有限时间收敛的阻力加速度跟踪进入制导律*

严 晗，何英姿

0 引 言

对于飞行器进入大气层的过程而言，飞行精度虽然随着导航设备及算法的不断发展而提高，但制导算法还必须可应对大气密度不确定性、气动系数不确定性及扰动等因素，特别是对于火星大气进入过程而言，由于我们对火星的大气信息掌握较少，所使用的制导律应具备更强的鲁棒性[1].预测-矫正制导方法可实时根据环境信息更新飞行轨迹，从而提高制导精度.但该方法对计算机性能的要求较高，并且依赖于准确的大气密度模型[1-2].相对于预测-矫正制导方法而言，标称轨迹制导方法具有易于实现，并对模型不确定性具有鲁棒性的特点[2]，因此许多现代先进控制方法被应用于这类制导律的设计中，如反馈线性化法[3-7]、预测控制法[8-10]、莱让得维普法[11]和神经网络法[12]等.跟踪阻力加速度的制导方法是一种典型的标称轨迹制导法，并已成功应用于阿波罗计划和航天飞机的再入过程中[13].大多数阻力加速度跟踪制导律均需要阻力加速度的导数作为反馈信息[1,3,8-10,14]，但由于阻力加速度的导数难以准确测量，在航天飞机的制导律中以高度变化率代替了阻力加速度的导数作为反馈信息，然而这种做法将带来一定的误差[13].为了解决阻力加速度的导数不可测量的问题，滑模状态扰动观测器被用于阻力加速度导数的估计中[7]，但是该项工作中缺乏对不确定性的充分分析，或将造成估计不准.自抗扰控制方法也被用于阻力加速度跟踪制导律的设计中[1]，但这种做法需要精确已知所有变量从而计算阻力加速度的导数.文献[2]中引入了高增益观测器[15-16]，从而获得了只基于可测量信息的制导律，稳定性分析和数学仿真表明当观测器的增益足够高时，带有高增益观测器的制导律可重现状态反馈制导律的性能.然而，该工作只能保证闭环制导系统具有输入-状态稳定性(ISS)，即阻力加速度跟踪误差只能收敛到零点的小临域内.

显见，文献[2]中的阻力加速度动力学与[17]中研究的非线性系统具有类似结构，但不同于[17]的是阻力加速度动力学中的不确定性还与状态有关，因此[17]所得结论和控制律设计方法不能直接应用于阻力加速度跟踪制导律的设计中.

本文提出了一种具有有限时间收敛特性的阻力加速度跟踪制导律.首先，将再入动力学方程抽象为一类带有不确定性及扰动的非线性系统，并针对该类系统提出了一种基于滑模控制的有限时间鲁棒控制律.相比于[17]的结论，本文所研究的系统更具有普适性.之后，将所提出的控制律设计方法应用于阻力加速度跟踪的制导律设计中，为了获得跟踪误差的有限时间收敛特性，设计过程中需要获得不确定性的上界，可根据大气密度偏差及气动特性偏差预先估计.蒙特卡洛方法验证了所设计制导律的有限性和先进性.

1 基于滑模方法的有限时间控制律设计

本小节将针对一类带有不确定性和扰动的非线性系统给出一种基于滑模控制方法的鲁棒有限时间控制律设计方法.

首先给出如下引理：

考虑如下二阶系统

(1)

其中x=[x1,x2]T为系统的状态，u为控制输入，g(x,t)≠0，h(x,t)=[h1(x,t),…,hn(x,t)]，Δ=[Δ1,…,Δn]T为不确定性和扰动.假设存在正常数Mi使得|Δi|≤Mi(i=1,2,…,n).

选取滑模面为

(2)

(3)

(4)

则有如下定理成立：

定理2.考虑由系统(1)及控制律(3)组成的闭环系统. 系统状态可在时间

(5)

证明.s沿系统(1)轨线的导数为

(6)

当x1≠0时，将(1)和(3)代入(6)可得

(7)

=-ksp2/q2+1

(8)

(9)

内收敛到零，其中t0为初始时刻.当s=0时，有

(10)

(11)

(12)

内收敛到零.因此，显见x1和x2亦可在有限时间tr内收敛到零.

