考虑螺栓联接的转子系统振动特性分析

侯小捷，罗 忠，黄耀宇，张西厂

（1.东北大学机械工程与自动化学院，沈阳110819；2.中国航发沈阳发动机研究所，沈阳110015）

0 引言

螺栓联接因具有安装方便、结构简单、联接刚性好等优点[1-5]，成为航空发动机中应用最为广泛的紧固联接方式。但螺栓联接特性会直接影响整个系统的动力学特性，特别对于带有螺栓联接结构的转子系统，其影响更为明显[6]，而目前在对转子系统进行动力特性分析时，往往忽略螺栓联接特性，直接按刚性结构处理，导致计算结果与实际情况出现较大偏差。为了更真实地分析转子动力学特性，必须考虑螺栓对转子特性的影响，建立包含螺栓联接的转子系统动力学模型。

目前国内外对于研究螺栓联接的力学特性及螺栓预紧力对联接结构本身固有特性的影响研究较多，而针对螺栓联接刚度对转子系统整体固有特性的影响还没有系统研究。栾宇[7]通过物理实验与仿真计算研究了螺栓法兰联接的轴向静力响应特性，发现联接结构存在明显的轴向拉压刚度不同特性；刘卓乾[8]从轴向、径向和弯曲3个方面讨论了螺栓联接的力学特性；赵丹[9]对某型航空发动机螺栓联接转子进行数值仿真，分析了螺栓联接结构对实际航空发动机的动力学特性的影响；Boeswald[10]采用试验与数值方法研究了螺栓联接的分段线性规律；QIN[11-12]等用有限元法计算螺栓毂筒联接的弯矩特性，建立了盘鼓转子接合部连接刚度解析模型，并将其引入转子有限元模型中，采用多项谐波平衡法（multi-term harmonic balance method）对含连接非线性（分段线性）转子系统响应进行了分析；GAO等[13]用有限元法给出了拉杆转子联接的数学模型，并将该模型应用于Jeffcott转子，研究了其动力学响应特性和模态特性。

本文针对螺栓法兰联接对转子系统影响，基于有限元方法建立了考虑螺栓法兰联接的转子模型。应用该模型分析了联接结构对转子系统固有特性的影响，并且将结果与ANSYS仿真软件结果进行对比验证。

1 螺栓法兰联接转子系统有限元模型

有限元的建模思路，就是将复杂的几何和受力对象划分为一个个形状比较简单的标准构件，称为单元；然后给出单元节点的位移和受力描述，列写单元动能、势能表达式，通过拉格朗日方程建立单元的质量、刚度矩阵；再通过单元与单元之间的节点联接关系进行单元的组集，最终得到结构的整体质量、刚度矩阵；进而根据位移约束和受力状态处理边界条件并进行求解。

为简化说明，设研究对象为1个转子系统，如图1所示。2根轴通过法兰由螺栓联接，转子两端由轴承支承。建立坐标系oxyz，其中以转轴左端面圆心作为坐标原点o；转轴中心线为z轴；x轴和y轴分别为转子的2个径向方向。

1.1 螺栓法兰联接的弯矩特性

螺栓法兰联接通常有n个性质相同的螺栓均布在法兰上。左右2个法兰盘绕轴转动，法兰盘的上下2点受力方向相反，使联接部位产生弯矩作用。n个螺栓共产生n/2个弯矩。为方便研究，把转子联接部分受到总弯矩分解到绕x轴和y轴2个方向

