电磁感应中的导棒运动模型归类分析

古焕标

摘要：导棒运动模型是电磁感应问题命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情境变化空间大，是高考复习中的难点.导棒运动模型可分为单杆、双杆模型；导轨放置方式又分为水平、倾斜和竖直，所以受命题者青睐.

关键词：电磁感应；导棒运动；归类分析

1考纲要求与命题特点

导棒运动模型是高中物理电磁学中的典型模型，常涉及动力学、功能关系、动量的观点和电磁学等问题，可综合多个高中物理的主干知识（如牛顿运动定律、功能关系等）.此类问题在《考试大纲》中作为电磁感应的综合问题，是高中物理的重点内容之一，同时也是高考命题的重点、热点内容；从高考的命题形式看，此类问题既有单独考查的选择题，也有综合考查的计算题，且综合命题的频率高，难度大.

2導棒运动模型的分类与解题思路

对于电磁感应中的导棒运动模型，可分为单杆、双杆模型，每一种模型按导棒运动的轨道平面来分类，又可分为水平轨道面、倾斜轨道面、竖直轨道面的导棒运动.我们可以从导棒在不同的运动轨道平面入手分析导棒的受力和运动情况，建立导棒运动的物理模型，运用动力学知识、功能关系、动量观点和电磁学等知识来综合解题.求解导棒问题的一般思路如图1所示.

3导棒运动模型的实例分析

31水平轨道面的导棒运动

例1如图2所示，在水平面内固定着U形光滑金属导轨，轨道间距为50cm，金属导体棒ab质量为01kg，电阻为02Ω，横放在导轨上，电阻R的阻值是08Ω（导轨其余部分电阻不计）.现加上竖直向下的磁感应强度为02T的匀强磁场.用水平向右的恒力F=01N拉动ab，使其从静止开始运动，则

A.导体棒ab开始运动后，电阻R中的电流方向是从P流向M

B.导体棒ab运动的最大速度为10m/s

C.导体棒ab开始运动后，a、b两点的电势差逐渐增加到1V后保持不变

D.导体棒ab开始运动后任一时刻，F的功率总等于导体棒ab和电阻R的发热功率之和

解析由右手定则可判断电阻R中的感应电流方向是从M流向P，A错；当金属导体棒受力平衡时，其速度将达到最大值，由F=BIL，I=EmR总=BLvmR总可得F=B2L2vmR总，代入数据解得vm=10m/s，B对；感应电动势的最大值Em=1V，a、b两点的电势差为路端电压，最大值小于1V，C错；在达到最大速度以前，F所做的功一部分转化为内能，另一部分转化为导体棒的动能，D错.

例2如图3所示，两根相距为d=020m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=020T.导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路.每条金属细杆的电阻r=025Ω.回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下沿导轨朝相反的方向匀速平移，速度大小都是v=50m/s，不计导轨的摩擦.

（1）求作用于每条细杆的拉力的大小；

（2）求两金属细杆在间距增加040m的滑动过程中共产生的热量.

解析（1）无论磁场方向是竖直向上还是竖直向下，当两金属细杆都以速度v朝相反方向滑动时，两金属细杆产生大小相同方向一致的感应电动势.

E1=E2=Bdv

由闭合电路欧姆定律，回路中的电流

I=E1+E22r

因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力大小为F1=F2=BdI

解得：F1=F2=B2d2vr=32×10-2N.

（2）设金属杆之间增加的距离为ΔL，则两金属杆共产生的热量Q=I2·2r·ΔL2v，

代入数据得Q=128×10-2J.

32倾斜轨道面的导棒运动

例3如图4所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，两导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻.一根质量为m的均匀直导体棒ab放在两导轨上，并与导轨垂直.整套装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，导轨和导体棒的电阻可忽略.让导体棒沿导轨由静止开始下滑，导轨和导体棒接触良好，不计它们之间的摩擦.重力加速度为g.下列选项正确的是

A.导体棒下滑时的最大加速度为gsinθ

B.导体棒匀速运动时所受的安培力为mgsinθ

C.导体棒匀速运动时产生的电动势为mgtanθBLR

D.导体棒匀速运动时的速度为mgRsinθB2L2cos2θ

解析导体棒刚开始下滑时所受合外力最大，为mgsinθ，所以产生的加速度最大，为gsinθ，A正确；当导体棒匀速运动时，由受力分析知，安培力F=mgtanθ，所以B错误；由F=BIL得I=FBL=mgtanθBL，所以电动势E=IR=mgtanθBLR，C正确；由E=BLvcosθ，得v=mgRsinθB2L2cos2θ，所以D正确.

