“利用导数研究函数的单调性”教学设计及反思

梅华

摘要：导数是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。本文阐述了“利用导数研究函数的单调性”这一课的过程，整个教学过程，从创设情境，激发兴趣—探索新知，猜想释疑—知识构建，深度理解—提升能力，发展思维—回顾反思，总结升华，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。

关键词：情境；兴趣；释疑；反思

中图分类号：G633.62文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）03-096-2

本节课教学目标：一是了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。二是通過实例，借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较，体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律。

一、教学过程

1.创设情境，激发兴趣

情境一：过山车章头图

情境二：观看过山车视频

【设计意图】 通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。过山车视频的播放更能激发学生研究兴趣，提高学生的探究欲望！

问题一：如何定义函数在某点x0处的导数？

问题二：如何研究一个函数f（x）在某个区间I上的单调性？

【设计意图】 以过山车为载体引发学生思考，过山车在每个瞬间的变化能够用导数来刻画，而整个过程的变化又能体现函数的单调性，如此很自然的引发学生思考，二者都是对函数变化趋势的刻画是否有什么联系，从而引出主题。

2.探索新知，猜想释疑

学生活动一：

实验：请同学们把直尺放在函数图象上作为曲线的切线，移动直尺并观察导数与函数单调性的关系

【设计意图】 新课标倡导数学课堂要多让学生操作动手，感受知识的生成过程，通过实验操作既能培养学生的合作探究能力，更能让学生自己主动引发对知识的思考，深化对知识的理解和感悟。

观察：几何画板演示三次函数图象验证学生猜想

【设计意图】 沿着过山车所对应的函数图象研究下来，使整堂课浑然一体，也为后续三次函数的引入埋下伏笔。特别是生活中的过山车的视线就好比是三次函数所对应的切线，使生活和数学紧密相连，既体现了生活处处有数学，又体现了数学服务于生活的思想。

学生活动二：

问题三：能否从数的角度说明导数的正负与函数单调性的关系？

【设计意图】 通过前面的直观感知，使学生体会到导数与函数单调性的密切关系，要想全面深刻地认识这个结论还需从“数”的角度进一步说明，让学生体会到数形结合思想方法的重要性。

3.知识构建，深度理解

一般地，对于函数y=f（x）

如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数；

如果在某区间上f′（x）<0，那么f（x）为该区间上的减函数.

问题四：确定f（x）=x2-4x+3在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数吗？

（师生共同完成）

变式1：确定函数f（x）=2x3-6x2+7在哪些区间是增函数

（学生独立完成，投影展示结果）

练习1：确定函数f（x）=x-lnx的单调增区间

备注：完善解题步骤

练习2：确定函数f（x）=sinx-12x，（x∈（0，2π））的单调减区间

【设计意图】 在运用数学中让学生体会在研究函数单调性方面，导数是一种超越，是一种延伸，是一种思想方法，它来源于函数单调性定义，更高于单调性定义。高一对函数单调性的判断论证只能停留在具体个别的函数。而导数提供了一种“通法”，它是高一函数单调性的提升和总结。

4.提升能力，发展思维

问题五：函数在某区间上f′（x）≥0，那么能否得到函数在该区间上单调递增？

问题六：如果函数在某区间上单调递增，那么在该区间上是否一定有f′（x）>0？

【设计意图】 在练习中提出导数与函数单调进一步关系的研究显得顺其自然，并能使学生更好的理解和掌握二者的关系，为后续学习奠定基础。

练习3：证明函数f（x）=x+4x在（2，+∞）上单调递增

练习4：证明函数f（x）=ex-x在（-∞，0）上单调递减

变式2：讨论函数f（x）=x3-ax+3的单调性

5.回顾反思，总结升华

通过本节课的研究，你收获了哪些新知识？能解决哪些具体问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？你还想继续研究什么问题？

【设计意图】 通过小结，不光引导学生更好的理解和掌握本节课的研究内容，更能培养学生学习—总结—反思的良好习惯，不断提高学生的数学素养，教师在最后的总结也是起到了画龙点睛的效果。

作业：教材29页练习1，2

二、教学设计说明及反思

1.关注生活，自然导入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念。

2.关注探究，合作生成

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解。再从“形”回到“数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。

3.关注应用，数形结合

在演练强化应用的过程中，由“形”到“数”，规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；题目解完后再次画出原函数图象加以验证，数形结合思想，贯穿始终，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性。逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终。