因为x轴方向与y轴方向类似，所以只分析x轴方向的弯矩特性，如图2所示。将螺栓等效为1对弹簧，其中上边弹簧受拉，下边弹簧受压。

图1 转子

图2 螺栓弯矩

由于螺栓的拉、压特性不同导致变形不相等。弹簧受拉、压时的变形分别为

式中：D为螺栓的安装直径；kT、kC为螺栓法兰联接轴向拉、压刚度。

在小变形条件下，联接结构绕x轴转角与轴向变形的关系为

1.2 螺栓法兰联接单元推导

转子模型建立基于以下假设[14]：

（1）建模只考虑2个法兰盘以及螺栓结构。

（2）法兰盘考虑为刚性盘，联接结构的作用力看作2个法兰盘的直接相互作用力。

（3）法兰盘轴心与重心重合。

（4）转子建模忽略轴向位移。

（5）2段转子之间的约束弯矩简化为角刚度作用（用1对轴向弹簧kT代替）；螺栓法兰联接除考虑角刚度外，还考虑径向刚度k。螺栓法兰单元刚度如图3所示。

根据上述假设建立螺栓联接的法兰盘模型如图4所示。单元由2个盘组成，其中每个盘考虑x与y方向的平动及绕x与y轴的转动，总共8个自由度。单元整体的广义坐标为

式中：x1、y1分别表示沿 x、y 轴的位移；θx，θy分别表示绕x、y轴的转角；下标1、2表示2个法兰盘。

将式（2）、（3）带入式（4）得到螺栓联接弯曲角刚度

为简化计算，将分段线性刚度简化为线性刚度，即认为螺栓始终处于拉伸状态，表现为拉伸刚度。则此时角刚度为

图3 oyz平面上联接单元

图4 螺栓法兰单元模型

法兰盘的质量、盘的直径转动惯量和极转动惯量分别为m、Jd和Jp，则联接单元动能为

单元势能为

不考虑广义力项，系统的拉格朗日方程为

利用式（8）、（9）通过拉格朗日能量法导出联接单元的质量矩阵、刚度矩阵、陀螺矩阵

式中：m1、m2分别为法兰盘 1、2 的质量；Jd1、Jd2为法兰盘 1、2 的直径转动惯量；Jp1、Jp2为法兰盘 1、2 的极转动惯量；k为螺栓法兰连接联接产生的径向刚度；kθ为螺栓法兰联接产生的角刚度，可通过式（6）由kT求得。

1.3 转子系统的动力学方程

利用第1.2节中得到的螺栓法兰单元与前人提出的Rayleigh梁单元及盘单元有限元模型相结合，采用文献[15]的有限元组集方法，组集得到考虑螺栓法兰联接的转子系统整体质量矩阵M、刚度矩阵K、螺陀矩阵G。

建立转子整体的动力学方程

式中：q为广义坐标；F为广义力；C为系统整体阻尼。将系统整体阻尼考虑为比例阻尼，其求解公式为

λ、η 由文献[16]得到

式中：ξ1、ξ2为阻尼系数；ω1、ω2为转子的第 1、2 阶临界转速。

2 有限元模型模态分析

2.1 模型参数

建立的转子模型如图5所示。从图中可见，转子共包含20个单元、21个节点，每个节点具有2个平动和2个转动自由度，因此转子模型共有84个自由度，其中10号单元为螺栓法兰结构，其余单元为参数相同的Rayleigh梁单元，具体参数见表1。由于工程中转子多采用非对称支承，因此模型采用非对称支承，即在第5、20号节点处加入轴承，轴承刚度为2×106N/m。

图5 转子模型

表1 单元参数

需要注明的是，在以下分析中考虑2种刚度（径向刚度和角刚度），由式（6）可知角刚度本质上表现为联接结构的轴向拉伸刚度，因此在下文研究中用轴向刚度变化间接代替角刚度变化。

2.2 刚度变化对固有频率的影响

固有频率随2种刚度（单元径向刚度、轴向刚度）的变化规律如图6所示。从图中可见，当刚度k、kT均小于107时，各阶固有频率随刚度增大而提高，此时处于上升阶段；当刚度处于105～1010之间时，固有频率几乎不变，此时处于稳定阶段。

图6 转子固有频率随刚度的变化

几个不同刚度下及刚性联接时（将2个法兰盘之间固连，即考虑成一个整体），前3阶固有频率对比见表2。当刚度处于稳定阶段时，此时的固有频率与刚性联接时的固有频率基本不存在误差，这与一般认知一致，也从一定程度上验证了建模的正确性。

表2 不同刚度下转子前3阶固有频率

以上讨论了固有频率随刚度变化情况，为看清总体趋势，刚度选取范围较大，下面针对常见的刚度范围做相应的敏感性分析。

螺栓法兰单元的径向刚度k恒等于1×109N/m时转子固有频率随轴向刚度kT变化的规律如图7所示。角刚度由式（6）得到，通过式（17）分别求解不同轴向刚度下转子固有频率

图7 转子固有频率随轴向刚度的变化

不同轴向刚度下及刚性联接时的前3阶固有频率见表3。当单元径向刚度不变时，增加轴向刚度，转子各阶固有频率都有所提高。其中第1、3阶固有频率对于轴向刚度变化较为敏感，第2阶固有频率则不受其影响。

