小学数学教学的“通”与“联”

/ 江苏省苏州市敬文实验小学校长

小学数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，承担着诸如培养学生抽象、模型、推理、直观想象、数据分析、运算能力等数学特质的关键能力和思维品质。自2017年3月起，我校数学组以苏州市教科院规划课题“‘通联’视角下学科课堂教学的实践与研究”为抓手，以“融通”“联结”“整合”为着力点，以发展学生核心素养为目标，努力探索具有校本特色的数学教学方式。

融通：学科内的有意义学习

巩固学科根基，回归扎实的学科教学是跨学科整合的前提与依托。高度关注数学知识内部的系统性和整体性，充分挖掘知识背后承载的工具价值、认知价值和文化价值，以教师有意识地呈现与组织、示范与引领来帮助获得“数、形、意、理、情”的融通，是学科内有意义学习的关键。

凸显核心内容。所谓数学核心内容，是指能构成数学学科基本框架，并足以能够组织与解释大量的数量关系和空间形式，有较强迁移和思维训练价值的内容。核心内容是开展有意义学习的切入点和载体。例如，小学阶段计算的学习占了很大的比重。以加减法为例，它涉及整数、小数、分数加减法。虽然这些知识点分布在不同的学段，也不要求同时完成，但这些内容在教学中的核心应该把握为两点：一是位值原则，即同样的数在不同的数位上表示的大小是不一样的；二是相同计数单位才能相加减。如果教师在教学中能抓住这两个内核，学生关于计算技能的学习体验必然指向集中，不拘泥于学期、单元、课时的进程安排，学习过程也就会删繁就简，对算理的理解也会高度概括，个体的学习经验也将与教学的目标紧密贴合在一起，形成有意义的融合。

发展理性思维。抽象、推理、建模是数学最基本的思维方式。在教学中，教师要站在学生认知心理的角度，从数学知识本质属性出发，帮助学生联结自身经验，主动思考前因后果，主动体会由此及彼的过程，主动寻求证据支持，从而帮助学生养成思考有序、推理有据的思维习惯，使数学学习的深入在思考习惯和思维方式上加以保障，从而为理性思维成为人的基本素养打下坚实的基础。例如，五年级“用字母表示数”单元，其中有一节课是讲诸如“3a+4a”的化简问题，有些老师觉得很容易理解，跳开新授环节一下子进入练习，但从孩子的作业情况看，将“4x+3误化简为7x”，或者不能发现“4x+3x”可以化简的学生大有人在。究其原因，不得不说是没有从源头上将“化简”这个行为与“乘法分配律”这个原理建立起联系，学生没有经历“推理”的思考过程和“说理”的表达过程，也就很难实现“悟理”的学习目标。如果老师在教学时能将这个过程充分展开，并辅以图示，学生就有了数与形、直观与抽象两方面的支持，理解起来就容易了。所以，“理”是数学的根基，是知识由薄到厚，再由厚到薄的建构依据。同时，在这个“明理”的过程中，这些重要的数学思想也在引导着学生的科学精神和审美情操，学生学习的优秀品质也在潜移默化中得到发展。

催生经验意识。有意义的学习本身就是一种知识与经验的有机统整过程。这种统整是学生主动转化与融合的结果，因此，需要教师以激发学生的学习兴趣与动机为第一要义，创设真实的生活（问题）情境，提供典型的研究素材，关注学生多重体验，促进情智同步发展。以五年级小数除以小数的教学为例，苏教版安排在小数乘小数之后，让学生先体验用积的变化规律尝试解决小数乘法的问题，让学生理解小数乘小数可以先将小数转化为整数算出积，然后再根据积的变化规律在积里点上小数点的方法，体验“转化”这一数学思想在具体计算中的作用，最后老师启发学生根据类似的经验去合理猜想，引出利用商不变的规律可以计算除数是小数的除法。这样的设计，既体现了前后知识学习的关联，更使学生计算方面的经验与策略得到了融通，数学“转化”的思想方法也在此过程中得到较为充分的体验和感悟。所以，有意义的数学学习，必然是能够促进学生的学习态度、思维习惯、思考经验和思维策略等方面的发展，让每个学生面对新的情境都能做出适当的回应。

