滚珠丝杠式电动舵机系统非线性特性分析

胡江涛，曹云峰

(南京航空航天大学 航天学院，南京 210016)

0 引言

机电伺服作动系统(electromechanical actuator，EMA)是航空航天、军事、交通和工农业机械设备中一类位置伺服控制系统的总称，通过控制电动机运行直接或间接地控制负载的运动，实现控制对象的位置控制。

目前，全电飞机(all electric aircraft, AEA)在欧美各国都有相关研究，并且已经进入实际试飞试验阶段，而国内也有相关研究，但没有足够的工程设计和相关试验。EMA代替液压功率系统作为飞控系统作动器是全电飞机技术发展的核心内容，国内在无人机、导弹[1-2]等领域已经有了一定的研究成果。

电动舵机作为飞控系统的重要执行机构，其静动态性能直接决定着飞行器的飞行品质，而舵机中非线性因素的存在容易引起舵机静动态性能的下降，甚至造成系统不稳定，因此对电动舵机的非线性因素进行建模分析是实现快速、高精度控制要求的重要前提。总结现有研究基础可知，电动舵机的非线性因素主要包括间隙、摩擦、刚度和饱和等，主要存在于EMA的机械传动链中，但目前用于控制器研究的电动舵机模型对非线性的考虑未充分结合EMA系统的结构特点。EMA的机械传动链主要有3种：(齿轮副)-涡轮-蜗杆、齿轮-齿条、齿轮副-丝杠，其中循环滚珠丝杠是目前EMA中应用最广泛的形式，具有效率高、不存在反向自锁等特点。美国NASA在EPAD(electrically powered actuation design)项目中，在F/A-18B系统试验机(systems research aircraft, SRA)上正是用滚珠丝杠式EMA代替了左副翼的液压作动器，与右副翼标准液压作动器进行了全面的对比研究，得到结果表明两者性能十分接近。因此本文针对滚珠丝杠式电动舵机的非线性特性，提出了一种更加完善电动舵机建模方法，适用于其他伺服系统，在机电伺服控制系统研究中具有一定的工程应用价值。

1 非线性环节及模型

1.1 间隙环节及刚度

间隙[3]非线性来源于电动舵机的机械传动部分，是由于零部件的加工、装配误差和磨损等造成的非线性位置误差，发生在旋转运动或者直线运动的部件之间[4]。间隙的存在不仅会使舵机零部件之间的输入与输出产生偏差，而且系统性能会因为冲击的存在变得不稳定，降低系统的动态性能和稳态精度。随着控制要求的提高和间隙非线性研究的深入，间隙模型经历不断的完善，本文采用的是间隙的死区模型[5]，间隙的简化示意图和死区模型的数学描述如下：

图1 间隙示意图

(1)

此模型中k是刚度系数，c是阻尼系数。因此间隙的死区模型不仅意味着电动舵机的间隙非线性，而且考虑了传动机构的轴向刚度或者扭转刚度。舵机传动机构中的柔性体在舵机高速运转中产生弹性形变，引起振动[6]，而且会造成稳态误差。因此死区模型在描述间隙非线性的同时，考虑了系统刚度及阻尼的影响，更符合实际。

死区模型[7]描述的间隙非线性不同于简单的输入与输出的位移关系，其输入是相对位移，输出是力矩，即死区模型通过驱动与从动之间的传递力矩描述了间隙非线性。

1.2 摩擦环节

模型非线性因素中，摩擦[8-9]产生于舵机零部件之间的相对运动和相对运动趋势，严重影响了舵机伺服系统的控制精度，限制了控制系统的带宽。摩擦对控制精度影响的主要表现是在低速运行时，容易造成“爬行”和波形失真现象，并增大了系统的静态误差，甚至引起极限环振荡[10]。