例4如图5所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ=30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L=04m.导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B=05T.在区域Ⅰ中，将质量m1=01kg，电阻R1=01Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑.然后，在区域Ⅱ中将质量m2=04kg，电阻R2=01Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑.cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g=10m/s2，问：

（1） cd下滑的过程中，ab中的电流方向；

（2） ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；endprint

（3）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x=38m，此过程中ab上产生的热量Q是多少.

解析（1）根据右手定则判知cd中电流方向由d流向c，故ab中电流方向由a流向b.

（2）开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大摩擦力，设其为Fmax，有Fmax=m1gsinθ

设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有

E=BLv

设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有

I=ER1+R2

设ab所受安培力为F安，有

F安=BIL

此时ab受到的最大摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F安=m1gsinθ+Fmax解得：v=5m/s.

（3）设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒定律，有

m2gxsinθ=Q总+12m2v2

由串联电路规律有

Q=R1R1+R2Q总

联立解得：Q=13J.

33竖直轨道面的导棒运动

例5如图6所示，竖直平面内有一足够长的宽度为L的金属导轨，质量为m的金属导体棒ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，且导体棒ab与金属导轨接触良好，ab电阻为R，其他电阻不计.导体棒ab由静止开始下落，过一段时间后闭合开关S，发现导体棒ab仍然做变速运动，则在以后导体棒ab的运动过程中，下列说法中正确的是

A.导体棒ab做变速运动期间加速度一定减小

B.单位时间内克服安培力做的功全部转化为电能，电能又转化为内能

C.导体棒减少的机械能转化为闭合电路中的电能和电热之和，符合能的转化和守恒定律

D.导体棒ab最后做匀速运动时，速度大小为v=mgRB2L2

解析导体棒由静止下落，在竖直向下的重力作用下做加速运动.开关闭合时，由右手定则判定，导体中产生的电流方向为逆时针方向，再由左手定则，可判定导体棒受到的安培力方向向上，F=BIL=BBLvRL，导体棒受到的重力和安培力的合力变小，加速度变小，物体做加速度越来越小的运动，A正确；最后合力为零，加速度为零，做匀速运动，由F-mg=0得，BBLvRL=mg，v=mgRB2L2，D正确；导体棒克服安培力做功，减少的机械能转化为电能，由于电流的热效应，电能又转化为内能，B正确.

例6相距L=15m、足够长的金属导轨竖直放置，质量m1=1kg的金属棒ab和质量m2=027kg的金属棒cd，均通过自身两端的套环水平地套在金属导轨上，如图7甲所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场的磁感应强度大小相同.ab棒光滑，cd棒与导轨间的动摩擦因数μ=075，两棒总电阻为18Ω ，导轨电阻不计.ab棒在方向竖直向上、大小按图7乙所示规律变化的外力F作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放.（g取10m/s2）

（1）求ab棒加速度的大小和磁感应强度B的大小；

（2）已知在2s内外力F做了268J的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；

（3）求出cd棒达到最大速度所需的时间t0，并在图7丙中定性画出cd棒所受摩擦力fcd随时间变化的图线.

解析（1）对ab，由牛顿第二定律得

F-m1g-FA=m1a

其中FA=BIL=BBLvRL=B2L2atR

所以F=m1g+m1a+B2L2atR由图7乙的截距可知，

m1g+m1a=11N，解得a=1m/s2

由图7乙的斜率可知：

B2L2aR=146-112-0，解得B=12T.

（2）v=at=2m/s

h=12at2=2m

对ab棒有WF+WG1+WA

=12m1v2-0，

代入数据，解得WA=-48J，Q热=-WA=48J.

（3） cd棒达到最大速度时，

m2g=fcd，fcd=μN=μFA=μB2L2at0R，

m2g=μB2L2at0R，解得t0=2s.

cd棒所受摩擦力fcd随时间变化的图线如图8所示.

参考文献：

[1]刘树田电磁感应导轨类问题解题思路的优化[J].物理教学，2014（1）：48-51.

[2]王珍惠《电磁感应》2011高考試题分类赏析[J].中学物理，2011，29（11）：31-33.endprint