联结：学科间的同主题学习

对于小学生而言，年龄和认知水平正处于起步阶段，所学习的内容也是每个学科最基础、最根本的东西，因此，在没有必备知识与能力储备的前提下盲目进行跨学科学习是不理智的。我们认为，小学阶段数学与其他学科间的整合，首先应体现在同主题联结性学习，重在利用学科间共同的内容主题，以平行或提升的方式促进对所学知识、概念的全方位理解，帮助学生形成主动联结的思维习惯，以此作为跨学科学习的基石。

梳理相关主题。经过对部分学科教材的梳理，我们发现，同样的知识点不同学科在教学目标上有完全一致、部分交叉和不一致三种情况。部分学科内容的关联与重叠带来了重组优化教学素材的空间。如，三年级的劳技课制作“巧板”与二年级的数学课“七巧板”，既有重叠，又有延伸、丰富和拓展。同时，我们也发现，同样的教学内容在学段要求上有不一致，时间安排上有不同步的现象，例如，科学课在一年级就让学生感知长度单位，但数学课却安排在二年级。类似这样的情况往往会造成学生的重复学习或知识断层，不利于完成认知结构的建立，而这正是需要通过对不同学科相关内容的梳理、修正与完善的。

分类确立目标。在以联结为特征的学科间同主题教学时，教学目标的确定是非常重要的环节。学科横向联结应关注“序”的统一，纵向联结则关注“度”的把握。以数学与科学的联结性学习为例，我们通过跨学科联合教研，首先找到了这两门学科在内容上的三大重叠领域——量与计量、空间与图形、统计与概率，以及所涉及的 “长度、温度、时间、位置与方向、观察物体、体积（容积）、形状与结构、统计图、统计表”等9大相关的学习主题；同时，对这些内容在教学目标、进度上的安排也做了比对。在此基础上，进行分类并做了合理的目标设定。然后对于学科目标一致性的知识点，以“优化内容，确立合适的教学梯度”为联结要点；对于学科目标交叉性的知识点，以“分析异同，形成不同的生长方向”为联结要点；对学科目标不一致性知识点，以“寻找缺口，填补内容的中间地带”为联结要点。例如，对于“时间”这一主题的学习，两门学科都关注时间单位的体验，但数学课更强调不同时间单位之间的关系以及在生活的合理运用，而科学课则突出测量时间的工具的形成与发展，科学课学习的重点恰好能弥补数学课由于教学时间有限所导致的对数学文化感悟的一种缺失，将两个学科的内容联结重组，合理安排课时，学生对“时间”的体验就非常丰满了。

促进完整建构。上述学习过程，相关知识的教学不是简单的叠加与混合，而是在教师的精心组织下有序的呈现，在学生主动的学习中有效的建构，学科的界限变得模糊，知识向四面八方打开，且迅速以结构化的方式重新组合。例如，六年级学生学习反比例应用问题：在相同的条件下，毛细管直径x与水上升的高度y成反比例，xy=k。有学生受到启发，联想到科学课上曾经学过用两片玻璃夹一些红墨水研究毛细现象，随着玻璃片越紧，缝隙越小，红墨水爬升越高，红色墨水攀升的轨迹透过玻璃片形成了一条美妙的曲线，恰好呈现了小学数学中反比例函数的图像，完美地实现了学科知识的联结。在这样的课堂里，知识不是以碎片化的点状出现，而是以知识链、知识网的形式呈现，学生借助于不同情境整理知识点之间的逻辑关系、层级关系的过程，便是一种整体学习和系统思考。更重要的是，在以联结的方式学习的同时，学生以往在不同学科学习中获得的经验、方法、策略、思想都能得到有效的类比和迁移，这样的学习过程更容易让学生找到解决问题的切入口，体验到成功的快乐，从而更愿意去迎接复杂情境下具有挑战性的问题，形成积极的学习心向。