图2 接触面间的刚毛

为了消除摩擦对舵机控制性能的影响，对摩擦非线性环节的研究至关重要。目前，动态摩擦模型中的LuGre模型在摩擦补偿研究中得到了广泛的应用，因为相比其他摩擦模型，LuGre模型更为完善，更全面得描述了摩擦的运动机理和非线性特性[11]。LuGre模型[12]原理是将接触面看成大量弹性鬃毛的接触，其数学表达式如下，参数见表1。

(2)

(3)

g(ω) =TC+ (TS-TC)e-(ω/ωs )2

(4)

表1 空载下不同间隙系统性能对比

1.3 非线性研究方案

间隙、摩擦非线性主要存在于电动舵机传动部分的结合处，本文提出的非线性研究方案如表2所示，并将其作为电动舵机建模的依据。

表2 非线性研究方案

因此，在进行建模时分别在齿轮副和滚珠丝杠副中加入摩擦环节和间隙环节，分别研究间隙、摩擦非线性对电动舵机控制系统性能的影响。

2 电动舵机系统

本文研究的电动舵机系统[13]可以简单分为以下几个部分：

1)伺服驱动器；

2)永磁无刷直流电机；

3)机械传动链(齿轮副和滚珠丝杠副)；

4)舵面负载(拨叉、舵叶和铰链负载)；

5)传感器(电位计和增量式光电编码器)。

图3是一个典型的电动舵机示意图，电动舵机的工作原理是飞控计算机发出一个指令信号驱动伺服电机转动，后经过齿轮副、滚珠丝杠副和拨叉减速后带动舵面偏转。本节将整个电动舵机系统分为以上5个部分，逐个研究并建立相应的框图模型。

图3 电动舵机原理图

2.1 伺服驱动器

电动舵机系统的伺服驱动器由控制器和功率放大器组成，其输入是舵轴的的偏转角度θ；输出是驱动电机转动的电压值Vc，且放大器Ku存在饱和电压Vsat。

飞行器舵面控制中，最常见的控制策略是比例-微分(PD)控制和速度反馈控制[14]。PD控制与速度反馈相比抗干扰能力有所不足，微分器对高频噪声有放大作用，而速度反馈信号噪声成分很弱，因此本文研究采用速度反馈控制Gc，其位置反馈信号θ′来自与舵轴同轴相连的电位计，而速度反馈信号来自电机，并不是飞行器舵面，即编码器与电机轴相连，测量的是电机轴的角速度。

假设从电机轴到舵轴的传动比为N，那么可通过电机轴的角速度ωm得到舵轴的理想角速度ω：

(5)

按传动比进行缩放后，角速度信息作为反馈输入控制器得到闭环传递函数如下：

(6)

其中:Vc为伺服驱动器的输出电压，即电机的输入电压，其余参数见表3。考虑放大器的饱和情况，得到电动舵机系统控制部分的框图模型。

图4 伺服驱动器框图模型

2.2 电机

无刷直流电机的电枢回路特性可以用如下一阶传递函数表

表3 电动舵机参数表

示，参数见表2，

Ic=Ge(Vc-Ceωm)

(7)

其中:

(8)

τe和1/R分别是电机的电气时间常数和开环增益，Ic为电枢电流。

电机的力矩平衡方程为:

T=CmIc

(9)

(10)

图5 电机框图模型

从图5中可以看出，直流无刷电机机械部分的传递函数为：

(11)

忽略限幅和摩擦，整个无刷直流电机的输入Vc输出ωm的关系可用以下方程表示:

(12)

2.3 机械传动链

电动舵机的机械部分包括电机转子、机械传动链和舵叶，而本节选取由齿轮副、滚珠丝杠副和拨叉构成的机械传动链作为建模对象，电机转子输出轴与齿轮副相连，经过齿轮副减速后带动滚珠丝杠转动，再转换为螺母的直线运动，带动拨叉在拨叉口内往复运动，拨叉与舵轴固连，最终驱动舵面转动。

根据上文中提出的非线性研究方案，将电动舵机的机械传动链分为3个部分进行研究，其数学描述和框图模型如下：

2.3.1 齿轮副和滚珠丝杠(包含摩擦)

