所讲例题的解题步骤和过程记下来，并未真正将课堂知识转化为自身知识.

2　波利亚的解题理论

波利亚的专著《怎样解题》是一部经久不衰的畅销书，对怎样解题进行了深刻详细的论述分析[2]，其中给出的“怎样解题表”，正是一部“探索法小词典”[3].波利亚解题表分为4个阶段(见图1)：了解问题，拟定计划，实现计划，回顾.

图1　波利亚解题步骤

2.1　了解问题

了解问题，即弄清问题的组成.波利亚认为，了解问题要从了解其语言术语入手，即“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？”并将其转化为数学语言，再进行深入了解.具体步骤有三：其一，了解问题的语言陈述，将其转化为数学语言和数学符号；其二，明确题目的未知量、已知数据及条件；其三，通过所要求的未知数和已知条件联系到相关知识点，解题者在清楚条件和问题后，大脑将搜索与此条件和问题相关的知识点以及可能用到的方法或技能.

2.2　拟定计划

拟定计划，实际上就是探索解题思路的过程.从了解问题到构思出解题方法，常常不是一蹴而就而是会有波折的过程.拟定计划是解题的关键阶段，是否能够拟定解题方法或者所拟方法是否良好，将决定解题的成败.好的解题思路来源于过去获得的经验和知识，因此当我们遇到新问题时，会先尝试寻找相似题目回忆其解题方法和技巧，从而得出解题思路.拟定计划可分成以下几步：第一，寻找相识的题目，“你以前见过它吗？你知道什么与其相关的题目吗？”第二，深入分析题目，寻找已知条件和未知数之间的联系；第三，尝试转化题目.如果找不到与已有知识之间的直接联系，可以将题目的问题或条件转化成熟悉的模型，再进行解题.最终得到一个解题方案.

2.3　实现计划

实现计划，即实现你的解题思路或求解计划.执行方案比拟定方案容易多了，执行方案所需要的主要是耐心，我们在书写每一步解答时都要确保自己书写正确，耐心检查所有解题细节，直到每一步都十分清晰.要认真思考解题步骤以何定义、公式或理论作为支撑，这是不断应用知识、技能、原理和思想方法解决问题的阶段.

2.4　回顾

回顾，就是在解答题目后，对解题过程进行检查.这是一个最容易被忽略的阶段，但却是提升解题能力的关键一步.回顾，包括检查本题的解题过程，了解本题运用到了哪些知识点以及与其相关的知识，观察题目是否有一题多解的情况等.通过回顾整个解答过程，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，就能够巩固知识并培养解题能力[4].

3　波利亚解题思想在高等数学解题中的应用

3.1　波利亚解题思想在函数极限中的应用

1）了解问题.

问题1：要求证的是什么？

问题2：有什么条件？

函数x2-x-1以及点x=3.

2）拟定计划.

问题3：如何证明？

由条件知此题是关于函数在一点的极限问题，故只需利用函数的极限定义进行证明即可.

问题4：根据函数的极限定义如何证明？

根据函数在一点的极限定义[5]32，有

需由ε找到δ.

问题5：如何得到不等式0＜||x-3 ＜δ?

即

从而综合可求出δ=min{ε/6,1},问题得解.

3）实现计划略.

4）回顾.

例1所应用的知识点是函数极限的“ε-δ”定义，要注意ε和δ的关系.

函数极限的种类较多，从极限过程来看，有x→x0,x→,x→,x→∞,x→+∞,x→-∞,再加上数列极限n→∞共7种极限过程；从极限结果来看，有极限存在和不存在（包括极限=∞）.只有掌握极限的本质定义，才能较好解题.

3.2　波利亚解题思想在求导函数中的应用

例2已知f(x)=x3ex,求f(10)(x).

1

）了解问题.

问题1：要求解的是什么？

要求解的是函数的高阶导数，即函数f(x)的10阶导数.

问题2：什么是高阶导数？

2阶及2阶以上的导数称为高阶导数[5]99，函数f的n-1阶导数的导数则称为函数的n阶导数(n=2,3,…).函数f在点x0处的n阶导数记作

问题3：已知条件有什么？

已知函数f(x)=x3ex,求这个函数的10阶导数.

2）拟定计划.

问题4：怎样求得函数的高阶导数？

若直接对函数求导，按题目要求需要求10次导数.按此方法，不仅计算复杂繁琐，并且所求导的次数较高，故此方法不可行.

问题5：观察函数f(x),以前是否见过类似函数？

函数f(x)=x3ex,由2个初等函数相乘构成.

