《“杨辉三角”与二项式系数的性质》合作学习案例

李延龙

一、教学内容分析

本节是在学生学习了二项式定理的基础上，对二项式系数这组特定的组合数的性质进行研究。本节内容对学生认识组合数和组合数的应用计算有着重要的作用，也为后续的微分方程打下了基础。

二、设计思路

本节课设计是以学生合作小组学习为模式，学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究。通过恰时恰点的问题引入、引申，展开对“杨辉三角”和函数图象性质的认识，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想。

三、教学目标

从函数的角度探究二项式系数的性质，认识组合数并会计算应用。体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力。

四、教学重难点

结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质。

五、教学过程设计

1.课前探究展示

【活动】各小组代表发言，从不同角度展示对“杨辉三角”的认识、应用以及其包含的规律。

【设计意图】通过对“杨辉三角”的自学探究，弘扬我国古代数学文化，为二项式系数性质的学习做准备。

2.探究二项式系数性质

【活动】学生以小组为单位，展示找出的二项式系数与杨辉三角的关系。

【教师小结】（a+b）n展开式的二项式系数就是杨辉三角中的

第n行，其具有对称性、增减性与最大值。这一点和杨辉三角同行中的规律相同。

【设计意图】让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律。

3.再探二项式系数——對称性、增减性与最大值

【活动】问题一：（a+b）n展开式的二项式系数C0n，C1n，C2n，…，Crn可以看成是以r为自变量的函数f（r）=Crn吗？它的定义域是什么？

问题二：画出n=6和7时函数f（r）=Crn的图象，并观察分析他们是否具有对称性、增减性与最大值。

问题三：结合杨辉三角和所画函数图象说明二项式系数的性质。

【设计意图】运用函数的思想画图并分析图像来探究二项式系数的性质，锻炼学生运用数形结合的数学思想解决问题。通过合作探究二项式系数的对称性、增减性和最值问题，提高学生的合作意识。

4.三探二项式系数——系数和的探究

【活动】问题一：计算（a+b）n展开式的二项式系数的和（n=1，2，3，4，5，6）。

问题二：猜想（a+b）n展开式的二项式系数的和。

问题三：怎样证明猜想成立。

问题四：C0n-C1n+C2n-C3n+C4n-C5n+…=？

【设计意图】通过四个不同角度的问题的设计，让学生在解决问题的过程中体会思维的层层升华，感受知识间的内在联系，从深度和广度上体验数学知识的联系。

5.小试牛刀——课堂练习

【活动】练习1：（a+b）n的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等，则n等于？

练习2：（2x-3y）11的展开式中二项式系数取得最大值的是第几项。

【设计意图】通过课堂练习，促进学生对二项式系数的性质的掌握。

6.课后延伸探究

【活动】布置任务，继续寻找杨辉三角中更多的奥妙。

【设计意图】锻炼学生研究性学习的能力，让学生充分开发课本资源。

六、教学反思

本节课是合作学习模式在课堂中的应用。教师通过精心设计层层递进的问题，学生动口、动脑并动手合作探究了二项式系数的性质。从小试牛刀环节可以看出学生对本节课内容的掌握是不错的。唯一不足的是，学生展示和活动有些时间紧张，要在时间规划上再合理安排一下。