注1.文献[17]中考虑的非线性系统可视为本文所考虑的系统(1)的特殊形式，亦即当h(x,t)=1,Δ∈R1时由(1)组成非线性系统将变为文献[17]中的形式. 下节中我们将见到阻力加速度制导动力学模型恰恰为系统(1)的形式，因此定理1的结论可直接应用于阻力加速度跟踪制导律的设计中.

2 动力学模型

忽略地球自转角速度及地球扁率等影响，无动力再/进入飞行器运动学方程为[7,11,13-14,17-18]

(13)

其中，r为地心距，φ为经度，θ为纬度，v为速度，γ为航迹倾角，χ为方向角，L为升力加速度，D为阻力加速度，g为重力加速度.根据式可计算航程

(14)

其中r0为参考半径(如地球半径).L和D可由以下两式计算得出：

(15)

(16)

(17)

其中h=r-r0为海拔，ρ0为海平面大气密度，Δρ为大气不确定性，hs为特征常数.假设重力加速度满足

(18)

μ为重力加速度常数.

由式(16)可有

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

u=cosσ

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

3 基于滑模控制的有限时间收敛制导律设计

本小节将把第1节给出的有限时间控制律设计方法用于阻力加速度跟踪制导律的设计中.

(31)

(32)

由定理1的结论知，由(30)和(31)组成的闭环系统具有有限时间收敛性，收敛时间为

(33)

注2.由于符号函数将造成抖振现象，这在控制系统中是不利的，因此我们利用饱和函数sat(x)代替制导律(31)符号函数sgn(x)从而消除抖振现象.取sat(x)函数为

(34)

(35)

4 仿真算例

为验证所提出方法的有效性，本节将针对火星进入过程给出仿真算例.

本文使用文献[14]中的相关数据进行仿真.火星进入飞行器最大横截面积为16 m2，升阻比为0.18，弹道系数为115 kg/m2.初始及终点状态见表1.通过再入点和开伞点处的经纬度可计算得出理想的总航程为723.32 km.仿真中，制导指令设定满足0°≤σ≤180°.

首先，选取制导参数为a=1.982、b=3、ε0=5，仿真结果如图1～6所示.可见，在所设计制导律的作用下，飞行器的阻力加速度可较好的跟踪参考剖面.在进入大气层初期，由于大气较稀薄，使得g0(D,t)较小，因此需要较大的控制能量使飞行器跟踪参考剖面，因此仿真初期控制量出现饱和.

表1 状态参数Tab.1 State variables

图1 阻力加速度曲线Fig.1 Drag acceleration

为验证所设计制导律的鲁棒性，考虑表3中所示偏差进行了1 000次蒙特卡洛仿真，选取参数为a=1.982、b=3、l1=2l2=2、ε0=3、ε=0.432.仿真结果如图7～8所示. 可见，航程误差可控制在-1～20 km，高度误差在-0.1～2.5 km.为对比，表3统计了本文制导律蒙特卡洛仿真结果和文献[14]中的蒙特卡洛仿真结果(表3给出的是高度误差及航程误差绝对值的统计结果，而文献[14]在统计时并未取绝对值，因此表3所列数据与文献[14]中的数据有所不同.)，可见由于本文所设计制导律使闭环系统具有有限时间收敛特性，本文制导律在高度控制和航程控制方面均具有一定的优势.

图2 速度曲线Fig.2 Velocity

图3 航程误差曲线Fig.3 Downrange error

图5 倾侧角曲线Fig.5 Bank angle

图6 航迹角曲线Fig.6 Flight path angle

图7 高度误差散布Fig.7 Altitude error distribution

图8 航程误差散布Fig.8 Downrange error distribution

参数散布情况3σ/[Δ-,Δ+]质量偏差均匀[-5%,5%]大气密度偏差均匀[-30%,30%]升力系数CL偏差均匀[-30%,30%]阻力系数CD偏差均匀[-30%,30%]

表3 蒙特卡洛仿真航程和高度偏差数据统计Tab.3 Statistical results of Monte Carlo study

5 结 论

本文针对地球或火星的大气层进入过程提出了一种具有有限时间收敛性质的阻力加速度跟踪鲁棒制导律.首先，受已有工作的启发，针对一种具有不确定性和扰动的非线性系统提出了一种具有有限时间收敛特性的滑模控制律设计方法.之后，将这种设计方法应用于阻力加速度跟踪制导律的设计中.理论分析和数学仿真表明，本文所设计的制导律可有效地应用于大气层进入过程的制导中.

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