问题6：2个函数乘积如何求导数？

问题7：函数乘积的n阶导数如何求解？

回想以前学过的莱布尼茨公式

其中：u(0)=u,v(0)=v;该公式称为莱布尼茨公式[5]102.运用莱布尼兹公式可求此函数的高阶导数.

问题8：公式中的u(x)和v(x)分别是什么？

问题9：u(x)与v(x)求高阶导数有什么变化？

1）(x3)′=3x2,(x3)″=6x,(x3)‴=6,(x3)(n)=0,n=4,5,6,….

II）(ex)(n)=ex,n=0,1,2,….

3）实现计划.

解由莱布尼兹公式，其中n=10,有

4）回顾.

本题用到的知识点有高阶求导、莱布尼兹公式、基础求导公式等；用到的解题方法有定义法和公式法.

3.3　波利亚解题思想在求不定式极限中的应用

1）了解问题.

问题1：要求解什么？

问题2：求极限有哪些方法？

求极限的方法如下：利用极限定义求解；利用极限的基本性质求解；利用函数极限与数列极限的关系求解；利用等价无穷小量代换求解；利用极限的运算法则求解；利用极限的复合运算法则求解；利用函数的连续性求解；利用导数定义求解；利用夹逼准则求解；利用洛必达法则求解；运用拉格朗日中值定理求解；利用一些已知极限求解等.

2）拟定计划.

问题3：观察极限有什么发现？你是否见过相似的极限？

是“0/0”型不定式极限，可以选择用洛必达法则求极限，但是计算起来比较复杂.3）实现计划.

解应用洛必达法则

4）回顾.

本题考查的数学知识有等价无穷小、拉格朗日中值定理、洛必达法则、导数公式；用到的解题方法有洛必达法则、等价无穷小替换、拉格朗日中值定理法.本题可以一题多解：当x→0时，有ex-1∼x,即esinx-x-1∼sinx-x(x→0);故可以选择利用等价无穷小量代换法求极限.同时发现与拉格朗日中值定理的结构相似，故本题还可以选择用拉格朗日中值定理求解极限.

3.4　波利亚解题思想在不定积分中的应用

1）理解问题.

问题1：要求解的是什么？

要求解的是不定积分.

问题2：求不定积分有哪些方法？

求不定积分有直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法4种积分方法，我们要选择其中合适的积分方法进行计算.

2）拟定计划.

问题4：能否直接看出公式中的u和d v?

虽然不能直接看出u和d v,但是可以变通；将x d x写成d(x2/2),此时arctanx相当于公式中的u,x2/2相当于公式中的v,这时就可以代入公式计算了.

3）实现计划.

4）回顾.

在此题中，主要运用分部积分法计算不定积分，关键点在于：

1）明确知道解不定积分有多少种计算方法，每种方法是怎样计算的；

II）选择1种适合的方法进行计算，可以通过观察和尝试，确定其是否合适；

III）选择方法后，在计算过程中要注意计算的技巧(如本题中将改写成保持等式不变).

3.5　波利亚解题思想在隐函数求导中的应用

例5设方程xy2+ey=cos(x+y2),求y′.

1）理解问题.

问题1：要求解的是什么？

问题2：有哪些已知条件？

已知方程xy2+ey=cos(x+y2),

2）拟定计划.

问题3：隐函数如何求导？如何求得y′?

根据隐函数存在定理[6]，可以求隐函数的导数.

3）实现计划.

解设F(x,y)=xy2+ey-cos(x+y2),则

当Fy≠0时，有

4）回顾.

本题主要是隐函数求导，应用了隐函数的存在定理.除了这种方法外，还可以通过方程两边分别对x求偏导，或者运用全微分的知识，对方程两边分别求全微分的方法求y′.

4　结束语

在高等数学中应用波利亚解题思想能够很好地帮助学生思考、解题，提高学生的抽象思维、逻辑思维和逆向思维能力.这种解题方法旨在让学生学会独立、多方位思考和学习，让学生不仅仅“学会”，更要“会学”，让学生自己发现技巧并付诸实施，真正使其个人的思维能力得到有效提高，将高等数学知识灵活应用于解决实际问题.

参考文献：

[1]严永仙.高等数学学习情况的调查与分析[J].浙江师范大学学报(自然科学版),2003,44(2)：94-97.

[2]梁红娥.波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用[D].呼和浩特：内蒙古师范大学,2005：2-3.

[3]张海侠.波利亚的“解题思想”数学启发法在大学数学教学中的应用研究[J].科技信息,2014,31(7)：18-31.

[4]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社,2011：6-11.

[5]同济大学数学系.高等数学：上册[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.

[6]同济大学数学系.高等数学：下册[M].6版.北京：高等教育出版社,2007：84.