从理念到行动：数学必备品格的意蕴

江苏南京市长江路小学（210018） 周卫东

一、什么是数学必备品格

“核心素养”是当下教育界的热点话题。经过文献检索可知，不同的国家和国际组织，对核心素养的内涵都有自己的界定，从总体上看，基本上都是以“技能”或“能力”来呈现，而我国将核心素养界定为“必备品格和关键能力”，亦即不但重视能力，还重视品格，品格与能力同时成为核心素养的内涵。这一界定，使得我们对核心素养价值与内涵的理解更加完整、更为深刻。

回到小学数学这门学科，其核心素养必然绕不开关键能力与必备品格。目前，关于数学学科的研究大多围绕关键能力展开，但对于必备品格的研究，基本上还是一个有待开发的未知领域。

什么是数学必备品格呢？我们认为：数学核心素养是由必备品格和关键能力形成的共同体，数学必备品格是数学核心素养的重要组成部分，是数学学科所赋予学生独特的、在明天的成人社会里仍然忘不了、用得上的学科品质。如果说数学的概念、公式、定律（知识性成分）等是数学素养的物质实体，那么数学思想、理性精神、信念品质、价值判断、审美追求、思维品质等深层次的因素，则是数学素养结构中的精神实体，这种蕴藏在知识性和能力性成分背后的观念性成分应是数学必备品格的应有之意。而在这林林总总的品格要素中，数学意识、数学思想、数学情感与数学理性精神就是数学必备品格。

二、为什么要培养数学必备品格

党的十八大提出把“立德树人”作为教育工作的根本任务，明确强调教育的本质功能和真正价值，开始从国家层面更加深入、系统地考虑“教育要立什么德，树什么人”或者说“教育要培养什么样的人”这一根本问题，从本质上，就是关注“面向未来教育要培养怎样的人”。其一，能力固然重要，但人的发展不仅需要能力，还需要品格，品格与能力共同支撑着学科素养的发展。其二，品格与能力互相支撑，能力应当有方向感、价值感，若缺少价值判断与学科意识的能力，则会缺少可持续发展的后劲。品格与能力是并列关系，更是交融关系，品格又具有引领能力发展方向的意义。数学虽说是一门自然科学，但同样具有品格的意蕴，只有注重其品格的培养与提升，才能使必备品格与数学能力相伴相生、相互融合，成为个体学科素养结构中不可或缺的一部分。

反思当下的数学教育，存在着两种不同的价值取向。一是眼睛向外，诉诸于物，让学生会做题、能考试、可应用，为升学而教，这是功利性和工具性的价值取向。二是眼睛向内，诉诸于人，以数学独有的品性来“化”人，培养学生的理性精神，使学生练就数学的头脑与眼光，能“数学地”观察世界，这是数学教育的人文性价值取向。在长期的数学研究中，我们常常把数学所具有的学科品格，特别是数学的人文性、哲学式思维等只是作为隐含在数学知识传播中的配角而鲜有关注。数学的工具性所衍生出来的功利性价值取向，使得数学教育日益成为各类升学考试中的一块“敲门砖”，于是，在教学中，“就着知识教知识，围绕考点炒知识”的现象并不鲜见，数学教育逐渐被降格为单一的“解题训练”。经过这样的训练，学生即使能掌握相关的概念、公式、定律、法则，并能做题、考试，但未必能领悟数学的精髓，养成数学的意识与眼光，进而形成良好的数学素养。对此，一些数学同行常常发出这样的感叹：“有知识，没品格！”

三、怎样培养数学必备品格

（一）数学特质内化，赋予必备品格以“理性质感”

克莱因博士说：“数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完善的内涵。”毋庸置疑，理性精神是数学品格的重要内核。

1.培养科学严谨的意识

“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。”数学恒定的规则、严密的推理、抽象的概念都是数学内容的理性表达。比如“四则运算法则”的教学，要让学生体会到规则的合理性和必要性，及数学的客观性和严谨性。

我的学生小信就极有主见。有一天，小信找我理论：“对于‘8+4-2=？’这道题，我先算 4-2=2，再算 8+2=10，一点没错。对于‘8×4÷2=？’这道题，我先算 4÷2=2，再算 8×2=16，还是对的。谁说同一级别的运算，非得从左到右啊？”如何才能既保护他的主观意识，又让他信服于数学的理性客观呢？我选择和他一起通过画圆圈来证明。在他弄清楚了问题所在后，我又让他回去琢磨“8-4+2”和“8÷4×2”这两题。第二天，他用乘客坐汽车的故事把算理讲得清清楚楚。我赠言：“大师，我迷信你的主见。”他回敬：“其实您相信的是数学吧？我也是。”当然，把握客观并不等于固守已有知识经验。知识的不断重构是数学思维发展的一个基本形式，教师要结合数学史并重视让学生对已经建立的观念进行自觉反思和必要更新。

