电磁波在无耗分层介质中反射特性研究

韦德泉，马壮壮

(1.枣庄学院 光电工程学院，山东 枣庄 277160；2. 山东省光电信息功能与显示重点实验室，山东 枣庄 277160；3.枣庄市光电信息功能材料与微纳器件重点实验室，山东 枣庄 277160；4.郑州大学 物理工程学院材料物理实验室，河南 郑州 450052)

0 引言

电磁波遇到不同煤质的分界面时将会产生反射与透射现象，对于多层介质分界面处的反射和透射的研究更为复杂.近年来电磁传输器件的制作是通过微加工工艺技术将多种材料结合在一起，当电磁波在这种器件中传输时，研究和解决电磁波在分层介质处的反射与透射机制显得尤为重要.

近年来，对于电磁波传播特性问题的研究取得了重大的进步.郑强，杨日杰应用电磁场与电磁波的传播特性所满足MAXWELL方程组，计算和理论分析了电磁波在海水中传播时的参数及特征，分析了在海水中电磁波的传播特性，为在海水中勘测、导航、通讯等工作提供了依据[1].李莉，滕宝华，雷雨运用MAXWELL方程组研究了电磁波在缺陷的材料中的传播特性，计算了电磁波在缺陷的材料中传播时电场强度的分布[2].王飞，魏兵由相位匹配条件，边界条件得出了分层介质中斜入射平面电磁波的传播矩阵，该传播矩阵可用于解析不同入射角下分层介质的反射和透射系数[3].尹忆寒，孙国栋等采用有限差分法原理，利用FDTD对二维电磁波在空间的传播进行模拟，模拟的图像可以直观的观察电磁波在空间的传播规律[4].许志影，李晋平等人利用MATLAB 及其在图像处理电磁场与电磁波理论中取得较大的进展[5].郑宏兴，葛德彪等用广义传播矩阵法(General Propagation Matrix GPM)分析了分层介质材料对电磁波的反射与透射的传播特性[6].

近几十年来，随着通讯、勘探技术等方面的发展，各向同性介质中的传播特性的电磁问题受了广泛的关注.C. M. Rappaport和B. J. Mccartin 用频域有限差分法Finite-Difference Frequency-Domain method FDFD计算了二维横同性介质柱的电磁散射.Mei等人采用有限差分方法(FD)结合不变性测试方程的方法研究了非均匀有耗介质情况的散射问题[7].Knott,ShenXinqing等人利用时域有限差分法将场域划分为有限个网格单元，把麦克斯韦方程式在时间和空间上进行差分化，用有限差分式替代方程式中的微分式，然后再用一个个网格离散节点的数值解来逼近连续场的真实解[8].F. Olyslager 给出了时谐场情形下二维单轴分层介质并矢格林函数的解析表达式同时给出了三维单轴分层介质并矢格林函数的解析表达式[9].R. D. Graglia 和 P. L. E. Uslenghi,给出了用边界积分方程法处理二维任意截面分层介质柱体电磁散射的基本理论和数值结果[10].

在研究平面电磁波或者电磁场领域中，人们通过对研究对象建立模型,用MATLAB程序实现对系统的运行过程和得到运算结果，找出最佳的运行方案，然后再进行模拟仿真[11]，观察其图像体现出的物理意义，方便学习和分析电磁场和电磁波理论数值计算.MATLAB仿真技术作为仿真实验手段己经成为计算机应用的一个重要的分支[12].它是继理论数学推导分析和物理实验分析之后,认识电磁场和电磁波分布规律的一种新型方法.计算机MATLAB仿真过程是以仿真程序的运行来实现的[13].MATLAB仿真程序运行时，首先要对描述电磁场和电磁波特性的模型设置某些参数值，并让模型中的某些变量在某些特定的范围内发生变化，通过理论数学推导计算可以求出这些变量在不断变化的过程的数值，再结合MATLAB模拟仿真其图像.MATLAB程序在运行过程中具有以下多种优点:

(l)高效的数值计算及符号计算功能，能使学者从繁琐的数学理论推导运算分析中解脱出来的优点；

(2)具有良好的图像处理功能,实现计算过程和编程的可视化，同时具有观察方便，过程可以控制等优点；

(3)可视化的用户界面及接近理论数学公式表达式的自然化语言，能够使学者轻松学习和掌握等优点；

(4)功能强大的应用处理工具箱(如物理模型仿真工具箱、图像处理工具箱等)，能够方便使用，大大提高了运算效率和可视化分析等优点[14].

