RN上一类非线性Schrödinger-Kirchhoff型方程非平凡解的存在性和多重性

惠艳梅，郭祖记

(太原理工大学 数学学院，太原 030024)

1 主要结果

本文主要研究Schrödinger-Kirchhoff型问题

(P)

由于Kirchhoff型问题的重要性,近年来,很多学者研究了如下Kirchhoff型问题

非平凡解的存在性[1-6]。最近文献[7]又研究了非线性项f具有次临界增长的Schrödinger-Kirchhoff型问题

(1)

非平凡解的存在性和多重性。本文受此启发,主要将问题(1)中p=2的情形推广到任意p的情况。从文中可以看出,这种推广并不是平凡的，需要克服许多困难,例如问题(P)的能量泛函满足(PS)条件的证明。

F2) 存在开集Ω⊂RN,常数ξ,η>0,k∈(1,p)使得对任意的(x,t)∈Ω×[-ξ,ξ],有

F(x,t)≥η|t|k.

F3) 对任意的(x,t)∈RN×R,有f(x,-t)=-f(x,t).

得到如下主要结论：

定理1 若条件V),F1),F2)成立,则问题(P)至少存在一个非平凡解。

定理2 若条件V),F1)-F3)成立,则问题(P)存在无穷多个非平凡解。

2 基本引理

对任意的1≤s≤+∞,|·|s表示通常的Lebesgue空间Ls(RN)上的范数。本文工作空间为

在E中引入范数

可以证明问题(P)所对应的能量泛函是

(2)

并且J∈C1(E,R).从而由式(2)定义的泛函J的临界点即为方程(P)在E中的解.本文中用C和Cp表示一些正常数。

下面的引理是证明本文主要结果的理论依据。

∑={A∈E(〗0}:A是E中的闭集且关于0对称}；

Kc={u∈E:J(u)=c,J'(u)=0},Jc={u∈E:J(u)≤c}；

∑n={A∈E:γ(A)≥n}；

其中亏格

γ(A)=inf{n∈N:∃φ∈C(A,RN(〗0}),φ(-x)=-φ(x)} .

则有下面的结论。

引理2[9]J∈C1(E,N)是偶泛函,满足(PS)条件,对任意的n∈R,

1) 如果∑n≠Ø,cn∈R,那么cn是J的一个临界值。

2) 如果存在r∈N,使得cn=cn+1=…=cn+r=c∈R且c≠J(0),那么γ(Kc)≥r+1.

引理3 假设条件V),F1)成立,则J下方有界且满足(PS)条件。

证明：1) 证明J下方有界。由F1)及Hölder不等式可得

(3)

由于1<δi

2) 证明J满足(PS)条件。令{un}是E中的(PS)序列,即当n→+∞时，J(un)→c,J'(un)→0.由式(3)可知,{un}有界,于是对于{un}的某个子列,仍记为{un},存在u0∈E,使得

(4)

‖un‖≤M,‖u0‖≤M.

(5)

由J'(un)→0及式(4)可得

(6)

由条件F1)知,对任意ε>0的,取ρ>0可得

(7)

由条件F1),式(6),式(7),Hölder不等式及Sobolev嵌入定理可得

(8)

由式(4)知,存在{un}的某个子列,仍记为{un}以及非负可测函数U∈Lp(Bρ),使得当|x|≤ρ时,有|un|p,|u0|p≤U在Bρ(0)上几乎处处成立。由条件F1)有

(9)

由式(9)及Lebesgue控制收敛定理可知

(10)

从而由式(4),式(8),式(10)及Hölder不等式有

(11)

由式(4)知

V(x)|u0|p-2u0(un-u0))dx=o(1),n→+∞ .

(12)

对任意的ξ,η∈RN,由不等式[10]

(13)

知存在正常数Cp使得

(14)

且

(15)

从而由式(6),式(11),式(12),式(14)及式(15)可知

所以，

3 主要结果的证明

(16)

由10,有J(tu0)<0,那么得到J(u*)=c<0.因此u*是J的一个非平凡临界点,即u*是问题(P)的一个非平凡解。

定理2的证明由引理3得到J∈C1(E,R)下方有界且满足(PS)条件。由F3)及式(2)知，J(0)=0且J是偶泛函。现在证明对任意的n∈N,存在ε>0使得

γ(J-ε)≥n.

(17)

对任意的n∈N,取n个互不相交的开集Ωi使得

对每个i∈{1,2,…,n},取u=∑ni=1λiui.

(18)

则有

(19)

且

(20)

因为有限维范数空间En中所有的范数都等价,因此存在常数C>0使得对任意的u∈En,有

C‖u‖≤|u|k.

(21)

由条件F2),式(19)-式(21),对任意的u∈Sn,可知

(22)

由式(22)可知,对充分小的t>0,存在ε>0,δ>0,使得对任意的u∈Sn,有

J(δu)<-ε.

(23)

令

(24)

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