另眼看导入①

李 祎

(福建师范大学数学与信息学院 350108)

1 传统教学导入的局限与弊端

教学导入是课堂教学的重要环节，也是教师必备的教学技能.对于教学导入的重要意义，人们多从沟通师生情感、引起学生注意、激发学习兴趣、明确学习目标、启迪学生思维、产生学习动机等不同方面来进行阐述.具体而言，人们经常论及的导入方法，主要有情境导入法、开门见山导入法、以旧引新导入法、数学史料导入法等.特别是新课改以来，尤以情境导入法最为常见，又将其细分为生活情境导入法、故事情境导入法、实验情境导入法、游戏情境导入法等，而较少从学科知识角度来思考教学导入的意义和方法.即使从学科知识的角度来阐述教学导入，也仅仅局限于“新旧知识的联结”等浅层认识，并未从学科知识角度揭示出教学导入的深层意义.

马克思曾言：“如果形式不是内容的形式，那么它就没有任何价值了.”教师在设计教学导入时，首先需要明确，无论采用何种方式导入，它始终是为教学内容服务的.教学导入时脱离或弱化了学科内容的本质属性，过分注重导入的外在形式和非认知因素功能，看似激发了兴趣，集中了注意，强化了动机，实则往往削弱了导入的认知因素功能，并不利于知识的意义建构.针对过分强调创设情境导入、片面联系实际等现象，单墫教授曾直言不讳地指出，数学课要讲数学，数学课的主要任务是教数学、学数学，是解决数学问题，而不是解决实际问题.眼下的一些数学课，片面联系实际，可谓体用倒置，舍本逐末[1].香港科技大学的项武义教授也认为，新课改以来，大陆的数学教育有“去数学化”的倾向，数学教育只讲“教育学”“心理学”规律，而忽视了对数学实质的揭示.这种现象在教学导入环节体现尤为明显.

为此，本文提出应注重从学科角度来进行教学导入，并着眼于学科知识的不同方面，给出了从学科角度进行导入的四个不同视角.

2 从学科知识方面进行教学导入的视角

2.1 从学科知识本质角度进行教学导入

揭示数学知识本质是数学教学的灵魂.在进行数学教学导入时，要在直抵知识本质方面多花时间，削枝强干，去伪存真，淡化对非本质问题的讨论，这样才有利于学习从表面趋向本质.由于教材通常以简约形式来呈现教学内容，因此教师在进行导入设计时，要结合具体内容进行二度开发和设计，通过解读教材背后内容形成的背景及缘由，以帮助学生理解和把握知识的本质.

比如对于“函数的单调性”的教学，其教学导入多是从具体实例出发，如炮弹发射或气温变化曲线，直接引出对图象的升降趋势进行符号刻画.此时学生的学习带有很大的盲目性和机械性：对什么是函数性质、函数的单调性意味着什么、为何要进一步研究函数的增减性等本原性问题缺乏深刻认识.若着眼于知识本质按如下方式导入，则可有效地克服这一现象.

案例1“函数的单调性”的教学导入

在数学中学完一个概念之后，往往要接着研究其性质.什么是事物的性质呢？“变化当中保持不变的规律”就是事物的性质.我们在前面学习了函数的概念.从函数定义来看，函数的基本研究对象是事物的“变化”，而事物变化最简单情形就是变大还是变小(还有变快或变慢等)，即当自变量增加或减少时，因变量是增加还是减少.从函数图象来看，观察并比较几个具体函数的图象，发现函数图象千变万化，但无论如何变化，图象经常会呈现出升降趋势.在初中的学习中已从直观上认识了函数的这一性质，但直观的观察并不可靠.比如，函数y=0.001x+1的图象是升是降，从图象观察并不明显；又如，有的函数图象如y=1/x是无限延伸的，其在远端变化趋势不得而知；再如，有的函数图象如y=x+1/x难以画出，其升降判断无法依赖图象.因此本节课我们从量化角度研究函数的这一性质，用符号语言对函数图象的升降特征进行精确刻画，并据此实现数学中严密的推理和演算.

对数学学科知识本质的把握，既涉及到从整体上认识数学对象产生的背景、缘由等，也涉及到从微观上揭示数学对象的本质属性.因此立足于知识本质进行导入时，既可以着眼于追溯知识生成背景和本原思想，也可以着眼于挖掘知识内在本质和根本特征.

