跳舞的硬币

范曹耘

摘 要：从实验出发，利用理想气体状态方程解释了由于气体膨胀导致的瓶口硬币跳起现象，并利用热传导的相关知识近似求解了气体温度改变的理论表达式，MATLAB拟合结果与实验数据取得了良好的吻合。

关键词：热传导；气体能量；理想气体状态方程

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）12-0047-3

1 问题提出

一个放置在低温处的瓶子移到常温处，并将一个硬币放置在瓶子的瓶口处。膨胀的气体将会把硬币顶开。本文试图通过理论计算，解释实验中硬币的跳起过程与温度之间的关系。

2 实验仪器

1元硬币：质量为6.1 g，直径为25 mm。

容器：塑料瓶，容积为600 mL，瓶口内径为22 mm。

温度计：量程为0～100℃，最小刻度为1 ℃。

3 具体实验

3.1 实验前准备

首先，将塑料瓶、硬币放入冰箱。并测定冰箱的環境温度以及室温。经过一定时间后，当塑料瓶和硬币的温度与冰箱的环境温度相同时，一切就绪。

3.2 实验步骤

快速从冰箱中取出塑料瓶和硬币，放置在水平桌面上。尽快将硬币覆盖在瓶口。注意，为了使硬币和瓶口间密封，应事先湿润硬币和瓶口，此时当硬币盖上时接触面间由于水的存在产生了“液封”效应，这一步是实验成功的关键。

3.3 数据处理

实验采用冰箱的环境温度为1.5 ℃，室温为19.7 ℃，硬币总共跳起39次。具体数据如表1所示。

表1 跳起次数与时间统计表

4 跳起次数和温度的关系

理论计算需要以下假设：大气压为p0；初始气体温度为T0，室温为TE；塑料瓶容积为V；普适气体常数为R；初始瓶内气体物质的量为n0。并且假设气体膨胀始终近似满足准静态过程。

由于塑料瓶容积始终不变，由理想气体状态方程可得，在任意情况下等式（1）始终成立：

=c（1）

其中，n，T，p分别表示在任意时刻瓶内气体的物质的量、温度、压强。

在初始情况，自然有：

=c（2）

这里假设顶开硬币时所需气体压强满足：

p1=p0（1+ε）（3）

当硬币被顶开时，瓶内气体涌出瓶口，使瓶内气压与大气压再度平衡。因此，可计算得到在硬币跳起前后，瓶内气体的各个参量，如表2。（注：漏n前指第n次漏气时刻前）

表2 气体参量数值理论计算表

根据硬币跳起的临界条件：

p1·S=p0·S+mg（4）

可解得ε的理论表达式：

ε= （5）

将硬币的质量和半径数值代入（5）式可得：

ε= =1.6×10-3（6）

由于当x<<1时，（1+x）n=1+n·x，而ε的确远小于1，所以由表中数据可知，当硬币第n次跳起时，瓶内气体温度约为：

Tn=T0（1+ε）n=T0（1+εn）（7）

得到结论：近似的，瓶内气温每上升相同幅度，硬币就跳起一次。

将具体温度数据带入，注意应当将温度单位转化为开尔文进行计算。求得硬币跳起的理论次数为：

S= =43（8）

与实际得到的跳起次数39次比较接近。

5 时间和温度的关系

为了进一步计算瓶内气体温度与时间的关系，从而更好地理解硬币跳起的时间规律，我们就需要对瓶子的热量传递进行分析。

根据文献[1]，热量的传递可以利用傅里叶定律以及牛顿冷却定律求解。设传热表面的表面积为A。

傅里叶定律：

=-λA （9）

其中，塑料瓶的导热系数记为λ。

牛顿冷却定律：

=-Ah（T2-T1）（10）

其中，塑料瓶与空气的传热系数记为h。

理想气体能量：

E=n RT（11）

引入参数瓶内壁温度为Ti，瓶外壁温度为T0。代入（9）（10）（11）式，分别得到单位时间内流过瓶外壁的热量 与流过瓶内壁的热量 ，单位时间气体能量增量 ，单位时间通过塑料瓶的热量 ：

