探究一类无理函数最值的求法

摘要：求无理函数的最值一直是竞赛和高考考察的重点，本文将围绕其值域的求法展开讨论，着重介绍了八种求法，以期对大家有所帮助.

关键词：无理函数；竞赛；高考；最值

求形如ax+b+cx+d最值的题，一直是竞赛考察的重点.笔者发现至少有八种方法可以解决.现以2011年高中数学联赛四川省初赛第4题为例，来展开阐述，以期抛砖引玉.

题目（2011年高中数学联赛四川省初赛第4题）函数y=x-5+24-3x的最大值是（）.

A.3B.3C.23D.33

解法1求导法

设f（x）=x-5+24-3x（5≤x≤8）.

则f ′（x）=12x-5-3224-3x.

令f ′（x）=0，解得x=234.

又f（5）=3，f（234）=23，f（8）=3.

所以f（x）∈3，23.故选C.

点评求导法是解决此类问题最基础的方法，也是通法，基本上能解决所有类似题，但对同学的求导能力要求较高.

解法2换元法

令u=x-5，v=24-3x，

则3u2+v2=9.

问题转化为：在3u2+v2=9u≥0v≥0 的约束下，求z=u+v的最大值.

（显然直线v=u-z和椭圆3u2+v2=9相切时z最大）

消去v得，3u2+（z-u）2=9.

即4u2-2uz+z2-9=0.

令Δ≥0，所以z2≤12，故选C.

点评此方法实际上就是利用换元和非线性规划来解决，众所周知线性规划在求范围时往往是最精确的，此方法是对线性规划方法的延拓.

解法3柯西不等式法

因为 （x-5+24-3x）2

=（1aa2x-5a2+1b24b2-3b2x）2

≤（1a2+1b2）（a2-3b2）x+24b2-5a2.

所以a2-3b2=0.

令b=1，则a=3.于是，

（x-5+24-3x）2

=（133x-15+1·24-3x）2

≤（13+1）（3x-15）+（24-3x）=12.

（当且仅当3·3x-15=24-3x，即x=234取等号）

故x-5+24-3x≤23.

点评利用待定系数法与柯西不等式也是解决此类问题常用的方法.此法不仅可以含两个根号的函数的最大值，只要用法得当，还可以求出含多个根号的函数的最大值.

解法4琴生不等式法

令f（x）=x（x>0），则f ″（x）=-14x-32<0恒成立.由琴生不等式得：

x-5+24-3x

=1aa2x-5a2+1b24b2-3b2x

≤ax-5a+24b-3bx

=（a-3b）x+24b-5a.

令1a+1b=1a-3b=0 ，得a=4b=43 ，

于是，x-5+24-3x

=1416x-80+3424×169-3×169x

≤4x-20+24×43-3×43x=12=23 .

（当且仅当16x-80=24×169-3×169x，

即x=234取等号）

故选C.

点评运用琴生不等式，合理构造函数是重点，拼凑是关键.若能把握重点和关键就会运用得当，就可以解决很多高考和竞赛题.

解法5构图法

令a=x-5，b=8-x.则问题转化为：

在a2+b2=3a≥0b≥0 条件下，求a+3b的范围.

如图1，点C在以AB为直径的圆上，令AB=a，BC=b，延长AC到D，使得∠D=30°.

则AD=a+3b.

在ΔABD中，由正弦定理得：ADsin∠ABD=3sin30°=23（其中∠ABD∈60°，150°）

所以 AD=23sin∠ABD∈3，23.

点评所谓的数缺形时少直观，形缺数时难入微，通过构图法，很直接的就能将此类问题解决，但合理化归有时较困难，用此法必须要求同学的综合数学能力较强.

解法6对偶式法

令 y1=x-5+3·8-xy2=3·x-5-8-x ，

则y21 + y22 = 12.

因为y2=3·x-5-8-x（5≤x≤8）是增函数，所以y2∈-3，3.故y1∈3，23.

点评一阴一阳谓之道，运用对偶式可以迅速解决此类问题，而且难度不大.因此对偶式法是一种应该掌握的好方法.

解法7权方和不等式法

因为x-5+24-3x=x-5121-12+8-x123-12≤x-5+8-x12（1+3）-12=23.

当且仅当x-51=8-x3，即x=234取等号.

点评用权方和不等式解这类题，配凑是关键，配凑应注意两个方面：一是分子比分母次数高一次，二是合并后x能消去.此外还要注意不等号的方向.

解法8向量法

令a=x-5，b=8-x.则问题转化为：

在a2+b2=3a≥0b≥0 条件下，求a+3b的范围.

如图2，令OA=（a，b），OB=（1，3），

则OA·OB=a+3b.

而OA·OB=OAOBcos∠AOB

=23cos∠AOB≤23，

故a+3b≤23.

点评向量法是非常重要的方法，利用向量的数量积可以很好的理解和解决此类问题，类似的复数解法和方差解法也是如此，异曲同工.

对于其他类似的题目，通过转化，基本都能用以上八种方法来解决.在解决问题时，应多角度，多思维的去考虑.与此同时，方法和技巧也不能生搬硬套，必须自己尝试、自己领悟，这样才能在解题中达到自身水平的提高.这样才能一题多解，才能一解多题！

参考文献：

[1]蓝云波.一类无理函数的最值（值域）的求法再探究[J].中学数学研究，2015（3）.

[2]朱小扣.探究高中數学命题的原则[J].中学数学研究（华南师范大学版）.2017（11）.endprint