如何运用导数解决含参函数问题的研究

黄清鹏

【内容摘要】导数的学习和解决方法的掌握，不仅是高中数学重要的组成部分，在高考中也是作为考试的考查重点。含参函数问题主要是以函数为载体，运用导数工具来解决这一类问题，这是一种方法，主要是考查函数性质，促进学生深入研究和分析导数和更好地应用导数。因此，运用导数解决含参函数问题，必须把握好最近几年函数命题的规律，深入了解和分析导数的性质和应用，结合试题特点和命题趋向的同时，要充分运用导数来解决含参函数问题。要把握好导数的性质，根据导数来求出含参数函数问题中参数的取值范围，这种求存在性问题是常考的范围，也是常规的解题思路，通过等价转化将复杂的数学思想进行简单转化，有利于将学生不熟悉、复杂的问题简单化，进而变为他们熟悉、规范和简单的含参函数问题。运用导数解决含参函数问题，对提高学生对导数性质认识和创新方法与思路去解决含参函数问题具有极强的指导意义。

【关键词】含参函数问题导数数学

历年高考试题中常常出现含参函数问题，这考察的不仅是学生对含参函数问题的解决能力，也是学生解题思路的一种培养。常用的解题方法就是导数求解法。实际上，学生对这类含参函数问题比较头疼和恐惧，因为此类问题涉及的数学知识内容多、面广，具有极强的综合性。学生面对这类问题时，不知道如何确定参数范围，也不知道所包括的函数关系或不等关系是怎么来的。含参函数问题以函数为载体，对学生函数性质及导数应用的考察要求较为严格，也是近些年高考数学命题的趋向。实际上，运用导数解决含参数函数问题，求参数取值范围，作为探索性问题对于数学解题来说非常常见，通过等价转化来把握住数学思想，就可以将这些复杂的数学问题转化成为学生熟悉的、规范的和简单的问题。运用导数解决含参函数问题，就是基于不等式的结构特征，把握好含参数不等式的存在性，适当构造函数，来探讨含参函数的最值，利用导数就可以求出范围。

一、运用导数解决含参函数问题的相关分析

运用导数解决含参函数问题，对于学生来说既是数学学习的重点和难点，也是数学教师教学的重点和难点，同时它作为高考的热点又不得不进行学习。这类问题的解决引起了师生广泛的关注，主要是用来考查学生对导数的运用能力，判断学生对函数与方程思想、数形结合思想等思想的掌握程度和理解能力。在一定程度上，这不仅是新课程理念的要求，也是提高学生数学知识实际应用的重要途径，要充分把握含参函数问题的复杂性，有针对性地解决才可以。

运用导数解决含参函数问题，要构建科学的知识目标、能力目标、情感目标，把握好教学重点，引导学生创新学习思路。学生运用导数解决含参函数问题，就必须掌握“利用导数求函数单调区间、极值、最值”的方法，深入研究和理解这个过程中极值、最值之間的区别与联系，实现数形结合、化归等数学思想在问题中的渗透，在问题解决中培养数形结合能力，促进学生形成化归意识，着力通过此类问题激发学生创造性潜能，深入学习函数单调性与数形结合的一系列问题，并增强学生对数学知识简约美的体验和感受，在极值、最值中不断探索，激发学生“学好数学”的兴趣和信心。

对于“含参函数”问题来说，主要思路包括以下集中：

1、“已知函数的切线，利用导数求出参数的值”；

2、“已知函数的单调性，利用导数求出参数范围”；

3、“已知函数的最值，利用导数求出参数范围”；

4、“已知函数的极值，利用导数求出参数范围”；

5、“利用导数解决含参函数中的恒成立问题”。

本文将选择几种进行案例演示，充分阐述运用导数解决含参函数问题的思路。

二、 已知函数切线求参数值问题

对于已知函数切线求参数值这一类问题，学生要把握好导数的几何意义，要想方设法简化原问题，促进复杂问题简单化，将这类问题变为学生自己熟悉的问题，再进一步求解算出参数值。 但是，我们都知道数学深奥，具有极强的复杂性，同一个数学问题可以以千变万化的形式出现，形式多样的参数问题同样有千变万化和灵活多变的方法来解决，对于这类技巧性较强的问题学生必须学会以不变应万变。拿到题目不要急于解题，而是深入研究和分析题目想考察的内容，确定好研究思路，把握好题目的具体题设条件和不等式的结构特征，学会从多个角度、方向对这类问题进行分析探讨，才能选择适当的方法，从而快速准确地解答这类问题。数学解题中各种方法又是相互融合的，具有一定的关系，要摸清楚参数问题的考察内容，掌握基本题型，综合运用各种解题方法，对学生问题分析和解决能力的培养也具有积极的作用。

例1. （2016湖北高考模拟卷试卷）已知函数f（x）=x3+ax+b的图象是曲线C，直线y=kx+1与曲线C相切于点（1，3）.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的递增区间；

（3）求函数F（x）=f（x）-2x-3在区间[0，2]上的最大值和最小值.

解答：（1） ∵切点为（1，3），∴k+1=3，得k=2.∵f′（x）=3x2+a，∴f′（1）=3+a=2，得a=-1.则f（x）=x3-x+b.由f（1）=3得b=3.∴f（x）=x3-x+3.

（2） 由f（x）=x3-x+3得f′（x）=3x2-1，令f′（x）=3x2-1>0，

解得x<-33或x>33

∴函数f（x）的增区间为（-∞，-33），（33，+∞）.

（3） F（x）=x3-3x，F′（x）=3x2-3令F′（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.列出x，F′（x），根据F（x）关系

∴当x∈[0，2]时，F（x）的最大值为2，最小值为-2.

这是我们已经知道了函数切线方程，相应地我们就知道切线斜率，利用导数方法，主要是需要求出切点坐标，或者是利用导数方法求出曲线中的未知参数，把握曲线其他性质的同时，就可以列出方程，进一步求得切点坐标和参数的值。

三、 已知函数单调性求参数范围的问题

在数学中已知等式恒成立来求相关的参数，这一类问题非常常见，广泛出现于高中各类考试中，也深受高考命题专家“青睐”。我们在解答这类问题的过程中，要学会利用导数知识对其巧妙求解，这也需要学生具有较高的导数思维和应用意识。

结束语

实际上，利用导数解决含参函数问题，主要思路是万变不离其宗的，但是数学博大精深，同样一个问题可以以千变万化的形式出现，但是只要掌握基本的方法和思路，就可以灵活多变的运用导数来解决这一类问题。还需要把握好一个基本原则，就是将复杂的、我们不熟悉的含参函数问题简单化，通过一定的思路变成我们熟悉的、常见的和简单的问题，无论是哪种形式出现，我们都可以快速解答求出答案。

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（作者单位：福建省南安市新侨中学）