基于铅酸电池剩余放电时间预测的数学模型

陈卫忠

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

1 问题提出

铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压(Um，一般为9 V)。从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负荷下还能供电多长时间(即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间)是使用中必须回答的问题。电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减[1]。

本研究参照2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题，利用题目中给出两组数据：同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据；同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据，提出3个问题。问题1：用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差MRE；问题2：建立在20 A到100 A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度；问题3：预测电池某一衰减状态下的剩余放电时间[1]。

2 问题分析和模型假设

为解决以上3个问题，通过对所列数据的分析，对3个问题分别作分析和模型假设。

对问题1，根据放电曲线的定义，对不同的电流强度下的采样数据进行多项式拟合得到放电曲线函数。根据给定的平均相对误差MRE的定义，在每组数据中以不超过0.005 V电压间隔分别取出231个电压样本点，可以给出各放电曲线的MRE。

对问题2，将20 A到100 A之间的电流强度分割为无数个电流强度间距趋于无穷小的连续的电流强度，通过多项式拟合得到连续的放电曲线，最终建立放电曲面模型，对整个曲面进行MRE值计算。

对问题3，对铅酸电池在4种不同的衰减状态下的数据进行曲线拟合，进一步拟合出曲面模型，将电池某一衰减状态下的电压数据代入就可以得到对应的剩余放电时间。

3 模型的建立和求解

3.1 问题1模型的建立和求解

根据出厂时相同批次铅酸电池在不同电流强度下的放电数据，采用多项式拟合对数据进行拟合，得到铅酸电池在不同电流强度下的放电曲线函数，计算平均相对误差MRE，得到电池剩余放电时间[2]。

当电流强度为20 A时，将不同的电压与放电时间的数据用Mathematica拟合出放电曲线，如图1所示，得到放电曲线函数y =- 1 03 638 + 2 4 015. 5 U -1 342. 0 7 U2

图1 拟合的放电曲线

进一步，由于放电曲线预测电池剩余容量/放电时间的精度取决于放电曲线在低电压段的质量，并且放电曲线等时间间隔采样在低电压段的采样点相对稀疏。因此，从最低保护电压9 V开始，以0.005 V为最大间隔区间抽取电压样本点，抽取电压样本点所在的区间内可采样数据越少，那么电压样本点越精确。为此在每组数据中分别提取出231个电压样本点。在某一电流强度下，以放电时间的预测值与采样值的平均相对误差来定义MRE，即

式中：yi表示放电时间的预测值；yˆi表示放电时间的采样值，i=1，2，…，231。当铅酸电池放电电流为20 A，平均相对误差MRE=0.42%。

当电池在不同电流强度下使用时，尽管放电曲线有差异，但可以统一定义某一电压下电池剩余放电时间T为最低保护电压所对应的时间预测值y(Um)减去各个电压下所对应的时间预测值y(U)，即T=y(Um)-y(U)[3]。当电流强度分别为30 A、40 A、50 A、60 A、70 A时，用同样的方法可以拟合出铅酸电池在不同电流强度下的放电曲线，建立放电曲线函数，计算对应的MRE，得到电池剩余放电时间(见表1)。

表1 电池剩余放电时间

3.2 问题2模型的建立和求解

为了得到任一恒定电流强度下的铅酸电池放电曲线，可以将20 A到100 A之间的电流强度分割为无数个电流强度间距趋于无穷小的连续的电流强度，通过多项式拟合得到连续的放电曲线，最终得到一个放电曲面，如图2所示。得到放电曲面函数

将电压从最低保护电压9 V开始以0.005 V为最大间隔分别提取出231个电压样本点。在n类电流强度下，通过放电时间的预测值与采样值的平均相对误差来计算出相对应的MRE，即

3.3 对问题3模型的建立和求解

观察同一铅酸电池在不同衰减状态下以相同的电流强度从充满电开始放电的记录数据，发现由于铅酸电池在衰减状态3的情况下数据不完整，因此仅仅用衰减状态3下的数据拟合出的放电曲线精度较低。因此采用问题2的方法，利用其他数据比较完整的衰减状态下的数据进行多项式拟合，得到不同衰减状态下的放电曲线。进一步，将几种不同衰减状态下的放电曲线放入同一曲面中进行拟合，得出放电曲面模型，如图3所示，得到放电曲面函数

图2 放电曲面

取L=3，得出衰减状态3的放电曲线，如图4所示，获得放电曲面函数

因此衰减状态3的情况下电池剩余放电时间T为最低保护电压所对应的时间预测值y(Um)减去各个电压下所对应的时间预测值y(Um)，即T=y(Um)-y(U)。

图3 不同衰减状态下的放电曲面模型

图4 衰减状态3的放电曲线

4 结论

本研究以精度较高的多项式函数拟合了铅酸电池的放电曲线，得到放电曲线函数，并分别给出各放电曲线的平均相对误差MRE。为了得到任一恒定电流强度以及不同电池衰减状态下的放电曲线，拟合出放电曲面模型，较好地解决了铅酸电池在当前状态下剩余放电时间问题，有着实际的应用意义。

[1]教育部高等教育司，中国工业与应用数学学会.中国大学生数学建模竞赛[EB/OL].(2016-09-09)[2017-07-05].http：//www.mcm.edu.cn/html cn/a l ffc4c5587c8a6f96eacefb8dbcc34e.html.

[2]李勃，刘云峰，郑益.蓄电池剩余放电时间综合分析模型研究[J].煤炭技术，2011，30(12) ：51-53.

[3]刘霞，邹彦艳，金梅，等.锂电池电量的动态预测[J].大庆石油学院学报，2004，28(2) ：81-83.