第一部由齿轮副和滚珠丝杠组成，其输入为电机轴的转角θm，输出为滚珠丝杠的角速度ω1。假设齿轮副的传动比为n1，齿轮副对电机轴的反作用力矩可表示为：

T1=k(θm-n1θ1)

(13)

其中:k为刚度系数。那么第一部分的力矩平衡方程如下：

(14)

(15)

考虑齿轮副的摩擦，将LuGre摩擦模型加入第一部分得到其模型框图[15]见图6。

图6 传动链第一部分模型框图

从图6中可以看出，将该部分转动惯量折算到电机轴得到J1，其传递函数为：

(16)

忽略摩擦，第一部分的输入θm输出ω1的关系可用以下方程表示：

(17)

2.3.2 螺母(包含间隙)

第二部分为滚珠丝杠副中的螺母，其输入为滚珠丝杠的转角θ1，输出为螺母的直线运动速度v。滚珠丝杠副的传动比n2与其导程s相关，可表示为：

(18)

第二部分的输入信号由滚珠丝杠的角位移θ1转换为螺母的直线位移命令：

(19)

添加间隙环节Gx，得到第二部分的力平衡方程如下：

F2=Gx(x-x′)

(20)

(21)

图7 传动链第二部分模型框图

从图7中可以看出，螺母的传递函数为：

(22)

忽略间隙，第二部分的输入θ1输出v的关系可用以下方程表示：

(23)

2.3.3 拨叉和舵叶

第三部分由拨叉和舵叶组成，其输入为螺母的直线运动距离x3，输出为舵轴的角位移θ′。拨叉到拨销的减速比为：

(24)

(25)

第三部分的力矩平衡方程为：

T3=k(θ3-θ′)

(26)

(27)

其中:θ′为螺母真实发生的位移，Tload为舵叶收到的铰链力矩，而第三部分对螺母的反作用力可表示为：

(28)

根据以上动力学方程，得到第三部分的框图模型如图8所示。

图8 传动链第三部分模型框图

从图8中可以看出，将该部分转动惯量折算到舵轴得到J3，其传递函数为：

(29)

第三部分的输入x3输出θ′的关系可用以下方程表示：

(30)

2.4 系统整体模型及参数选择

基于以上框图模型，最终得到滚珠丝杠式电动舵机的模型如图9所示。其中，总传动比：

(31)

参数见表2，单位均为基本标准单位。

图9 电动舵机整体框图模型

为了下节对比研究非线性因素对电动舵机控制性能的影响，本节首先对未加入间隙、摩擦环节的电动舵机系统进行仿真分析。模型中采用速度反馈控制，其比例控制系数Gc=600，速度反馈系数Kω=600。

空载时的阶跃响应曲线如图10所示，可以看出系统的上升时间为7ms，调节时间为15ms，无超调，稳态误差为零。

图10 阶跃信号下角位置跟踪曲线

3 实例仿真

3.1 间隙非线性

在Simulink中建立电动舵机模型，此仿真采用定步长ode3解算器，设置步长为1e～7s，并将间隙环节添加在传动链的滚珠丝杠副内，分别设定滚珠丝杠副中存在的轴向间隙为0mm、0.005mm、0.1mm、0.25mm，分析空载和负载下系统的响应。在空载下做正弦运动，不同间隙下舵机系统舵轴的角位移、角速度、接触力如图11～13所示。

图11 不同间隙时舵轴角位移 图12 不同间隙时舵轴角速度

图13 不同间隙时接触力

结合表1分别分析角位移、角速度和接触力的仿真结果，可以看出当输入的间隙值增大时，相比无间隙时响应曲线的偏差也随之增大，具体的表现有所不同。图11表明间隙的存在会使得位置跟踪曲线在峰值处发生畸变，且畸变的程度随着间隙的增大而增大。这种现象反映了驱动机构停转后，从动机构由于惯性和间隙的存在继续往前运动，出现“超出”现象，后与另一接触面碰撞接触，被推动开始朝反方向运动。图12表明间隙的存在会使得速度跟踪曲线在过零位置发生畸变，且畸变程度随着间隙的增大而增大。这种现象反映了从动机构与另一接触面发生碰撞，造成速度的剧烈波动，而不是按照正弦规律稳定持续变化；图13表明接触力曲线由正弦持续变化，随着间隙的增大变成了脉冲状，且接触力峰值随着间隙的增大而增大，并呈周期变化。

