面积法在初中数学解题中的应用

杨春艳

摘 要：面积及面积法相关知识是中学数学学科教学的重要内容之一，其不仅拥有十分悠久的发展历史，而且当中还蕴藏着丰富的数学思想和方法。本文首先概述了面积简史、面积以及面积法相关概念，展示了面积法的计算过程，同时介绍了面积法在中学数学解题中的多种妙用。

关键词：面积法；应用；概率

【中图分类号】G 【文献标识码】B

【文章编号】1008-1216（2018）02B-0066-02

数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解題过程中的巧妙应用。

在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。

一、与面积相关内容的概述

（一） 中国古代数学的面积发展史

面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。尤其是在《九章算术》中还涉及较多关于面积的几何问题，特别是对不同形状的土地面积计算作了较为成熟的分析，如方田（正方形）、直田（矩形）、圭田（三角形）、圆田（圆）、环田（圆环）等。由此可见，中国古代关于平面几何面积相关的理论和算法已经较为丰富，古代人民的智慧对世界数学史的发展作出了突出的贡献。

（二）面积的概念

对于几何图形度量的最初动因，在于解决社会生产和社会实践的需要，对面积的度量也同样如此。从古至今，关于面积的定义有多种解释，较早的几种表述由于当时的社会背景和生产力水平的制约而存在较大的错误。随着历史的演进以及对几何图形面积认识的深入，对面积概念的表述也趋于完善。其中较为典型且认可度较高的几种表述包括：“面积是物体的表面或围城的平面图形的大小”“面积是某一平面上一个封闭图形所包围部分的大小”“面积是对平面或曲面区域大小的度量”。从这几种表述中可以看出，对面积概念的定义可以运用“大小”的数量进行衡量，从另一个角度上看，也可以认为面积其实是任何一个封闭的平面图形所对应的一个特定的量。

二、面积的计算

（一） 与面积相关的公式

第一，三角形的面积公式：三角形底边a乘以高h除以2。数学公式表示形式为S=ah；第二，梯形面积公式：梯形上底a加下底b乘以高h除以2。数学公式表示形式为S=（a+b）h； 第三，矩形面积公式：矩形的长a乘以宽b。数学公式表示形式为S=ab；第四，平行四边形面积公式：底 边乘以高 。数学公式表示形式为S=ah；第五，两个全等的平面图形，二者的面积相等；第六，任何一个封闭的平面图形，其总面积等于各个部分面积相加之和。

（二）与面积相关的定理

第一，两个相似的三角形，二者之间的面积比与相似比的平方相等；第二，两个三角形的底边跟高若是相等，则这两个三角形的面积相等；第三，梯形、三角形、平行四边形等平面图形，若底和高都相等，则面积相等；第四，两个三角形的对应边相等且夹角互补，则这两个三角形的面积相等；第五，相互等角或相互补角的两个三角形的面积之比，等于夹角或补角的两边的乘积的比；第六，等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比。

三、 面积法在初中数学解题中的应用

中国著名的院士张景中在其著作《仁者无敌面积法》中大量地运用面积法进行几何图形求解及证明，论证缜密，逻辑严格，充分证明了面积法在解题中的优越性以及技巧和方法。这点在中学数学教学过程中也可以得到印证。面积法在中学数学解题中，既可以用来计算平面几何图形的大小，又可以将面积作为一个桥梁以求解或证明其他一些表面相似以及看似无关实则相关的非面积几何问题和代数问题。以下，笔者就简要介绍面积法在初中数学解题中的几种应用。

（一）面积法建构几何等量关系求解边长

如：“已知△ABC，把AD设为Rt△ABC的斜边BC上面的高，并且，设定AB=45，AC=60，对AD进行求解，即求AD。”本题是中学数学最常见的直角三角形求高问题。一般解题的思路主要是依据相似三角形和勾股定理进行求解，解题过程较为复杂，而采用面积法建构等量关系，使得解题更为高效、快捷。从已知条件中得知题中有两个垂直关系，根据勾股定理可先求出线段的长，再根据面积法建构几何等量关系AB·AC=BC·AD，从而求出线段AD等于36.

（二）面积法求证线段比例等式

采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙，其通过构建面积这一桥梁，来证明几何图形的线段比例等式关系，直观而又清晰，极易为多数初中生所接受。如：已知△ABC，设E为AD的中点，通过对BE进行连接，并且把它延长交AC于点F，设BD：CD=2：1，求证AF：FC=2：3。对于该证明题，可以通过面积法进行求证。首先， 对CE进行连接，设S△CED=x，由于AE=DE，可以知道S△ACE=x，由BD：CD=2：1，可以知道S△BED=2x；由AE=DE，得出三角形AEB的面积等于三角形BED；设S△EFC=y，则可以得到等式与，计算得出x=y，最后证明出

（三）面积法计算概率

中学数学教材中关于概率的内容也有涉及。当计算一些较为简单的随机事件所发生的概率时，除了一般使用的列表分析法之外，还可以采用面积法进行计算。如“在一个黑白相间面积均等分布的圆盘中，转动圆盘，求圆盘停止时指针指向非阴影部分的概率？”求解该题，运用传统解题方法，过程极为复杂，而利用面积法求解该题，则十分简易。具体求解过程分析如下：

从该题的题干信息可得知，该圆盘阴影部分和非阴影部分间隔排列，且各自占圆盘总面积的一半，因此阴影部分和非阴影部分的总面积及各部分面积都相等。采用面积法可以直接得出圆盘停止转动后，指针指向非阴影部分的概率为p=。

四、结束语

通过本文，可从中深刻体会面积法的直观性和优越性。通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。这些都对培养学生数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。

参考文献：

[1]王小勇.关于过三角形中任意一点作线段平分三角形面积问题[J].长沙电力学院学报，2014，（3）.

[2]刘世云.关于初中数学几何推理和图形证明策略的分析[J].学周刊，2015，（11）.