因此在研究电磁波传播规律理论计算过程中，MATLAB的公式编程计算已经成为不可或缺的手段.MATLAB编程实现动态电磁场运动规律的仿真，可以加深对抽象电磁场运动规律和电磁波传播规律的理解[15].同时，MATLAB拥有大量简单、灵活、易用的二维、三维图形函数以及丰富的图形表现能力，其突出的特点就是通过计算机所作的图形来说明物理规律，许多问题的细节都能用图形展现出来[16].图形种类有曲线和曲线族、曲面、图像以及动画的截图，有了这些功能特点就能更加生动的描绘图像，在图片中所表达的物理意义就会一目了然.同时其强大的数值计算功能可灵活计算复杂的解析解，为研究在电磁场运动规律或电磁波传播、导行、散射等方面的特性理论计算过程中提供专业图形的绘制带来了极大的方便.

1 理论计算

1.1 时谐平面波方程及解

由时谐场的WAXWELL方程出发得到电磁场的波动方程，可以求解波动方程的解，然后讨论TE和TM波的反射和投射特性.无源谐场WAXWELL方程[17，18]如下：

(1)

得到波动方程为

(2)

它的平面波的解为：

(3)

由波矢量及算子对应关系得到如下波矢量与均匀介质本构参数之间色散关系

k2=ω2με

(4)

1.2 无耗介质的平面波特性

无耗介质中的平面波，由WAXELL方程得

(5)

(6)

(7)

代入式(3)可得：

(8)

(9)

1.3 Snell定律

平面电磁波传播遇到界面时将产生反射和透射，在两种介质的分界面上入射波z=0从某介质入射，在此介质中有入射波1反射波，在介质2中有透射波.由相位匹配条件[20，21]

kix=krx=ktx=kx

kiy=kry=kty=ky

(10)

介质中的波数可以写为：

(11)

kix=k1sinθi=krx=k1sinθr=k2sinθt

(12)

便可以得出Snell定律.

1.4 TE波反射投射特性

TE波的反射和透射在电磁场中有：

Ey=E0exp-ik0zz+RE0expik0zzexpikxx

(13)

式中R为反射系数，区域t中的电磁场为：

Ety=TE0exp-iktzzexpikxx

(14)

式中，T为透射系数，根据相位匹配条件，入射波、反射波和透射波波矢量的x分量相等，即有k0x=ktx=kx，介质色散关系为：

(15)

设界面为z=0，根据E和H切向分量连续的边界条件可得：

1+R=T

(17)

式中，

(18)

代表TE波情形的系数.

1.5 TM波反射投射特性

对于TM波，区域0和区域t中电磁场为：

Hy=H0exp-ik0zz+RH0expik0zzexpikxx，z>0

(19)

同样，利用边界条件或者对偶性关系可得出：

(20)

(21)

根据相位匹配条件，各层中波矢量的x分量都相同，均为kx，在透射波区域t=n+1中只有透射波，即At=0，

Ety=Btexp(-iktzz)exp(ikxx)

(22)

透射系数定义为：

(23)

对于TM波，由对偶原理可得出：

(24)

2 模拟仿真

2.1 计算TE模分层介质的反射系数

图1 300入射时TE模反射系数 图2 450入射时TE模反射系数

用MATLAB编程计算分层介质的反射系数，设所有介质均为非磁性无耗介质，介电常数分别为εrh=4，εrl=1 介质板厚度为1cm，板间距为1cm，MATLAB计算得到入射角为300时TE模分层介质周期结构的反射系数如图1所示.可见，该周期结构介质板的中心频率为5250MHz，差值频率为2500MHz，且该周期结构介质板能够在4000MHz-6500MHz反射系数接近于1，因而该段的电磁波不能通过此周期结构.当入射角为450时TE模分层介质周期结构的反射系数如图2所示.可见，该周期结构介质板的中心频率为5550MHz，差值频率为2700MHz，且周期结构介质板能够在4200MHz-6900MHz使反射系数接近于1，因而该段的电磁波不能通过此周期结构.

当入射角为600时TE模分层介质周期结构的反射系数如图3所示.可见，周期结构介质板的中心频率为6000MHz，差值频率为3200MHz，且周期结构介质板能够在4400MHz-7600MHz使反射系数接近于1，因而该段的电磁波不能通过此周期结构.当入射角为900时TE模分层介质周期结构的反射系数如图4所示显示出现多个频段反射系数接近1.

图3 600入射时TE模反射系数 图4 900入射时TE模反射系数

入射角频率范围(MHz)差值频率(MHz)中心频率(MHz)3004000-6500250052504504200-6900270055506004400-760032006000900多频段多个多个

从表1可知入射角从300，450，600变化到900时，半空间分层介质表面的频率范围依次右移，差值频率依次增大，中心频率依次增大，表明随入射角增大电磁波反射系数接近于1的范围也增大，即不能通过周期结构的范围也增大.