输入1°的阶跃信号，并设定间隙大小为0.18mm，折算到舵轴为0.1°。通过仿真可得到电动舵机受间隙影响的跟踪曲线如下图，系统输出达到BIBO稳定后按固定频率振荡，振荡幅值为0.1°，与输入间隙相等。这种现象具有普遍性，改变间隙大小获得相同结果，说明间隙对系统输出的影响主要与减速比相关，输出对传动链末端的间隙更加敏感。

图14 间隙时EMA系统阶跃响应

3.2 摩擦非线性

在Simulink中建立电动舵机模型，此仿真采用变步长ode15s解算器，并将摩擦环节添加在齿轮副。在实际应用中，为了反映LuGre模型中参数受温度、润滑、材料磨损的影响而引起摩擦力矩的变化。引入摩擦系数λ来反映摩擦力矩的变化趋势。在正常情况下，系统的摩擦扭矩是标准值。当LuGre模型中的参数发生变化时，摩擦力矩就会改变，这种变化通过λ来反映，此时的摩擦力矩可以表示为：

(32)

采用的标准摩擦扭矩参数如表4所示。

表4 LuGre摩擦模型参数

分别设定摩擦系数λ的值为0、1、2、4，输入幅值3°，5Hz的正弦信号，分析空载下系统响应。在空载下做正弦运动时，不同摩擦下舵机系统舵轴的角位移、角速度如图15～16所示。

图15 不同摩擦时舵轴角位移 图16 不同摩擦时舵轴角速度

摩擦系数/λ角位移角速度峰值/(°)延迟峰值/(rad/s)畸变02.9839无93.7569无12.9544延迟100.3842畸变22.9249延迟109.2502畸变42.8658延迟126.0784畸变

结合表5分别分析不同摩擦时角位移和角速度的仿真，可以看出随着输入摩擦扭矩的增大，仿真结果渐渐偏离λ=0时的响应曲线。图14表明间隙的存在会使得位置跟踪曲线在峰值处出现“平顶”现象，且在此处跟踪效果变差，滞后明显。图15速度跟踪曲线的过零位置发生畸变。上述现象都反映了相对运动在接近和远离位置峰值时，静摩擦和动摩擦发生交替，静摩擦作用阶段即为“平顶”阶段。

适当增大摩擦阻尼系数σ1=120，并输入斜率为0.04rad/s的斜坡信号，可得电动舵机受摩擦影响的低速运行特点如图17～18所示。

图17 摩擦扭矩作用下的低速 图18 摩擦下阶跃响应曲线 跟踪曲线图

输入1°的阶跃信号，按照电动舵机系统要求稳态误差小于±0.1°，通过多次仿真得到当摩擦系数λ=3.5时稳态误差达到临界值，并且摩擦延长了稳定系统的调节时间。

4 结论

1)舵机系统对滚珠丝杠副间隙的敏感程度与拨叉的减速比相关，对本研究对象而言，当间隙达到0.18mm时，系统阶跃响应稳态振动幅值达到0.1°，并且间隙的存在会引起接触力突变，这不仅加剧零部件损坏，还影响系统的稳定性。

2)LuGre摩擦模型能够完整地反映摩擦的实际特点，通过对齿轮副加入摩擦环节，分析得到摩擦非线性会引起伺服系统的低速爬行，并且当摩擦系数λ=3.5时，系统阶跃响应稳态误差为达到10%，并且造成了严重的相位滞后。综上所述，间隙和摩擦非线性在EMA控制系统研究中必须考虑，此模型对补偿间隙、摩擦等非线性的EMA系统控制器研究中具有一定价值。

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