基于长方体禁飞区的安全绕飞轨迹设计*

梁静静，解永春,2

0 引 言

交会对接技术可用于在轨组装大型航天器、实现轨道平台或空间站的补给、进行航天器在轨维修、人员更换等.一般包括以下几个阶段：远程导引段、寻的段、接近段(含绕飞段)、最后逼近段和对接段.神舟八号、神舟九号、神舟十号与天宫一号交会对接任务的圆满完成意味着我国已经初步掌握了空间交会对接技术，也标志着我国载人航天三步走的战略规划已成功迈出了两步.目前载人航天三期工程已经启动，未来空间站(目标器)的对接口可能不仅仅局限于左、右两方向上[1]，此时需要进行绕飞机动以捕获对接轴.考虑到绕飞段两航天器的距离只有几百米，研究以保证安全性为前提的绕飞轨迹设计问题具有一定意义.

文献[1]提出满足转移时间、速度增量、制导方法及导航设备等各方面要求的从切向方向至径向方向或侧向方向的几种不同绕飞转移方式.文献[2-3]针对以捕获对接轴为目的90°双脉冲绕飞问题进行安全控制研究，给出了安全绕飞轨迹对应的初始偏差范围以及推力器偏差极限值，并确定了满足多种约束条件的绕飞时间范围，同时对不满足被动安全性要求的轨迹设计了闭环PD控制，最后针对初始条件偏差情况设计了避撞机动.文献[4-5]考虑绕飞起点位于目标器后方一定距离范围内，基于球形禁飞区分别进行了保证安全性条件下的绕飞轨迹优化研究以及一般性绕飞轨迹设计方法研究，但是在选择球形禁飞区进行绕飞轨迹研究时，为满足安全性条件存在求解困难而需要借助遍历仿真的问题；只适用于绕飞起点位于目标器后方一定距离范围内；文献[6]基于长方体禁飞区分析了几种典型接近轨迹上特征点的性质，推导并给出了安全轨迹的设计方法，但缺乏针对绕飞段轨迹设计的具体研究.

为了弥补现有研究的不足，本文基于长方体禁飞区，给出了从目标器正后方任意绕飞起点出发的轨道面内全方位绕飞轨迹的一般性设计方法.

1 问题说明与分析

1.1 坐标系及相对运动方程

研究两个航天器的相对运动，选择原点o在目标器质心的相对运动坐标系oxyz：轴oz由目标器质心指向地心方向(+R-bar)；轴ox沿目标器轨道运动的正方向(+V-bar)；轴oy垂直于轨道面，与ox轴和oz轴成右手坐标系，轴oy即+H-bar轴[7].绕飞段离航天器相对距离较近，对于圆轨道上的交会对接，一般采用Hill方程作为相对运动方程就可以满足任务精度要求.方程形式[7]如下：

(1)

其中：x、y、z分别表示追踪器在相对运动坐标系中的坐标；ω表示目标器轨道角速度；ax、ay、az分别表示机动加速度.令机动加速度为零，式(1)的一阶解析解(C-W方程)为

(2)

对式(2)进行求导得

(3)

1.2 问题分析

(1)-V-bar至+V-bar绕飞

(2)-V-bar至+R-bar绕飞

(4)

1.3 安全约束条件的确定思路

在绕飞过程中，要保证安全就是要保证在整个绕飞期间追踪器不进入目标器禁飞区.结合工程实际，空间站交会对接的禁飞区通常设为球形禁飞区，由于球形禁飞区存在为了满足安全性条件求解困难甚至需要借助遍历仿真的问题，为便于计算，本文采用外切于球形禁飞区的长、宽、高分别为2a,2b,2c的长方体禁飞区，绕飞过程中要保证安全则要保证追踪器不进入长方体禁飞区.

对于轨道面内-V-bar至+V-bar、+R-bar及任意方向的绕飞，将长方体禁飞区和球形禁飞区均投影到轨道面内，则外切于球形禁飞区的长方体禁飞区投影之后变为外切于圆形禁飞区的长、宽分别为2a、2b的长方形禁飞区，轨道面内要保证安全绕飞则要保证绕飞轨迹不进入轨道面内的长方形禁飞区.

2 从-V-bar出发的轨道面内全方位安全绕飞轨迹设计

2.1 与安全绕飞轨迹设计相关的定理

(5)

证明.对于式(5)描述的相对运动轨迹，设[8]

(6)

将式(6)代入式(5)对其进行代数变换，可将方程组改写为[27]

(7)

(8)

(9)

将式(7)写为如下形式：

x=a1+3a2ωt-2a3cos(ωt+φ)
=x0+2n+3a2(ωt+φ)-
3a2φ-2a3cos(ωt+φ)

(10)

分别将t1和t2时刻方程(10)的两个x值记为x1、x2(x1

以下分别针对点(x1,b)和点(x2,b)进行分析.

