相遇和追及问题模型化习题设计与命制探析

郑行军

摘要：相遇和追及问题的分析过程涉及多种方法，如解析法、图象法、结论法、极值法和函数法的组合应用，有一定的灵活性.此类问题的求解要求把握两个关键：一个是同时；一个是同一位置，因此以物体运动的空间和时间的关联性为基础建立系统的轨迹模型和问题模型，以归纳的物理模型为解题切入点，是实现高效解题的一个有效途径.

关键词：相遇和追及；轨迹模型；空间；时间；问题模型

相遇和追及问题是指两物体能否在同一时刻到达空间的同一位置.解决此问题时，需要根据两物体的运动情况找出其时间关系、位移关系、速度关系，然后列方程联立求解[1].因此建构系统的轨迹模型和问题模型帮助学生比较全面地掌握此类问题可能的命题方向和解题策略，是实现高效解题的一个有效途径.

一、轨迹模型的构建

1.两物体初始由不同位置出发相向运动构建相向运动轨迹模型

运动量关系：两物体位移绝对值之和等于初始时刻两物体的距离（s0=s1+s2）.

2.两物体初始由同一位置同向运动构建同向运动-同时同地模型

运动量关系：相遇时两物体运动的位移相同，运动时间相同（s1=s2，t1=t2）.

运动量关系：末时刻两物体的间距等于运动位移之差，运动时间相同（Δs=s2-s1，t1=t2）.

3.两物体初始由不同位置出发同向运动构建同向运动-同时不同地模型

运动量关系：相遇时两物体运动的位移绝对值之差等于初始时刻两物体的距离，运动时间相同（s0=s1-s2，t1=t2）.

4.兩物体由同一位置不同时刻出发同向运动构建同向运动-同地不同时模型

运动量关系：相遇时两物体运动的位移相同，两物体运动的时间之差等于两物体先后运动的时间间隔（s1=s2，t0=t2-t1）.

5.两物体由不同位置不同时刻出发同向运动构建同向运动-不同时且不同地模型

运动量关系：相遇时两物体运动的位移绝对值之差等于初始时刻两物体的距离，两物体运动的时间之差等于两物体先后运动的时间间隔（s0=s1-s2，t1=t2±t0）.

二、问题模型的构建

问题模型1：涉及相遇时的物理量分析

解题策略：①画出物体运动的轨迹模型，找出物体运动的位移关系和时间关系；②分析运动的规律，选择适当的运动学公式利用位移关系和时间关系求解.

问题模型2：涉及相距最近（远）的物理量分析

解题策略：函数法、图象法[2]、结论法

①根据末速度相等求物体运动的时间；②求出相应时间内物体运动的位移；③由物体运动的轨迹关系求出两物体的最近（远）的距离.

问题模型3：涉及物体运动最大速度的物理量分析

解题策略（假设法）：①假设在相遇前，物体先做匀加速后匀速直线运动；②由物体运动的轨迹关系找出两物体运动的位移关系和时间关系；③分析物体运动的规律，选择适当的运动学公式求解，由是否有解判断假设是否成立，物体的速度是否在相遇前已达最大值.

问题模型4：涉及前物做不可逆匀减速直线运动的物理量分析

解题策略（假设法）：①假设前物末速度为零，求出减速至零所需的时间；②计算前物减速至零时，两物体运动的位移；③画出物体运动的轨迹，由末时刻物体所处的位置判断前物减速零时，后物是否已和前物相遇.

问题模型5：涉及恰好不相撞问题的物理量分析

问题特征：恰好不相撞问题应满足两个关系[3]：（1）末时刻两物体相遇；（2）末时刻两物体速度相等.

解题策略：①利用末速度相等求物体运动的时间；②计算相应时间内两物体运动的位移；③由运动的轨迹关系求出临界状态下的待求量.

三、例题赏析

例1如图7所示，水平地面上A、B两点相距x0=8m，甲球从B点以v=2m/s的速度向右做匀速运动的同时，乙球从A点由静止开始以a=2m/s2的加速度向右做匀加速运动.下列说法正确的是（）

A.乙球相对甲球一直做匀加速直线运动

B.乙球在追上甲球之前它们相距的最远距离为8m

C.乙球追上甲球用时4s

D.乙球追上甲球时的速度大小为4m/s

解析当乙球速度等于甲球速度时，乙球相对甲球静止，A错误；由问题模型2，设经时间t两球速度相等，则有v=at，得t=1s；甲球位移x甲=vt=2×1=2m，乙球位移x乙=12at2=12×2×1=1m，得两球相距的最远距离Δx=x甲+x0-x乙=2+8-1=9m，B错误；设经时间t乙球追上甲球，由轨迹模型-同时不同地模型，有x0=12at2-vt，代入数据得t=4s，C正确；乙球追上甲球时乙球的速度v乙=at=2×4=8m/s，D错误.故正确答案为C.

