斜椭圆数控车加工规律性探究

吴凤霞

（苏州市高等职业技术学校，江苏 苏州 215111）

伴随工程技术的不断进步，当前在数控车床领域使用宏程序进行加工处理，并保持其位置始终不倾斜的曲线旋转面技术日渐成熟，并被应用到各类数控车床生产加工工作中。旋转面技术所涵盖的公式曲线有椭圆、抛物线等类别，但此类曲线存在一定的实践运用问题：当其曲线经过一定时间或角度的旋转运动后，相应的曲线公式就会变得倾斜，如图1所示椭圆曲线经过转动后逐渐变为斜椭圆曲线，如何有效解决这一倾斜问题，就需要相应的技术人员探讨其斜椭圆加工的规律，以此找出相应的解决、加工措施。

图1 椭圆曲线旋转、倾斜为斜椭圆曲线的坐标系变化图

1 椭圆曲线变为斜椭圆曲线的过程探究

首先将椭圆曲线经过坐标点的旋转以及相应的平移运动，就能得到其倾斜后的斜椭圆曲线，以此方便对其变换过程做具体、细致的分析研究。

（1）公式曲线在坐标位置上的改变。公式曲线的坐标体系中任意一个点的旋转变换，均可经由一个旋转轴和一个旋转角度来确定。为了便于后续的运算检验工作，首先将椭圆曲线一点的旋转轴作为其坐标体系中的坐标轴，如图2所示点（x，y）就是环绕着Z轴，在旋转θ度角后停留于P′（x′，y′）位置。

图2 某一点在曲线坐标系中的旋转图

因此该点的坐标旋转变化的公式可总结为：

其中把公式（3）变为为矩阵方式即为：

此时矩阵R（z，θ）就是环绕着Z轴进行旋转变化的矩阵方程，以此方法再得出 R（x，θ）与 R（y，θ）两个矩阵，进而构建其三维空间下的旋转变化坐标矩阵体系，其中共含有九个元素，分别为：

（2）斜椭圆曲线方程的研究确立。依据图1所示，可以发现图中的椭圆1的表达方程式，可以表述为以下两种形式：

或是X=Acosw

之后依照图1表示，在椭圆1沿着Z轴逆时针旋转θ角度后就可得到椭圆2，依据公式（9）将其椭圆方程式做相应的变化可得到：

进而得出椭圆2在原本坐标系位置中的方程式：

之后再将椭圆2进行平移运动最终得到椭圆3，即斜椭圆的曲线方程式：

2 斜椭圆曲线中各变量之间的联系探究

斜椭圆曲线中转角变量w与圆心角λ是探究其形成规律的重要参数，依照公式（9）可以发现如果能掌握A、B的具体数值，通过相应转角变量w的变换（在0°～360°之间变动），就能依照图形绘画的方法，将相应椭圆图描绘出来，依据图3所显示的内容，图中外部大圆的半径即为A，而内部小圆的半径是B，椭圆中任意一个点与圆心之间的连线，和水平坐标右轴线之间的夹角即为圆心角λ。

从关系中可以研究发现转角变量w与圆心角λ之间存在联系与规律为：

而在数控机床的实际零件加工作业中，依据其图样可较为便利地求得其椭圆圆心角λ，相应就能依照圆心角数值与公式（13）求得该椭圆的转角变量w。

3 斜椭圆数控加工宏程序的设计、规划思路

前文所探讨的公式（12）是椭圆在坐标体系中的通常方程式，相应式子中其余参数均为固定常数，仅有转角变量w是不确定的，当实际加工仅处理椭圆的局部轮廓时，就只需相应测算椭圆在起始位置的转角变量w1，以及相应的终点位置的转角变量w2，通过运算出转角变量在w1到w2之间的角度差，进而依照公式（12）求出需要进行加工的椭圆轮廓的点的坐标位置。

斜椭圆数控加工的具体宏程序规划流程和步骤中δ指的是转角的增量角，其数值愈大，则逼近椭圆轮廓的效果愈差，并且方程式所用的坐标轴为XZ坐标体系，其与公式（12）中的XY坐标体系存在偏差，因此具体的斜椭圆数控加工处理规律的运用方法，将在后文的加工示例中做证明。

4 斜椭圆数控加工规律运用示例及其研究

数控车床加工的零件如图3所示，其为直径50mm，长度80mm的铝合金零件。

（1）坐标系之间的整合应用。通过观察图1与图3之间的椭圆坐标体系图，可以了解到图3中椭圆坐标所用的X轴即为图1中椭圆坐标所用的Y轴，而图3中坐标系中的Z轴即为图1坐标体系中的X轴，由此就可以通过各个坐标轴之间的对等衔接，将斜椭圆的曲线方程式从公式（12）变换为零件加工所需的公式（14）：

图3 加工零件的实物图与坐标变换图

（2）具体斜椭圆方程式的求解运算。通过对图3的坐标图研究可以知道 A=25，B=15，θ 为 75°，而 I=-10，K=35，而圆心角λ1为192.5°，λ2则为140.3°。

将其参数套入公式（13）中，就可求得椭圆的起始位置转角变量w1为200.2°，而终点位置转角变量w2为125.8°，由此斜椭圆曲线的具体方程式就可列为：

之后经由对转角变量w从w1变换到w2，以此得出相应转角增量角，使之逼近椭圆轮廓曲线，再依照公式（15）进行相应斜椭圆曲线上各点坐标的具体求解运算。

5 结语

通过上述斜椭圆变换、求解规律的研究掌握，相应斜椭圆的数控加工工作就能迎刃而解，因此值得技术人员对其曲线方程规律做进一步的理解与运用，以优化数控机床的加工处理效率。

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［3］赵薇，薛明.《基于德国“双元制”工作过程的数控车工课程改革》课题报告相关论文之三：斜椭圆类零件数控车削加工方法研究［J］.国土资源高等职业教育研究，2016，（1）：28-31+39.