与此同时，还可以结合数学内容对学生进行普遍联系、运动变化、对立统一、量质互变等观点的启蒙，让学生初步感悟辩证唯物主义观点，逐步树立科学的世界观。例如，对于一年级的10的分与合、10以内的加减法、一图两式和四式，以及二年级的乘除法，教师要着眼于数学必备品格的涵养：抓联系、抓结构、高观点、宽视界。教学内容看似繁多，其实都可以统整为最顶端的分与合图式（如图1）。加减、乘除之间相互独立又相互依存的互逆性，加和乘、减和除之间的联系，都可以用模型图揭示。加减乘除法的学习有了整体结构感，学生的认知就更为清晰和理性。

图1

2.培育勇于批判的意识

一个具备优秀的数学必备品格的人，不会盲目相信和照搬照抄结论，因为他们具备了批判性思维。批判性思维是有目的的、自我调节的判断。这种判断表现为解释、分析、评价、推断以及对判断赖以存在的论据、概念、方法、标准或语境的说明，是一种不可缺少的探究工具。解放学生的大脑，让学生勇于批判是培养学生理性精神的重要途径。小说家格雷厄姆·格林说过：“童年期肯定有一些时机，此时大门打开，让未来走进来。”学生经常会用自己的一套理论异想天开。比如学习“笔算除法”时，孙乐宸一边写（如图2）一边说：“书本的除法竖式太麻烦了，这样写也很好算，加、减、乘不都这样写吗？”

图2

对这看似非常可笑的问题，我微笑着鼓励他先查询资料，并尝试自学“三位数除以两位数”，再试验自己发明的除法竖式到底行不行，如果可行将为他申请发明专利。后来，孙乐宸写了几百字的小论文，还发表在杂志上。试想，如让学生长期浸润在这样的问题场域中，他们的数学意识何愁不能驱动？

（二）学科意识涵化，赋予必备品格以“独特风骨”

当下的教育在努力追求一种境界，那就是教给学生“带得走的东西”，而数学学习中“带得走的东西”，就包括学生忘掉具体数学知识以后，依然能从数学的视角去分析和研究问题的思维习惯，是一种植根于内心的数学素养和无需提醒的文化自觉，即数学意识。因此，通俗地讲，数学意识是“自觉”地从数量关系和空间形式的角度认识世界的一种头脑与眼光。数学意识能“自觉”地指导、调节、监控学生的数学活动，使其行动具有目的性、方向性和预见性。

1.鼓励探索发现

儿童文化蕴含着可贵的哲学精神：自由、智慧、发现。数学意识的形成，与儿童每一次的探索与发现密不可分。成年人如果漠视儿童文化的诗性逻辑和游戏精神，就会使儿童与其本真的生存方式相剥离。教师要做一个长大的“儿童”，理解儿童、成全儿童，大智若愚，在有趣的发现之旅中涵养儿童的数学意识。

比如，我在教学“9的乘法口诀”时，听课老师评价我——特别“懒”，没做一张PPT，没设计任何故事情境，也没有老老实实地让学生做书本习题。课始，我亲切地对学生说：“课前周老师了解到，咱班小朋友都在家长的指导下背过9的乘法口诀，想不想露一手？”学生兴奋地背了起来。“你们觉得哪一句比较容易错啊？”有的学生说：“六九五十四这一句容易错，因为它和五九四十五很像，有时分不清是四十五还是五十四。”于是，我就以“怎么知道六九是多少”为例展开教学。学生在研究单上通过画图、转化成加法、借助熟悉的口诀等多元的方法证明“六九五十四”。我只用红笔在一组研究单上（从画图、加法算式、乘法算式到口诀）画了一个向下的箭头，写上“抽象”二字，可谓神来之笔。在整理出9句乘法口诀之后，我退到讲台边上，并提问：“好好观察9的乘法口诀，你有什么有趣的发现？”学生安静地思考后，师生合力，得到了如图3的板书。最后，我让学生推荐一道好题，学生在与同学分享自己推荐题目的过程中闻着数学“味”，循着数学意识的“影子”，流连忘返。

