借助退化双曲线，巧解两道高考压轴题

黄永生 吴宝树 杨 丹

福建省泉州市第七中学(362000)

解析几何中，退化双曲线可以表示两条相交直线.反之，两条相交直线也可以用退化双曲线来表示.本文尝试借助退化双曲线来解决2017全国Ⅰ卷理科数学和文科数学试卷中的两道解析几何题，以期对读者有所帮助.

(Ⅰ)求C方程.(Ⅱ)设直线l不经过P2点，且与C相交于A,B两点，若直线P2A和P2B的斜率之和为-1，证明：l过定点.

此方程的解为椭圆与退化双曲线的三个公共点P2,A,B的坐标.又P2(0,1)，当y≠1时，方程(＊)即为：4k1k2(1+y)+(1-y)-x=0，此方程即为直线l的方程，所以l必过定点(2,-1).

(Ⅰ)求直线AB的斜率；

(Ⅱ)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解：(Ⅰ)直线AB的斜率为1.过程略.

由(Ⅰ)可知直线AB的斜率为1，于是令k1+k2=2，所以直线AB的方程为:x-y+7=0.

通过以上解题过程，不难发现，两条直线“相交”可以构造退化双曲线.借助退化双曲线，可以优化试题的解题过程，简化运算，使一些曲线方程的求解问题巧妙解决.

[1]黄永生,杨丹.2015年高考福建文科数学卷第19题(Ⅱ)的探究与推广[J].福建中学数学，2016(2):11-12.