表3 不同轴向刚度下转子前3阶固有频率

当轴向刚度kT=1×109N/m时转子固有频率随螺栓法兰单元径向刚度k的变化规律如图8所示。

图8 转子固有频率随单元径向刚度的变化

不同径向刚度下转子固有频率对比见表4。当单元径向刚度不变时增大轴向刚度，转子各阶固有频率都有所提高。其中第2、3阶固有频率对于径向刚度变化较为敏感，第1阶固有频率则不受其影响。

表4 不同径向刚度下转子固有频率对比

2.3 刚度变化对振型的影响

轴向刚度为106N/m、径向刚度为107N/m及刚性联接时转子的前3阶振型对比分别如图9、10所示。

图9 轴向刚度稳定，径向刚度变化

图10 径向刚度稳定，轴向刚度变化

从图中可见，当径向刚度较小时，在法兰联接处出现明显的径向滑移；当轴向刚度较小时，在法兰联接处出现弯折；同时，当刚度大到一定程度时，振型开始稳定，并且与刚性联接时一致。

3 联接刚度对转子振动响应的影响

图11 刚性联接时转子的不平衡响应

图12 考虑联接刚度时转子的不平衡响应

对比刚性联接（如图11所示）与刚度较大时（如图12所示），不同转速下转子各点的振幅变化可见，在求解不平衡响应时，如果考虑螺栓法兰结构计算结果中第2、3阶临界转速下的振幅会有减小，而第1阶转速下振幅没有明显影响。

在1000～12000 r/min转速区间上法兰盘处不平衡响应随刚度变化的关系如图13所示。从图中可见，前3阶临界转速与直接利用质量刚度矩阵求解出的固有频率对应转速相近。但是转子振幅在第1阶临界转速处振幅非常明显，导致在第2、3阶临界转速处振幅不明显。

图13 法兰盘处不平衡响应

提取图13中第1阶临界转速处的振幅见表5。从表中可见，随联接刚度（螺栓轴向、径向刚度）的增大，临界转速会提高，同时振幅会有所减小，2种刚度单独变化时对转子第1阶振幅的影响分别如图14、15所示。

表5 第1阶临界转速和振幅刚度变化关系

图14 径向刚度变化时法兰盘处的不平衡响应

图15 轴向刚度变化时法兰盘处的不平衡响应

通过对比可见，振幅随联接刚度增大有所减小。轴向刚度变化（图14）对第1阶临界转速及振幅影响较大，而径向刚度变化（图15）对其影响较小。

4 仿真验证

为说明数学模型的有效性，进行了仿真验证，使用工程软件ANSYS对图5中的转子进行建模，使用实体单元对结构进行精细有限元剖分；法兰盘与轴采用刚性联接，螺栓联接等效为2对轴向弹簧和1对径向弹簧。分别求解结构振型及固有频率与前文中理论计算所得结果进行对比。在刚性联接、大刚度联接、径向小刚度以及轴向小刚度时的前3阶振型对比见表6。从表中可见，理论计算所得结果与ANSYS仿真结果基本一致，依然可以看出大刚度联接时振型与刚性联接时的一致，不同工况下也出现了径向滑移和弯折等情况。

在不同情况下2种方法所计算的固有频率对比见表7。从表中可见，模型虽然对转子第2阶固有频率的预测误差较大，但是对于第1、3阶的固有频率预测较为准确，并且2种刚度对固有频率的影响也与前文中所得结论一致，对比结果进一步证明转子模型的有效性。

表6 不同刚度下模拟和计算的各阶振型对比

表7 固有频率对比

5 结论

（1）在转子系统中可以将螺栓法兰联接中的螺栓考虑成径向刚度和角刚度的组合，这样所建立的转子模型可以较真实地反映螺栓法兰联接的固有特性，较准确地预测转子的固有频率和振型。

（2）角刚度、径向刚度在一定范围内的增大都会使转子固有频率提高，并且趋近于刚性联接时的转子固有频率。同时，转子第1阶固有频率对螺栓法兰结构的轴向刚度变化较为敏感；第2阶固有频率对螺栓法兰结构的径向刚度变化较为敏感；第3阶固有频率则对螺栓法兰结构的2种刚度变化均较为敏感。但对于螺栓联接刚度对各阶临界转速的影响机理还未能给出准确分析。转子振型在联接处刚度较大时与刚性联接情况下的相近，并且当径向刚度较小时在法兰联接处出现明显的径向滑移；当角刚度较小时在法兰联接处出现弯折。

（3）联接结构的刚度会对转子的不平衡响应有一定抑制作用。在联接处的角刚度变化对转子第1阶临界转速处的振幅影响较为明显。