浅谈中学数学逆向思维方法

胡艳

【摘要】本文通过在教学当中培养学生逆向思维的常见途径，阐明了数学题当中“正难则反”的一种思维方法，它对于培养和训练学生思维敏捷性和灵活性大有禅意，常会因此收到意想不到的良好效果或是会获得新的创新发明。

【关键词】中学数学 逆向思维方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）01-0135-02

“问题是数学的心脏”，数学题五花八门，解题的方法也各式各样，那么针对不同的数学题而采取不同的方法解它才能迅速便捷。在中学数学的教学当中，教师应当重视对学生进行思维转换能力的训练，而逆向思维能力则是思维转换的一种重要的表现形式。逆向思维是一种从已有的习惯思维的反方向思考问题，它的基本特征是“双向性”和“可逆性”，在中学数学解题当中则表现为“反序”和“否定”，逆向思维是一种产生新思想，发现新知识的重要思维方式，本文就一些直接从正面探求，但绞尽脑汁也一筹莫展的数学问题，如果能改变一下思考的角度，將思维逆转，转向习惯性思维进程的反面，就能间接迂回打开解题通道，而使问题获得优解，正如同伽利略看到人们用力推车后，从反面提出问题“如果还用力推车子，结果会是怎么样？”

一、逆用定理

数学定义总是可逆的，学生在解题当中往往习惯于正面使用定义，而对定义的逆用却缺乏自觉性，以至影响了解题的质量和速度，其实，许多数学问题逆用定义来分析，会更加的简捷明快，干脆利索。

例1.设f（x）=4x-2x+1，求f-1（0）

分析：常见的方法是：先求出反函数f-1（x），再求出反函数f-1（0）的值，但是，此解法太笨太繁，只要我们逆用反函数的定义，令f（x）=0，解出x的值即为f-1（0）的值。

解：令（2x）x-2·2x=0 可得到：2x（2x-2）=0

有2x=2

简析：此题在标准卷子中给出了两种解法，但是逆用定义（方程根的定义）、还可以得到更简洁的解法。

二、逆向分析法

分析法的实质是“执果索因”要证实结论成立，只需要找到使结论成立的充分条件即可。换句话说，就是从肯定结论入手进行推理，推得符合条件或易证的命题，而推理的每一步均可逆，于是证得原命题成立，这种“执果索因”的分析法，便于思考易于找到解题的途径。

例.设a、b是正数，且2c>a+b 求证：

c-■

证：解证c-■

只需证 -■

即∣a-c∣<■

只需证（a-c）2

即 a+b< 2c该式为已知条件且以上推理每步均可逆，故原不等式得证。

三、反解法

用此方法的理论根据：记原问题的解集为A取消某种限制条件后，该问题的解集为全集I，则A为限制条件相反问题的解集，由于A=A .故原问题的解集即为限制条件相反时该问题解集的补集。

例：求二次项式（■–y）21 展开式当中所有无理系数之和。

分析：本题若是直接用二次项式定理展开求解极为繁琐，先考虑从反面求解，取消系数当中“无理”条件的限制，在（21■-y）21中所有系数之和为I；所有无理数系数之和为A；则A为所有有理数系数之和。解如下：

解：在二项式（21■-y）21中，含x=y=1，可得展开式中所有项系数之和为：（21■-1）21，对此二次项展开式当中所有有理系数只有两项（21■）21=2x21以及（-y）21=-y21.其系数之和为1 ，故（21■-y）21展开式当中所有无理数系数之和为（21■-y）21-1

这种从问题的反面入手进行求解的方法我们称之为反解法。

反解法与反证法同属于逆向思维的方法，适用范围也相类似，一般的，有关“否定性”，“存在性”，“至多”，“至少”为类型问题的证明题常用反证法。而此类问题的求解题则可考虑用反证解法。

说明：当问题的反面有多种可能性时，应从全集中除去了符合条件的部分；排列组合应用题中的间接解法实际上是反解法的真实运用。

四、逆向排除法

反例是数学的重要组成部分，当一个命题不真时，只要举示一个反例就可以否定它，特别是在结构作反例处理选择题当中，常能起到立竿见影的功效。

例：

设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0

那么a的取值范围是（ ）

A.（-∞，+∞） B.（-∞，1】∪（9，+∞）

C.（0，7） D.【1，9】 （1986全国高中数学竞赛题）

分析：由于1/2属于（A），（B），（C）集合，但（3）属于（D）中的集合，所以，可举反例：若a=1/2 此时：

b2+c2+bc+6a+6=b2+c2+bc+3

=（b+c/2）2+3/4c2+3>0不为零

这说明3a≠1/2

则可排除（A），（B），（C）故选（D）

五、反客为主

受思维的影响，人们在解题时总是将注意力集中在某些地位较醒目的注意的主元素上，这在很多情况下是正确的，但是在某些特定的条件下，若能“反客为主”，常能取得出人意料的效果。

例：当m为何值时，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=m有实数解。

分析：此题若是以x，y为主元，则自然含从⊿=b2-4ac的角度去考虑，这条路这样走很难走通，且会连连碰壁，若是另：

m=sin2x+2sinxcosx-2cos2x=1+sin2x-3cos2x

=1+sin2x-？（1+cos2x）=sin2x-3/2cos2x-1/2

=■/2sin（2x-x）-1/2

其中x满足{ }

所以：-1-■/2≤m≤-1+■/2时原方程有实数解

可将问题转化为求函数a=x+5/x-4.（1≤x≤2）的值域。由函数a=x+5/x-4.（1≤x≤2）的值域。由函数a-x=5/x-4在定义域{x∣1≤x≤2}内是减函数可知：1/2≤a≤2

即当1/2≤a≤2时，直线L与曲线C在【1，2】上有公共点。

以上仅仅是数学当中培养学生逆向思维能力的常见途径，在各科教学当中，有许多培养逆向思维的好素材，只要以后我们在教学中长期坚持，积累探索并不失时机地利用这些素材，学生的逆向思维能力将逐步走上新的台阶。值得一提的是，逆向思维能力的培养是以扎实的基础知识，基本技巧为前提的，因此，必须同时注重“三基”的教学逆向思维能力的培养必须与其他能力的培养同时进行，学生才能形成良好的思维结构。

培养学生逆向思维的方法很多，但有时需要综合运用，方能体会其中的意境，有时针对常法而逆针对题目的条件、结论而逆，以及针对推理步骤而逆等等，无论怎么样一种逆向思维的方法，都要从常规方面着手，由此寻求解决问题的方法，它反映在教学实践中体现了数学学科的教学特点，有利于提高学生灵活运用基础知识和解题技巧的能力，利于培养思维的敏捷性和科学性，尤其是高三数学复习的全过程，是促进学生创造性思维得到迅速发展的过程，教师要根据学生的实际情况和思维活动特点，努力挖掘教材中的互逆元素引导学生运用“逆反转换”的策论解题，它可以有效地克服正向思维的心理定势产生的消极影响增强互逆的双向思维意识，进而促进学生解题能力的提高与思维的流畅，变通和独特，自古以来逆向思维的运用就已经在生活、生产学习甚至战争中展现了智慧之光，为人们能在实践中渗透数学思想、解决问题提供了广阔的前景。

參考文献：

[1]李太珍.浅谈反面思考[J]，中学数学教案（湖北），1997（11）

[2]刘烨.浅谈数学群中的“逆反转换”策略，湖南数学通讯，1993（4）

[3]阮晓明.介绍一种解题方法——反解法，数学教学通讯2003（5）

[4]李平龙.浅谈函数教学中逆向思维能力的培训，中学数学，2005（9）