=Ah1（TE-T0） =Ah2（Ti-T） =n R =-λA （12）

假设在热传递过程中，塑料瓶本身所吸收的热量可以忽略。利用能量守恒可以得到能量传递的关系：

= = = （13）

得到微分形式的解为：

n = （14）

由于塑料瓶内外壁的制作工艺不同，所以需要引入h1，h2，分别表示塑料瓶内外壁与空气的传热系数，L为塑料瓶的厚度。

代入初始气体温度为T0，得到瓶内气体温度的时间函数，可以看出，其形式为一个指数函数：

T=T -（T -T ）·e （15）

为了验证函数的正确性，选择对实验数据运用MATLAB的curve fitting功能进行数据拟合。

选择拟合函数为：

T（t）=ae[-b（x+d）]+c（16）

得到的拟合曲线如图1所示。

图1 时间与温度的拟合曲线

得到的拟合参数为：

a=-13.94；b=0.009805；c=16.3；d=-23.48。

拟合曲线的相关指标为：

SSE：10.65；R-square：0.9889；Adjusted R-square：0.9879；RMSE：0.5517。

从拟合曲线看，在300 s之前，曲线的拟合准确性较好，与实验数据吻合度高；300 s之后，拟合曲线逐渐低于实验数据。

从拟合参数看，曲线预测的起始温度为（a+c）=2.36℃；室温为c=16.3 ℃。大致与实验测量条件的起始温度1.5 ℃及室温19.7 ℃接近。

从拟合指标看，确定系数为0.9879，拟合曲线对数据的解释能力较强；在39个数据点的情况下，和方差与均方根均在令人信服的范围内。总体来说，拟合效果良好。

6 误差分析

6.1 水的张力

当计算硬币跳起的临界气压时，只考虑了硬币的重力，而忽略了水的张力导致的阻碍硬币跳起的影响。

所以，ε的表达式应修改为：

ε'= （17）

其中根据文献[2]，水的张力可近似表达为：

FW=απ（DI+DO）=0.007 N（18）

其中，DI，DO分别为圆环的外径和内径，α为液体的表面张力系数。

而原本使用的重力为mg=0.06 N。将修正后的ε'=1.17ε代入（8）式，得到修正的硬币跳起数S'= =38.5，与实验值39相当接近，侧面说明了水的张力对硬币跳起过程产生的重要影响。

6.2 气体溢出

在硬币跳起过程中，瓶内气体不断溢出。但是在计算气体内能时，依然选择了最初瓶内气体的物质的量进行计算，这是存在误差的。

当最终瓶内气體稳定时，初末气体的物质的量满足关系：

n0T0=nT= =C（19）

进而得到初末气体的物质的量之比为：

= = =1.07（20）

所以，对气体物质的量的近似选取也存在一定误差。前文提到，在300 s之后，拟合曲线逐渐低于实验数据。从气体溢出角度，随着硬币跳起次数的增加，瓶内气体物质的量减小，导致吸收热量后升温幅度加大，拟合曲线低于实验数据。在300 s前，气体溢出的量不足以反映在温度变化上。

7 结 论

①瓶内气体膨胀使内外压强不同是硬币跳起的原因；

②相邻两次硬币跳起时瓶内气体温度之差为常数，为ΔT=εT0；

③瓶内气体温度随时间变化近似满足函数：

T =T -（T -T ）·e

④水的张力和瓶内气体溢出是实验产生误差的主要原因。

参考文献：

[1]杨世铭，陶文铨. 传热学（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]陈凤凤，顾文秀，郑秋容，等. “拉环法测定液体表面张力”实验讨论[J].广东化工，2011（6）：108.

（栏目编辑 王柏庐）