“初步”也要深刻——“新基础教育”视角下《小数的初步认识》的教学思考

浙江省宁波市镇海区艺术实验小学 郑春燕

在一次“新基础教育”专题研讨活动中，学校的徐老师执教了三年级下册的《小数的初步认识》。课后交流时，有的老师对课中小数认识的“度”提出了疑问，也有的老师对学生活动的设计发出感悟。华师大吴亚萍教授在课后评析中提出了“‘初步’也要深刻”的观点，指出《小数的初步认识》的教学要让学生充分感受小数的来龙去脉，既要让学生经历小数产生的过程，还要让学生体验小数应用的价值，并针对具体环节进行了设计重建，引发了在场老师的共鸣和思考。

一、溯源：解读教材之“初步”

1．纵观教材编排

小数的初步认识是小数教学的第一阶段，属于感性认识阶段。之前学生认识了万以内的数，会计算三位数的加减法，初步认识了分数，会计算简单的同分母分数加减法，学习了常用的计量单位等知识，这些都是认识小数的教学基础。通过对不同版本教材的对比中发现，对于小数的认识，多数教材的知识逻辑分为两个阶段，第一阶段主要是结合元、角、分和长度单位来初步认识小数；第二阶段则系统地学习小数的意义。笔者以为，教材的编者意图是让学生对小数的认识有一个循序渐进的过程。但在具体的教学中，对于第一阶段“小数的初步认识”的教学就出现了两个问题：一种问题是把小数的“初步”认识上成了“生活中的小数”，只是把用元作单位的小数和几元几角几分进行转化，这是一年级下册关于人民币知识的延续；或是用米尺作为教学材料，直接告知学生用米作单位时可以用小数表示。显然，这样的教学是不到位的。而第二种问题是教学的越位现象，提前对小数的意义进行快速抽象，使得学生知其然，而不知其所以然。

2．研读“新基础”理念

《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》中指出：“数是学生数学学习需要建立的最为基本的概念。学生关于数的概念的建构质量直接关系到学生当下乃至今后的数学学习质量。因此，要借助于数概念的教学，使学生经历数概念不断形成和扩张的过程，感悟数认识的框架性结构的存在……更为重要的是，还要帮助学生了解前人创造发明数的原理之所在，感受渗透其中的智慧和力量。”同时在数概念教学长段递进性目标设计中也明确了《小数的认识》的教学目标：从数认识的框架结构出发认识小数，知道小数与整数和分数的内在关系；了解小数结构与整数结构的内在一致性；掌握小数的构造结构，并运用这个结构生成新的小数。

从小数的知识结构分析中我们可以看到，用小数可以表示整数个位以下的部分，不仅产生比个位更小、更精确的单位，而且还体现了无限逼近的数学思想。因此，“小数的认识”的教学，要使学生经历在数射线上把相邻两个整数之间的距离平均细分并用小数进行表示的过程，帮助学生了解小数形成过程的来龙去脉，理解小数所特有的精确性作用，帮助学生知道在数射线上任意两个整数之间有无限多的小数存在，建立起对小数的内涵认识和基本敏感，更为重要的是，还要帮助学生体会无限逼近的数学思想，感受前人在发明小数过程中的伟大智慧。那么在小数的初步认识的教学过程中，就需要对内容进行结构加工和重组，对小数的认识进行整体设计，让学生在“初步”认识中形成对小数“全貌式”的初步认识，之后才能在第二阶段的小数学习中对小数意义进行分化的具体认识。基于这样的结构化的教学，才能帮助学生建立起对小数的基本敏感，并能运用这种结构去完善头脑中的数概念。

可见，“初步”认识更要进行全盘化、结构化的设计，更要让“初步认识”在学生头脑中留下“深刻”的印象，才能突显“小数的认识”的育人价值。

二、剖析：重建教学之“深刻”

《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》中提出：数概念的教学要遵循三项基本原则，即意义关联的原则；创造生成的原则；关系沟通的原则。结合吴亚萍教授的评析与三项教学原则，笔者对《小数的初步认识》的教学进行了梳理和重构。

1．意义关联的原则——经历小数的产生要“深刻”

原则再现：老师应尽可能让学生经历从现实生活中抽象出数的过程，使学生能够感受数在现实生活中的具体意义。在数概念认识的初期，考虑到学生年龄尚小，可由教师提供丰富的生活情境。

【环节一】用精心设问引发深刻的思考。

（1）估计22÷3的商大约是多少？商在哪个数之间？这两个数之间还有什么数？

（2）小明和小亮的身高用厘米作单位大约都是132厘米，这两个人谁更高一点？

深思：对于22÷3的商的范围，学生根据已有知识经验，可以判断出其整数范围，介于7和8这两个整数之间。同时根据生活中见到的小数，也很清楚7和8之间还有七点几之类的数。这样的设问足以唤醒学生已有的知识经验和生活经验，实现这两种经验的沟通。对于问题（2），学生会分成两层阶梯去回答，直觉思维会让一部分孩子得出两人一样高的结论，随着其他部分孩子的质疑，通过进一步思考，学生又会深入思考：如果量出毫米作单位的话，就会比出两人的身高。这样的设问首先让学生体会到更精确的意义，同时思考132厘米几毫米的数该怎样表示，有了这样的数就能比出大小、高矮和多少了。相较于之前的反问：“这两个数之间还有数吗”和“这两个人的身高能比吗”，两个设问的指向性更强，更能让学生深刻地体会到小数是因需要而产生的。