式(10)两边对n进行求导得：

(11)

(12)

式(8)两边分别对n进行求导得：

(13)

(14)

由(13)～(14)得出：

(15)

同理式(9)两边分别对n进行求导得：

(16)

将(12)、(15)、(16)代入(11)得：

(17)

令

(18)

ωt+φ=α

(19)

将(18)～(19)代入(17)并对其进行化简

(20)

对于点(x1,b)：由于ωt1+φ在第一象限，故cos(ωt1+φ)=cosα1>0.又因为cosφ>0，a3>0，对式(20)两边同时除cosφ并乘a3得

(21)

因为

m=-2a2

(22)

因此对式(21)等式右端两项的分子进行比较可得

(23)

b>4a2>0

(24)

因此对(21)中等式右端两项的分母进行比较可得

(25)

又因为cosφ>0，a3>0，由此可知式(21)小于零，即x1随n的增大而减小.

对于点(x2,b)：由于对应的ωt2+φ在第二象限，故cosα2=cos(ωt2+φ)<0，则

(26)

化简后得：

(27)

易知式(27)大于零恒成立，即x2随n的增大而增大.

2.2 安全绕飞轨迹的设计方法

2.2.1 安全约束条件的确定

设β(其中0<β<π)表示绕飞终点相对于目标器对接口的方向矢量与+V-bar方向的夹角，以下根据β的范围分3种情况给出设计安全绕飞轨迹需要满足的约束条件.

安全约束条件：

1)当0<β

z=b，x1≤-a

(28)

z=b，x2≥a

(29)

zf=0，xf≥a

(30)

2)当arctan(b/a)<β<π-arctan(b/a)时，需要满足的安全约束条件为式(28)、(31)：

zf≥b，tanβ=zf/xf

(31)

3)当π-arctan(b/a)<β<π时，需要满足的安全约束条件为式(32)：

xf≤-a，tanβ=zf/xf

(32)

2.2.2 安全绕飞轨迹的一般性设计方法

从-V-bar出发的轨道面内全方位安全绕飞轨迹的设计方法归纳如下：

3 仿真与分析

根据工程实际假设空间站的球形禁飞区半径为Rsafe=200 m，则a=b=c=200 m.取目标轨道为400 km 的圆轨道，轨道周期T=2π/w,w=0.001 13 rad/s.

3.1 从-V-bar到+V-bar的绕飞仿真与分析

从-V-bar到+V-bar绕飞对应β=0°的情况.分别以-V-bar轴上x0=-400 m、x0=-1 000 m处的初始稳定保持点为绕飞起点进行安全绕飞轨迹设计与仿真验证.

按照安全绕飞轨迹的设计方法：

仿真结果如图1所示：

图1 x0=-400 m时目标器后方绕飞至前方的轨迹Fig.1 -V-bar to +V-bar fly-around at x0=-400 m

同理，若从x0=-1 000 m处开始绕飞，按照安全绕飞轨迹的设计方法可得：

仿真结果如图2所示：

图2 x0=-1 000 m时目标器后方绕飞至前方的轨迹Fig.2 -V-bar to +V-bar fly-around at x0=-1 000 m

3.2 从-V-bar到任意方位的绕飞仿真与分析

仿真算例1：从-V-bar轴满足x0=-400 m的初始稳定保持点绕飞至轨道面内β=60°方位的点.

按照安全绕飞轨迹的设计方法：

仿真结果如图3所示.

图3 x0=-400 m时目标器后方绕飞至β=60°的轨迹Fig.3 -V-bar to β=60° fly-around at x0=-400 m

4 结 论

本文针对长方体禁飞区，给出了一种绕飞起点在目标器正后方(即-V-bar轴上)任意稳定保持点时的安全绕飞轨迹一般性设计方法.通过对动力学模型进行代数变换以及对变量间的关系进行推导证明，给出了部分变量在特定区间范围内具有单调性的定理.在此定理的基础上，结合绕飞轨迹的安全约束条件给出了轨道面内两种典型的安全绕飞轨迹设计方法以及全方位安全绕飞轨迹的一般性设计方法.该设计方法解决了选用球形禁飞区时为满足安全约束条件而存在的求解困难问题，而且适用于绕飞起点为目标器后方任意稳定保持点的情况，最后通过具体的仿真证明了该方法的有效性.

由于绕飞起点在目标器正前方(即+V-bar轴上)任意稳定保持点时的绕飞轨迹与绕飞起点在目标器正后方(即-V-bar轴上)任意稳定保持点时的绕飞轨迹相对称，故本文的研究方法也适用于绕飞起点位于目标器正前方的情况.

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