比如对“任意角三角函数”概念的教学，常见的导入方式有两种：一种是采用“以旧引新”进行导入，即通过复习锐角三角函数来引入任意角三角函数，但由于初中是从几何角度研究三角函数，引入该概念的目的是为了研究直角三角形中的边角关系，因而通过这种方式导入难以让学生确立起函数观念；另一种是采用创设“摩天轮旋转”等问题情境进行导入，但由于情境中信息的复杂、冗余等，无法让学生立即抓住任意角三角函数概念的本质.若立足学科知识本质，采用单刀直入的方式按如下方式进行导入，则更容易实现对概念本质的有效把握.

案例2“任意角三角函数”的教学导入

在前面的学习中，我们把锐角推广到了任意角，任意角是一条射线绕端点旋转生成的.在角的旋转过程中，终边上的点都绕着端点作圆周运动.圆周运动体现了客观世界“周而复始”的变化现象，而函数是描述客观世界变化规律的数学模型，那么如何用函数反映这种运动变化现象呢？我们知道，函数研究的是运动变化现象中的数量及其关系.在角的终边上任取一点，那么在该点所作的圆周运动中，你能发现有哪些数量？它们是怎样变化的？它们之间具有怎样的关系呢？

2.2 从学科知识意义角度进行教学导入

许多教师在导入教学时，往往平铺直叙，对知识意义没有充分重视.即使有时强调知识的意义，但更多关注的是其在解决实际问题中的作用，或在后续学习中在解决数学问题时的应用，而忽视了在导入环节从知识内生逻辑的角度，对所要学习的新知识意义进行揭示，这就不可避免地使学习具有一定的机械性.

比如在讲解“平行四边形的判定定理”时，多数教师沿用教材中的引入方法，即“……平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等、对角相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形吗……”.这样的引入揭示了性质定理和判定定理的联系，但并未真正反映出判定定理的根本意义.而以下的导入方式，着眼于几何问题研究的基本思路，揭示出了判定定理学习的意义，更具有认识论的价值和方法论的意义.

案例3“平行四边形的判定定理”的教学导入

我们学习了平行四边形的定义，根据定义可以判断一个四边形是否为平行四边形.但平行四边形的定义中反映的是边与边的位置关系，位置关系通常不好判断，能否转化为用边的数量关系来判断一个四边形是否为平行四边形呢？……除了用边的数量关系，是否也可用角的数量关系来判断一个四边形是否为平行四边形呢？

知识意义往往以内隐形式存在于教材中,要让学生理解知识意义,需要教师通过深入挖掘使其从显性知识背后浮现出来.而且对于数学知识意义的揭示，不仅要从微观上把握知识的内涵和实质，还要从宏观上对知识联系有通透的认识和理解，这就对教师的数学素养提出了更高要求.

比如对于“方程的根与函数的零点”的教学，多数教师从熟悉的方程与函数入手进行导入，重在使学生理解方程与函数之间的联系，而忽略了高屋建瓴地引导学生认识新知识学习的意义.比如：为何要引入函数零点的概念？为何要把方程的根的求解问题转化为求函数的零点？以下的教学导入方式，着眼于代数的基本思想和核心问题，充分揭示了本节课知识学习的意义，更有助于学生从整体上实现对知识的意义建构.

案例4“方程的根与函数的零点”的教学导入

我们知道，代数的基本思想是用字母符号表示数.当用符号表示的数为未知数时，为了把未知数或其范围求出来，往往需要寻找和建立包含有未知数的数量关系，由此得到了方程的概念.因此，解方程便成了代数的核心问题.然而我们知道，多数方程没有求根公式，其根的准确值无法求出.那么，能否求出方程的根的近似值，使近似程度满足实际问题的需要呢？这便是下面要学习的内容，即把方程的根的求解问题，转化为求对应函数的零点，通过采用逼近方法求函数零点的近似值，来求得方程的根的近似值.

2.3 从学科知识联系角度进行教学导入

学习者学习新知识的过程，就是从已有认知结构中提取与新知识有联系的旧知识，对新知识加以“固定”或“归属”的动态过程.教师在对新知识的学习进行导入设计时，可以依照教材本身内在的逻辑关系，设计出既能联系旧知又能提示新知的导语，从而使新旧知识通过有机联系和相互作用，最终形成一个相互关联的有序整体.