整合：跨学科的拓展性学习

圆周率是一个大家熟知的无限不循环小数，有音乐爱好者将每一个数字固定成一个音符，谱写出超神秘的钢琴曲《song of π》，曲谱可由不同的节拍演绎成抒情与激昂的多种变化的版本。数学与音乐的结合给毫无规律的数字赋予了美妙的节拍和韵律，枯燥的数字因动人的旋律而变得灵动起来，数字由“看见”变成“听见”。可见，整合学习使不同学科之间能互相产生灵感，学习变为一个有趣的探索，以往刻板的数字符号有了多元的表达，数学之美跃然纸上，这不得不说是整合成就了意想不到的精彩。

精选研究主题。在具体的实践中，如何确定适当的整合主题需要师生共同关注，正所谓教什么比怎样教更重要。好的研究主题超越了单一的数学知识，能激发学生主动综合多个学科学习的经验，从整体上生成无限的创意。所以，跨学科学习主题一定是既有意思又有意义的。“有意思”是体现在它能以一种崭新的姿态呈现在学生面前，以真实有趣的情境或贴合生活的现实问题引起学生好奇和探索的欲望，并随着思考的深入会越来越被其丰富的内涵深深吸引；“有意义”是指研究内容不仅指向知识技能的跨学科，更能通过题材的组合变化呈现出更丰富的学习内涵，有利于有高阶思维的参与和智慧的生成，使学习真正发生。

培育问题意识。跨学科拓展性学习中的主题从何而来呢？一方面，可以由各学科教师协同设计，但更应该来自于学生。我们认为，学习者感兴趣和关注的焦点可以生成有价值的问题，这些问题往往是独特而有新意的，这才是跨学科拓展性学习中的内核。例如，学生在学习“轴对称图形”后发现，图形中有对称现象，音乐中的旋律也有，更有学生发现语文中的一些词语短句甚至是诗歌也有类似的特征。于是，“对称”成了学生关注的焦点。课堂上，学生搜索和分享有关“对称”的各种表达，由对称的数字、汉字、图形入手，逐渐拓展到回文诗、回文句、回文数，进而发现他们之间的规律，并在此基础上自由地创作。这样的学习活动，学生不仅能感悟到不同事物之间神奇的联系，更感受到文学之美、艺术之美的数学表达。

从上面的例子可以看出，主动的问题意识，能帮助学生寻找到学科间的联系，发现自己所感兴趣的领域，并迅速进入问题情境，自觉寻求信息所提供的条件和关联，从而以积极的状态调用多学科的知识技能和个性学习经验，生成新的体验，建构新的知识，实现新的迁移和创造。

体验重于结果。跨学科的拓展性学习以更广阔、更全景的视角进入学生的真实生活，自觉地运用已有的数学经验，参与较复杂的问题解决。在真实的问题或生活情境中，学生的许多感受、思考、想法会伴随着信息的呈现、活动的进展、实验的成败等接踵而至，个体与同伴的合作、对话与交流又会催生许多新的思考与想法，活动中产生的感悟和体验为进一步丰富、修整、完善学习者的知识结构提供了真实和鲜活的原料，解决问题的策略与能力也在此过程中得到提升，这个过程变得十分有意义。此时，学生对抽象的数量关系和空间形式的理解已经有了跨领域的诠释，数学的学习意义也因丰富的跨学科背景而更具生命的活力和文化的意蕴。因此带来的对跨学科拓展性学习的评价，就不能只关注学习结果，还要关注学生在学习过程中的兴趣、动机、情感、意识的综合表现，只有唤醒儿童学习的内在自觉，保持他们的敏锐之心，进而打开思维之门，才能使儿童在将学科知识融会贯通的同时，个体学习的知、情、意、行也得到高度融合。这是核心素养提升的根本内驱力。