三角恒等变换之题型总结及解题策略分析

王传勇

三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具.三角恒等变换是高中数学的一个重要模块，在历年的高考中都是必考内容，同时也是很多学生学习，考试的难点.本文将三角恒等变换的一些常见题型及解决策略作了梳理，仅供参考，希望能对学生学习有所帮助.

一、公式的变形

三角公式是变换的基础，应熟练地掌握公式的顺用、逆用及变形应用.

1.化简

（1）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ；（2）sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

解：（1）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=cos[（α+β）-α]=cosβ

（2）sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=sin[（α+β）-α]=sinα

2.求证：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

证明：由tan（20°+40°）=得

tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°），所以

（1-tan20°tan40°）+tan20°tan40°=.

二、角的变换

在表达式中或者在已知条件和所求问题中出现较多的相异角，可以通过观察，寻找两角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，从而应用角的变换，建立已知和结论之间的联系，使问题得以解决.

1.已知cosα=，cos（α+β）=-且α，β均为锐角，求cosβ.

思路分析：通过寻找题目中的角α，α+β，β三者之间的关系，利用角的变换来解决.

解：因为cosα=，cos（α+β）=-，且α，β均为锐角，

所以sinα==，sin（α+β）==

cosβ=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ

=-×+×=

2.已知cos（α-β）=-，cos（α+β=），且（α-β）∈，π

（α+β）∈，2π，求cos2α.

思路分析：通过寻找题目中的角α-β，α+β，2α三者之间的关系，利用角的变换来解决.

解：因为cos（α-β）=-，（α-β）∈，π，所以sin（α-β）==.

因为cos（α+β）=，（α+β）∈，2π，所以sin（α+β）==-.

所以cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]

=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）

=-×-×-=-

三、函数名称的改变

三角变形中，常常需要变不同函数名称为同名函数.如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，化弦为切，变异名为同名.

1.求sin15°sin30°sin75°值.

解：sin15°sin30°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=×=

2.化简.

解：原式=

==

===2.

四、常数变换，巧用“1”

在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数1转化为三角函数值来代换，以达到解决问题的目的.

1.已知tan+θ=3，求sin2θ-2cos2θ.

解：由tan+θ=3得，tanθ=.

sin2θ-2cos2θ====-.

2.求.

解：原式===tan30°=

五、幂的变换

升降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法，降幂并非绝对，有时需要升幂.

求使函数f（x）=cos4x+sinxcosx-sin4x為正值的x的集合.

解：f（x）=cos4x+sinxcosx-sin4x=（cos4x-sin4x）+sin2x=（cos2x-sin2x）（cos2x+sin2x）+sin2x=cos2x+sin2x=sin2x+，由sin2x+>0得2kπ<2x+<2kπ+π，k∈z.解得-+kπ

所以x的集合为x-+kπ

六、结构的变换

通过表达式结构特点，通过构造上的变换，从而使问题得到解决.

求cos20°cos40°cos80°的值.

解析：根据式子结构特点，乘以并除以2sin20°.

解：cos20°cos40°cos80°=

==

===.

参考文献：

[1]牛晓伟.三角恒等变换的技巧及其应用[J].考试周刊，2012（49）.

[2]黄伟军.三角恒等变换之七变[J].泛舟学海（高中），2008.

[3]华丽凤.三角恒等变换之“差异分析”策略[J].高中数理化，2011（22）.

[4]杜春辉.例谈三角恒等变换中的“变角”技巧及其应用[J].考试周刊（数理系），2011（78）.

编辑 谢尾合