例析两直线的平行与垂直

周沁人

摘 要：直线的平行与垂直是两直线位置关系中的重要内容，关键是注意判断的方法.

关键词：平行；垂直；参数；变量

我们先来认识对两直线的平行与垂直的判定，如果给出的是两条斜截式方程（即直线的斜率存在），直线l1∶y = k1 x + b1 ，直线l2∶y=k2x+b2，l1∥l2的等价条件是k1=k2，b1≠b2；l1⊥l2的等价条件是k1·k2=-1；需要注意的是∶判断两条不重合的直线l1与直线l2平行，可判断两直线的斜率k1=k2（两直线的斜率都存在），也可判断两直线的倾斜角相等.在利用k1=k2来判断l1与l2平行时，一定要注意直线的斜率存在与否，但是在利用倾斜角相等来判断两直线平行，则无需讨论.而对于两直线垂直，需要注意的是两条直线的斜率都存在，也可能是其中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在.

若给出的是一般式方程：l1∶A1x+B1y+C1=0，直线l2∶A2x+B2y+C2=0，则若两直线平行，在两直线斜率存在的情况下，则有A1A2=B1B2≠C1C2；在两直线斜率不存在的情况下，则有B1=B2=0且A1A2≠C1C2；若两直线垂直，则有A1A2+B1B2=0.

探点一 判断两直线的位置关系

例2 已知過点A-2，m和Bm，4的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为.

分析 由于过两点的直线和已知直线平行，则两条直线的斜率相等，通过该思路解决问题.

解 因为kAB=m-4-2-m，而直线2x+y+1=0的斜率k=-2，因此kAB=m-4-2-m=-2，所以m=-8.

例3 当a为何值时，直线l1∶a+2x+（1-a）y-1=0与直线l2∶a-1x+（2a+3）y+2=0互相垂直？

分析 通过利用两条直线垂直的条件求解.

解 由题意得到l1⊥l2，a+2a-1+1-a2a+3=0，则可求得a=1或a=-1，两个值都适合.

反思 两条直线平行，则斜率相等或斜率都不存在，因本题中已知一直线斜率k=-2是定值，故另一直线斜率也一定存在.两直线垂直用A1A2+B1B2=0的结论解决不会漏解.

探点三 利用两直线的平行与垂直关系求直线方程

例4 求与直线3x+4y+1=0平行，且在两坐标轴上截距（均不为零）之和为73的直线l的方程.

所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0.

例5 求过点A2，1，且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.

分析 由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为Bx-Ay+λ=0，这是常用到的解题技巧.

解 设与直线2x+y-10=0垂足的直线方程为x-2y+λ=0.

因为直线l经过点A2，1，所以2-2×1+λ=0，解得λ=0.故所求的方程为x-2y=0.

反思 解决上述两类问题除了直接设方程外，还可以寻找直线斜率之间的关系，若两直线平行，则斜率相等；若两直线垂直，则两直线斜率乘积为-1.

探点四 已知两直线位置关系求变量

例6 m-2x+15y+2m=0，直线l2∶x+my+65=0，当m为何值时，l1与l2（1）平行；（2）重合；（3）相交；（4）垂直.

分析 上述问题给出的是直线的一般式方程，则可利用平行、重合、相交及垂直的条件就可判断.

分析 本题是一道探索题，一般地，我们先假设存在，若推导过程中产生矛盾，则假设不成立，本题隐含一个条件a2+2b-1≠0，否则与一元二次方程的定义相矛盾.

反思 第一问是以集合的形式出现，归结为坐标平面上两条直线位置关系的讨论，主要通过分类讨论的思想来解决问题.第二问是抓住两直线的位置关系来解决问题.

直线的平行与垂直是两直线位置关系中的重要内容，把握确定方法与计算方法则是关键.endprint