【环节二】用多维表述形成深刻的认识。

活动材料：这里有一条线段，我们把它看作1米，也可以想成是一把米尺。

（1）0和1之间还有哪些数呢？

（2）之前我们学习过分数，现在我们把这1米平均分成10份，请你把0和1之间的分数表示出来。

（4）你能像这样表示2分米、3分米……9分米吗？

深思：这样的设计体现了二次重心下移：一次是让每个学生写出把1米平均分成10份后，之间产生的分数；第二次是让全体学生仿写出米所对应的小数。两次人人参与的活动充分利用了学生的生活经历和已有认知，激活了相关经验和相关知识基础，引导学生在多次表述（多维表述）中感悟一位小数的含义，促进学生的正迁移。同时，作为初步认识小数的教学，设计中只重视学生在具体情境下对小数的表述，并不急于归纳小数含义。学生从几分米对应到十分之几米，再对应到零点几米，多维表述下，学生自主将生活中的实体对应抽象成数，充分感受小数在现实生活中的具体意义。

2．创造生成的原则——感知小数的意义要深刻

原则再现：为了让学生充分感受和学习人类祖先在发明创造数的过程中的伟大智慧，教师要改变教材呈现知识的顺序，把断裂的知识进行修复，引导学生借助已有的知识结构主动认识新的数，让学生经历新的数、计数单位和数位的不断创造生成的过程。

【环节三】变换单位，让理解更深刻。

（1）这条线段除了可以表示1米外，还可以表示1（ ）？这时，0和1之间的这些分数又可以怎样表示？对应的小数呢？

（2）观察这些表示不同量的小数，它们有什么共同点？

（3）去掉线段上的单位，出示0.9，这个小数在哪里？再增加一段就是（ ）？

深思：借助学生熟知的米制系统建立起的小数认知结构，主动迁移至其他的量，认识不同量中的新的小数，让学生感受“量”在变化，但小数的意义不变，学生在不同的量中主动建构出小数。

【环节四】增加维度，让意义更深刻。

（1）小结：在这条线段中，我们从不同的1（ ）中，发现了和认识了0～1之间的这些小数，还知道了小数和分数的关系。

（2）在下面这几幅正方形图中，你能找到0.5这个小数吗？

深思：学生在熟悉、具体的量中感受到的小数和数学上的小数还是有较大的区别，即学生还不能从小数含义角度理解。英国沃瑞克大学的韬尔教授等人分析，数的概念是一个典型过程型概念，也就是说它既是过程，又是概念。数的概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，使学生在具体操作的基础上，通过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入已有的认知结构。通过米制系统，线段、图形等直观、半直观模型，让学生在熟悉的、有交流内容的、能说出具体事例的情境支持下，对小数概念形成充分的感知，为后续层层剥离表面现象建立概念打下基础。从一维线段图到二维正方形图的拓展，不只让学生对小数的意义认识更深刻，也让学生感受到不断创造生成小数的过程。

3．关系沟通的原则——整体感悟小数要深刻

原则再现：数概念教学中要注意从两个层面沟通整数、分数和小数的内在关联：一是整数内部层面的关系沟通，二是整数、小数和分数之间的关系沟通。后者的主要沟通任务有：要沟通整数、小数和分数的认识内容之间的关系，提示数概念体系的知识框架，即整数、小数和分数从表面上看各不相同，但都是从数的意义、组成、读写、排序和分类等方面来认识，帮助学生形成数概念认知的结构化；沟通整数和分数之间的实体关系和抽象关系，揭示分数概念中部分与整体的相互关系，帮助学生感悟、理解和掌握分数的抽象意义、基本单位与组成；要沟通整数与小数之间的十进制关系，使学生能够运用小数的构造特点创造生成新的小数。

【环节五】深刻感知小数的无限存在。

（1）0～1这段只是数射线上的其中一段，我们一起看看数射线后面的部分，先来看1～2这一段，这之间有哪些小数呢？你是怎么找到它们的？

（2）现在我们再看22÷3，它的商可能是哪些小数？

（3）除了1～2，2～3，8～9之间存在着这样的小数，其他的相邻的两个整数间也有这样的小数吗？举个例子说一说。

（4）观察情境图：姚明身高2.26米，

试着读读这个小数，你觉得它可能在数射线上的哪个位置？怎么能得到它？

深思：这一环节体现了教学的第三次重心下移：学生在0～1之间找小数已经很熟练了，但对于数概念的沟通还没有形成，只是0.1～0.9这几个小数的点对点上的认识。这样的设计让学生深刻地体会到每两个整数之间都有这样的小数存在，同时帮助学生建立起对小数的内涵认识和基本敏感，更重要的是，借助这样的环节，拓宽了学生对小数的认知，沟通了小数与整数的关系，渗透了无限逼近的数学思想，学生深刻地体会到了小数的无限存在和细分之后，小数特有的精确性。

三、审视：关注育人价值是出路

“新基础教育”研究强调对数学学科的独特价值和不同内容具体价值的开发。综观上述教学过程，基于“育人价值”的教学设计，才使数学教学有可能生成丰富而又多元的资源，学生的精神世界才有可能从中获得多方面的滋养，数学教学才有可能实现促进学生成长发展的价值。