比如对于“函数的奇偶性”的学习，常规教学基本都是从具体函数图象入手，通过直接观察函数图象的特征进行导入.这种导入未能考虑知识螺旋上升的“序”，并不利于知识意义的整体建构.由于函数奇偶性本质上是图形的对称性，因而着眼于知识分层次、分阶段渐进式推进的特征，从之前的学习中寻找知识生长点，按照以下方式进行教学导入，能更好地促进新旧知识的联系和知识意义的建构.

案例5“函数的奇偶性”的教学导入

我们在小学低年级就认识了美丽的对称图形，在小学高年级在方格纸上研究了轴对称的特征，在初中又学习了轴对称图形和中心对称图形的性质.前面我们学习了函数，函数既然有图象表示，因此其图象也可能是轴对称图形或中心对称图形.那么，当函数图象呈轴对称或中心对称时，其解析式应具有怎样的特征呢？如何用符号语言严谨地刻画这种对称性特征呢？

数学知识的学习，不仅是从感性到理性、从具体到抽象的过程，也是从单一到多元、从简单到复杂的过程.因此，从学科知识联系进行导入时，既要重视对教材内容的螺旋上升的特征进行分析，也要重视对学生头脑中的相关知识经验进行有序梳理，通过寻找新知识的生长点，使新旧知识通过相互作用，最终形成一个多层次、多类型的有机整体.

比如对于“正弦定理”的教学导入，可以立足于学生的已有知识基础，着眼于知识的前后联系——三角形的各种性质来进行导入.这样导入的好处是，有助于学生把各知识点串连起来进行理解，通过抓住统帅数学内容的基本线索——边和角的各种关系，从而实现对知识理解的“由厚到薄”的转换.具体的导入方式可参考如下：

案例6“正弦定理”的教学导入

在三角形中，存在着边和角的各种关系，如边与边、角与角、边与角之间的各种相等或不等关系，它们反映了三角形所具有的基本性质.在小学和初中，我们曾经学习过：角与角之间存在的等量关系，如三角形的三内角和等于180°；边与边之间存在的不等关系，如三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；边与角之间存在的不等关系，如在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边.那么，对于一般三角形的边与角之间的关系，除存在不等关系之外，是否还存在准确的等量关系呢？

2.4 从学科知识生成线索角度进行教学导入

无论是数学知识的历史序、逻辑序，还是教科书实际呈现出来的教材序，它们均表明知识生成具有一定的线索.为了更好地促进学生对知识意义的建构，教师需要在把握历史序和逻辑序的基础上，立足教材序，并依据学生的心理序，对教学内容进行二次开发和设计.特别是对新课的导入而言，不能仅仅关注知识点的复习与铺垫，还应注重在问题研究的思路与策略方面为学生铺路搭桥，以使学生对知识生成线索形成清晰认识.

比如对于“对数”概念的教学，我们通常采用问题驱动方式来进行导入.但在问题驱动导入之前，若能从运算角度对研究线索进行梳理，则能帮助学生在头脑中清晰地生成以“运算”为核心概念的认知图式，即：加法的逆运算——减法，特殊的加法——乘法，乘法的逆运算——除法，特殊的乘法——乘方，乘方的逆运算——开方，乘方、开方的统一与一般化——指数幂运算，指数幂运算的逆运算——对数运算.具体的导入方式可参考如下：

案例7“对数的概念”的教学导入

我们在小学以加法运算为基础，可以生成“加、减、乘、除”四则运算，并在初中学习了特殊的乘法运算——乘方运算，以及乘方运算的逆运算——开方运算.前面我们又学习了乘方、开方运算的推广和一般化——指数幂运算.在前述的式子ab=N中：已知a、b求N，即为指数幂运算；已知b、N求a，我们也并不陌生，比如n次方根运算，其本质上也是指数幂运算；如果是已知a、N求b，即已知底数和幂的值来求指数，那么这样的指数b是否存在，这样的运算又该称作什么运算呢？

教学导入的设计与有意义学习存在紧密联系.为了促进有意义学习的发生，奥苏贝尔提出了先行组织者策略.即如果原有认知结构中缺少同化新知识的上位观念，则有必要先于学习内容呈现一个引导性材料.如果说以旧引新的导入属于知识同化型导入，那么从知识生成线索角度进行导入则应属于知识顺应型导入，其中导入语相当于先于学习内容而呈现的引导性材料，其好处是有助于学生顺畅地把新知纳入到有关该主题知识的认知框架之中.