2.2 计算TM模分层介质的反射系数

用MATLAB编程计算分层介质的反射系数，设所有介质均为非磁性无耗介质，介电常数分别为εrh=4，εrl=1 介质板厚度为1cm，板间距为1cm.MATLAB计算得到入射角为300时TM模分层介质周期结构的反射系数如图5所示.可见，周期结构介质板的中心频率为5300MHz，差值频率为1800MHz，且周期结构介质板能够在4400MHz-6200MHz使反射系数接近于1，因而该段的电磁波不能通过此周期结构.当入射角为450时TM模分层介质周期结构的反射系数如图6所示.可见，周期结构介质板的中心频率为5700MHz，差值频率为2800MHz，且周期结构介质板能够在4300MHz-7100MHz使反射系数接近于1，因而该段的电磁波不能通过此周期结构.

图5 300入射时TM模反射系数 图6 450入射时TM模反射系数

当入射角为600时TM模分层介质周期结构的反射系数如图7所示.可见，周期结构介质板的中心频率为5850MHz，差值频率为2900MHz，且周期结构介质板能够在4400MHz-7300MHz使反射系数接近于1，因而该段的电磁波不能通过此周期结构.当输入入射角为900时TM模分层介质周期结构的反射系数如图8所示所示显示出现多个频段反射系数接近1.

图7 600入射时TM模反射系数 图8 900入射时TM模反射系数

入射角频率范围(MHz)差值频率(MHz)中心频率(MHz)3004400-6200180053004504300-7100280057006004400-730029005850900多频段多个多个

从表2可知入射角从300，450，600变化到900时，半空间分层介质表面的频率范围依次右移，差值频率依次增大，中心频率依次增大，表明随入射角增大电磁波反射系数接近于1的范围也增大，即不能通过周期结构的范围也增大.入射角为900时，出现多个频段反射系数接近1.

3 结论

用MATLAB数值模拟不同角度下TE、TM波分层介质板的反射系数.得出入射角从300，450，600变化到900时，半空间分层介质表面的频率范围依次右移，差值频率依次增大，中心频率依次增大，表明随入射角增大电磁波反射系数接近于1的范围也增大，即不能通过周期结构的范围也增大.入射角为900时，出现多个频段反射系数接近1.研究结论为电磁波在分层介质中的传输提供理论参考.

[1]郑强,杨日杰.电磁波在海水中的传播特性研究[J].电声技术,2013, 5(2):39-42.

[2]李莉,滕宝华,雷雨.电磁波在有缺陷介质中的传播特性[J].物理与工程,2013, 6(1):65-63.

[3]王飞,魏兵.分层有耗手征介质中斜入射电磁波的传播矩阵[J].物理学报,2017,8 (6):65-63.

[4]尹忆寒,孙国栋,易江.基于时域有限差分法的二维电磁波数值模拟[J].能源技术与管理,2017,7(8):29-35.

[5]许志影,李晋平.MATLAB及其在图像处理中的应用[J].计算机与现代化,2014,9(11):1-5.

[6]郑宏兴,葛德彪.广义传播矩阵法分析分层介质材料对电磁波的反射与透射[J].物理学报,2015,9(11):1-5.

[7]K. K. Mei. Prouty. Measured equation of invariance:A new concept in field computations[J].IEEE Transaction on Antennas and Propagation,2015,9(11):320-328.

[8]Knott,ShenXinqing.FDTD Computation of Scattering by Buried Objects[J].Journal of beijing Institute of Technology,2007,16(3):330-336.

[9]Frank Olyslager.Time-harmonic two-and three-dimensional Green’s dyanics for general uniaxial bianisotropic media[J].IEEE Transcation on Antennas And Propagation,2015,8(11):403-410.

[10]R. D. Graglia and P. L. E.Uslenghi.Electromagnetic scattering form anisotropic materials,PartII:Computer and numerical results in two dimensions[J].IEEE Transactions and Propagation, 2014,4(10):225-232.

[11]刘扬.MATLAB语言对物理实验数据进行处理[J].物理与工程,2013,3(11):35-36．

[12]张尤赛,黄炜嘉.信号与系统 MATLAB试验仿真教学系统设计[J].现代电子技术,2010,3(18):57-59.

[13]王洁丽,贾素梅,薛芳. MATLAB软件在信号与系统辅助教学中的应用[J].现代电子技术,20013,30(6):123-125.

[14]沙踪.电波传播研究及其应用展望[J].电波科学学报,2014,19(10):1-5.

[15]毕升,叶红军.基于MATLAB的静电场模拟[J].大学物理实验,2013,11(5):4-5.

[16]郭杰荣,蔡新华,胡惟文.基于MATLAB的空间电磁分布可视化研究[J].实验技术与管理, 2015,6(8):64-67.