图3

2.促进思想升华

数学意识与数学思想方法关系密切，数学意识是由数学思想方法内化、自觉化而产生的，所以数学意识活动实际上就是自觉运用数学思想方法处理问题的倾向。数学意识对数学活动起着定向、统摄和监控的作用，这些作用的发挥取决于数学思想方法的运用程度。数学思想方法是数学意识的桥梁和中介，教师要尽可能地在教学中渗透数学思想方法，让学生感受和感悟数学思想方法的精妙，为他们形成良好的数学意识铺垫和蓄势。

数学思想方法往往隐含于数学基础知识之中，所以教师首先要充分挖掘教材中蕴藏的数学思想方法，在问题解决中有意识地渗透数学思想方法，然后引导学生通过观察、分析、概括，经历知识形成的过程，通过动手实践、合作交流等活动领悟数学思想方法。在问题解决后，教师要再次强调或引导学生自己归纳出数学思想方法，这样才能让数学思想方法真正内化为学生数学素养结构中不可分割的一部分。比如，教学“解决问题的策略——假设”时，课始，我先播放一部“道边苦李”的动画片，并抓住核心问题“王戎是怎么判断路边的李子是苦的”安排学生讨论，让学生透彻理解“假如路边的李子是甜的，怎么会没人摘下来吃”的道理，为假设思想的教学打下基础。再比如，教学一年级的“比多少”时，我故意在黑板上无规则地摆出若干个黄色圆片和红色圆片，让学生解决“怎么才能知道黄色的圆片多还是红色的圆片多，多多少个”等问题，这时，学生除了通过数的方法，就会自然而然地想到“一个对着一个摆”的方法，而这种方法对应的就是小学数学中常用的“一一对应”的数学思想。

（三）学科魅力催化，赋予必备品格以“情感基调”

数学本身是美的，数学之美是数学学科独特的魅力所在，正如著名数学教育家华罗庚先生所说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的。”如果重视利用数学本身的“美”来对学生进行熏陶，必将引发学生深刻的数学学习情感。

1.感受数学的内在美：美妙

数学的较高境界是“意料之外，却又在情理之中”。比如，对于“三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都相交于一点”这一规律，可以让学生在操作、想象、对比后思考：是什么力量造成了如此神奇的数学现象？另外，还要通过教学，让学生知道美观的东西并不都是美好的，有的知识外观虽不和谐、不美观，但是我们了解它、运用它、欣赏它，就能感觉到它的美好和美妙。比如，对于题目“星期日，上初中的儿子在解答这样的一道题：父子两人，爸爸32岁，儿子5岁，几年后，爸爸的年龄是儿子的10倍？”，王刚用列方程法解出答案为－2。时间怎么会等于－2呢？李琳说是方程列错了，张军说是计算有问题。其实都不是！－2的意思是说，两年前爸爸是30岁，儿子是3岁，爸爸的年龄正好是儿子的10倍。至此，学生深刻感受到：“方程”本身这种不受客观因素左右，只是“尽职”地表达数量间关系的内在特质，能使生活中看起来是无解，甚至是匪夷所思的问题得到有效的诠释。

2.感悟数学的核心美：美思

柏拉图说：“我们应该区分两种不同的存在——经验的存在和理性的存在。经验的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。”数学之美，在于智慧之美、思想之美，数学教学不能离开这种美。例如，教学“三角形三边之间的关系”时，我带领学生研究题目：“有两根小棒，一根长7厘米，另一根长9厘米，可以把其中一根小棒剪成两段，你能将它们围成一个三角形吗？”在学生给出答案“可把9分为4和5、3和6、2和7时”，我先让他们把这三种可能的情况画出来（如图4-1），接着引导他们思考：“如果考虑小棒长度可以是小数时，又有多少种可能呢？”在得出诸如4.1和4.9、3.1和5.9等无数种可能后，我再次引发学生想象：“如果把这些可能的情况都画出来，会是什么形状呢？它像生活中的什么建筑呢？”（如图4-2）