比如对于“平行四边形的性质”的教学导入，若直截了当地给出平行四边形的各种性质及其证明，学生所收获的仅仅是“鱼”；若在授之以鱼的同时能授之以渔——研究平面图形性质的基本思路和主要线索，则会有助于学生从整体上实现对知识的统整和意义建构.具体的导入方式可参考如下：

案例8“平行四边形的性质”的教学导入

在数学中学习一个概念之后，往往要研究其特征或性质.前面学习了平行四边形的概念，那么平行四边形具有什么性质呢？所谓平面图形的性质，主要指构成平面图形的各要素之间的关系.平行四边形的基本构成要素是四条边和四个角，那么其边与边、角与角、边与角之间，具有怎样的位置关系或数量关系呢？(引出第一条性质)……若把平行四边形的边与角称为它的基本要素，则可把平行四边形的对角线称为它的派生要素.那么，平行四边形的对角线之间又具有怎样的关系呢？(引出第二条性质)

3 从学科知识方面进行教学导入的价值

3.1 有助于从微观上明确数学知识的意义

在目前的数学教学中，存在一种“会而不懂”现象，即学生往往会机械做题，但不太理解数学意义，数学学习演变成了无意义的解题训练.要让学生既“会”又“懂”，把“会”建立在“懂”的基础上，就必须在进行教学导入时，注重从学科知识角度揭示新知识的意义.

比如在教学“添括号的法则”的内容时，许多教师沿用教材中的方法来导入，即“前面学过去括号法则，即……反过来，就得到添括号法则…….”接下来便是大量的解题训练.这样的导入方式，学生感受不到学习的必要性，完全是把数学强加于人的，难以取得好的教学效果.相比较而言，以下的导入方式则能让学生体会到添括号的意义.

案例9“添括号的法则”的教学导入

前面我们学习了完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2.如果现在要计算三个数的和或差的平方，比如(a+b+c)2或(a-b-c)2，这时又该如何计算呢？能否转化为两个数的和或差的平方呢？

3.2 有助于从宏观上形成对知识的通透理解

华罗庚先生曾言“既要能把书读厚，又要能把书读薄”.读厚，就是要把每一逻辑关系、每一个细节，搞清楚、想明白；读薄，就是能抓住课程的主线和基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识.布鲁纳也认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构.”[2]所谓学科基本结构，是指知识的整体性和普遍联系.按照“整体-局部-整体”的认识规律，对于学科知识结构的把握，不仅仅在于回顾性的总结阶段，还在于学习起始、特别是导入阶段对知识内在联系的揭示和基本结构的呈现.

比如在“直线的倾斜角和斜率”的教学中，作为高中解析几何内容的起始课，若在导入阶段不介绍解析几何的基本思想，不交待一次函数与直线方程的研究思路的差异，而是一头扎进具体知识细节的学习中，那么学生就难以建构和形成良好的认知结构体系.若在导入阶段对解析几何的基本思想进行介绍，并着眼于知识的联系和过渡，对一次函数与直线方程的研究思路的差异进行交待，使学生发现知识之间盘根错节又浑然一体，则能有助于学生从宏观上整体建构对数学的认知.具体的导入方式可参考如下：

案例10“直线的倾斜角和斜率”的教学导入

以前在几何问题研究中，我们基于长度、角度、面积、体积等度量性质，通过对几何图形中各种构成要素的数量关系或位置关系的研究，获得了几何图形的各种性质.今天开始学习另一种研究几何图形性质的方法：坐标法.坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题来研究几何图形性质的方法.我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线.在初中的学习中已经知道，一次函数的图象是一条直线.但是它研究问题的思路是：先有“数”后有“形”.在下面的学习中，我们是先有“形”，然后根据形的特征，再来确定“数”.为此，我们先来探索确定直线位置的几何要素.

4 结语

巴班斯基曾说道：“最有效而万能的方法，现在没有，将来也不可能有.因为每一种教学方法，从本质上说，都是辩证的，每一种方法都有自己的优势和不足之处，在教学中都能有效地完成某些任务，而不能有效地完成所有任务，都能达到某些特定目的，而不能达到所有目的.”[3]对于教学导入也是如此.“导入有法，导无定法”.不同的导入方法有不同的作用，强调从学科知识角度进行教学导入，并非要完全否定其他的导入方法.各种教学导入方法应是相辅相成的，只有根据具体情况进行恰当选择或有效组合，才能取得较好的教学效果.但在新课改之后的教学导入中，过分强调实际问题情境的创设，的确应引起我们的高度警惕.