点评本题涉及轨迹模型（同向运动-同时不同地模型），利用结论法分析两者相距最远的条件，求出时间.由轨迹模型找出乙球追上甲球时乙与甲的位移之差等于0.8m，由位移公式列式求出时间，由速度时间关系式求出乙球追上甲球时的速度.

例2甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为10m/s.当两车快要到一十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车（反应时间忽略不计），乙车司机为避免与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢（反应时间为05s）.已知甲车紧急刹车时加速度大小为4m/s2，乙车紧急刹车时加速度大小为5m/s2，求：

（1）若甲车司机看到黄灯时车头距警戒线15m，他采取上述措施能否避免闯红灯？

（2）为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中应保持多大距离？

解析（1）甲车紧急刹车停下所需时间：t1=v0a1=104s=25s，甲车滑行距离：x=v202a1=1022×4=125m，由于x=125m<15m，所以甲车能避免闯红灯.endprint

（2）本题涉及恰好不相撞问题，临界条件下甲、乙两车运动应满足以下关系：①末时刻两车相遇；②末时刻两车速度相等.设甲、乙两车行驶过程中至少应保持距离x0，在乙车刹车t2时间两车速度相等，有v0-a1（t0+t2）=v0-a2t2，得t2=2s，乙车运动的位移：x乙=v0t0+v0t2-12a2t22=15m，甲车运动的位移：x甲=v0t0+t2-12a1t0+t22=125m，由题设条件可知两车轨迹模型为同向运动-同时不同地模型，故x0=x乙-x甲=15-12.5=25m.

点评判断两车能否相撞，即判断两车在速度相等时是否撞上，因为速度相等前，乙车的速度大于甲车的速度，它们间距离在减小，速度相等后，乙车的速度小于甲车的速度，所以相撞只能在速度相等之前撞，不能根据两者停下来后比较两者的位移去判断.相应的解题思路为：先利用末速度相等求出两物体运动的时间；再求出在该时间内两物体运动的位移；然后根据轨迹模型画出物体运动的轨迹，利用轨迹图求出临界状态下的待求量.

例3甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动.甲车经过乙车旁边时开始以05m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：

（1）乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；

（2）乙车追上甲车所用的时间；

（3）若乙车的速度为6m/s，求乙车追上甲车所用的时间.

解析（1）当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设减速过程经过的时间为t，则v乙=v甲-at，解得t=12s；

此时甲、乙间距离为：Δx=v甲t-12at2-v乙t=10×12-12×05×122-4×12=36m

（2）设甲车减速到零所需时间为t1 ，则有：t1=v甲a=100.5=20s；在t1时间内，甲车位移：x甲=v甲2t1=102×20=100m；在t1时间内，乙车位移：x乙=v乙t1=4×20=80m，由于x乙

（3）在甲车停下的时间内，乙车的位移x乙=v乙t1=6×20=120m，由于x乙>x甲，可知乙车追上甲车时，甲车还没有停下.

设乙车追上甲車需要t0时间，在此过程中有：甲车位移x甲0=v甲t0-12at20，乙的位移x乙0=v乙t0，依题意x甲0=x乙0，联立以上各式解得t0=16s或t0=0（舍），故可知乙车追上甲车需要16s.

点评当两车速度相等时，两车间的距离最大，利用结论法根据速度相等条件求出时间，分别求出两车的位移，两者之差即为两物体间的距离；两车相遇时位移相同，由题设甲车做不可逆的匀减速直线运动，注意减速运动的实际运动情景是速度最小为零，列位移方程求解.

综上所述，通过物理模型构建的方法实施解题的优点在于：①轨迹模型的构建抓住了相遇和追及问题的轨迹特点，使得在分析不同表象的题目时，能有清晰的轨迹情境，从而简化了题目信息；②问题模型的构建挖掘了模型中可能存在隐含知识，抓住了问题的本质，提高了解题的应变能力；③两类模型的构建完善了题型的知识体系，活化了知识结构，实现了联想思维的有效迁移.

参考文献：

[1]许文.追及问题的分类解析[J].中学生数理化，2015（09）：29.

[2]滕祖伟.追及问题的深度探究[J].中学物理，2014（01）：73-74.

[3]张生文.追及问题题型的整合[J].理科考试研究，2015（06）：55.

[4]刘玲.例析追击和相遇问题的解题思想和方法[J].中学物理，2013，31（23）：66-68.