图4-1

图4-2

图4-3

在这个过程中，学生收获的既有对“三角形三边之间的关系”的理解，更有对这一过程中蕴藏的“对应”“有限与无限”“变与不变”“函数”等数学思想方法的感受与感悟。教学到此本应结束，可就在第二天，许诺带来了一根筷子和一根橡皮筋（橡皮筋的长度略长于筷子），橡皮筋的两端连着筷子的两端，他用食指绷紧橡皮筋作圆周滑动，这样手指划过的地方就形成了一个椭圆的轨迹，他在演示完毕后还展示了他所画的图（如图4-3）。对此，我非常惊讶：这不正是椭圆的原初定义吗？于是，我表扬了许诺的这种创举，并指导他将其写成数学小论文（后来该文发表在《小学生数学报》上）。褒奖、放大并利用这种深刻的、刨根究底式的“美思”成果，必将“点燃”学生对数学学习的激情和热情，唤起学生发自内心的对数学的爱。

四、培养数学必备品格要注意哪些原则

必备品格的塑造和培养有别于关键能力，它不像培养能力那样可以立竿见影、短期见效。一般情况下，要遵循以下原则。

目标性原则。确定教学目标是教学活动开展的首要任务，教学活动的开展过程与预期效果都需要教学目标的指引，教学目标对教学活动具有整合和支配的作用。在传统应试教学的羁绊下，数学中的“知识与技能等目标成为重中之重，而无形的必备品格目标被边缘化，因此，数学教学想要厘清方向，必须在教学目标层面进行改进和调整，重塑基于核心素养“视界”的教学目标。当教师把数学教学的目标聚焦于一个完整的“人”，关注必备品格的养成时，就不会只满足于让学生学到几个公式和几条定理，而能把数学的精神价值、必备品格等要素养纳入教学目标框架之中，杜绝纸上谈兵、形式主义的倾向，确保必备品格的目标真正落到实处。

学科性原则。着力培养数学必备品格并不是说要培养从事专门研究数学的数学家。对于数学教学而言，“作为学科的数学”应该有别于“作为科学的数学”。“作为科学的数学”，其核心目标是对未知数学世界的研究与探索，而“作为学科的数学”，其核心目标并不是对未知数学世界的探索，不是研究数学本身（因为作为学科的数学，结论是已知的），而是基于对数学知识发展过程的“逻辑重演”。关注必备品格的教学，并不是要“另砌炉灶”，而是提倡：不仅仅让学生掌握相关的数学知识与技能，训练和提高学生的数学思维能力，开发学生的智力，还要引导学生在经历数学“再创造”的过程中，逐渐积累基本的数学活动经验，体悟基本的数学思想方法，受到数学理性精神的熏陶，逐步养成数学的意识与眼光，从而提高自身的数学核心素养。

涵养性原则。必备品格的教学拒绝直接灌输、讲解的方式，一般需借助情境、事件、场域等媒介，施以“润物细无声”式的浸润影响，方可得到“潜移默化”般的育人效果。台湾学者黄武雄在《学校在窗外》这本书中提到：“如果学校还有第三件事可做，那么这第三件事就是留白，留更多的时间与空间，让学生去创造、去互动、去冥思、去幻想、去尝试错误、去表达自己、去做各种创作……”现实世界是数学学科得以不断可持续发展的源泉与土壤，通过深度学习多元化的、生活化的素材，可以改变学生的数学观，促进学生数学必备品格的生成。数学必备品格的涵养，必须让学生从幽暗封闭的窒闷氛围中走出来，走向敞亮开放的新天地，让学生在曼妙的数学学习之旅中少一些耳提面命的疲劳，多一些温暖而美好的纯真记忆。

导向性原则。当下的数学课堂评价有一种不好的倾向：重知识技能达成评价，轻学习过程、学习情感体验程度的评价；重教师教学基本功高低的评价，轻学生学习生长过程的评价，如此种种，造成一定程度上学习评价方式的偏向和对考试结果的依赖。因此，追寻数学必备品格涵养的数学教学必须改变原有的狭隘、功利的教学评价，建构人文性、多元化的教学评价体系。首先，要在“双基”达成的基础上深度探掘数学教学的品格涉入价值，关注学生在数学学习过程中知识、情感、行为的整体变化，将数学教学评价内容的外延拓展开来；其次，要关注学生在学习过程中生成的“增值”效应，即要将“人”——学生纳入评价主体，重视学生的自主评价。只有建构人文性、多元化的教学评价体系，才能有效地为教学导向、护航，让数学教育真正行走在健康、向上、可持续发展的道路上。

［1］顾亚龙.以文“化”人［M］.上海：上海教育出版社，2014.

［2］黄晓琴，刘培培，朱德全.数学教学的文化生态品格回归［J］.教学与管理，2015（7）.

［3］郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学［M］.成都：四川教育出版社，2001.