伯努利双纽线右半有界区域内解析函数的优化性质

汤 获，马丽娜，牛潇萌

（赤峰学院 数学与统计学院；赤峰学院 应用数学研究所，内蒙古 赤峰 024000）

1 引言

设C表示复平面,A表示在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内解析且形如的函数类.

1967年,Macgregor[1]给出了优化的定义.

定义1设函数f和g在U内解析.若存在U内的解析函数 φ(z),使得 |φ(z)|≤1 和 f(z)=φ(z)g(z)(z∈U),则称函数f在U内优于g,记作f(z)≪g(z)(z∈U).

1970年,Roberston[2]引入了拟从属的概念.

定义2设函数f和g在U内解析.若存在U内的解析函数φ(z),使得在 U 内解析且 |φ(z)|≤1 和 |ω(z)|≤|z|＜1(z∈U),满足 f(z)=φ(z)g(ω(z))(z∈U),则称函数f在U内拟从属于g,记作f(z)≺qg(z)(z∈U).我们注意到，当 φ(z)=1 时，f(z)=g(ω(z))(z∈U),此时称函数f在U内从属于g,记作f(z)≺g(z)(z∈U)[3];当ω(z)=z时,拟从属关系即为上述优化关系.因此,从属关系和优化关系都是拟从属关系的特殊情形.

1996年,Sokol和Stankiewicz[4]引入了伯努利双纽线右半有界区域内的解析函数类BR*,讨论了其凸半径问题.

定义3设函数f∈A,则f属于伯努利双纽线右半有界区域内的函数类BR*当且仅当

近年来,许多中外学者对由各种算子定义的不同单（多）叶解析函数类的优化问题做了大量研究,得到许多漂亮的结果[5-8].受上述工作的启发,本文主要研究伯努利双纽线右半有界区域内解析函数类BR*的优化性质,所得结果扩充了单复变几何函数论中的优化理论.

图1

2 定理及其证明

定理设函数f∈A和g∈BR*.若在U内f(z)优于 g(z),即 f(z)≪g(z)(z∈U),则对 |z|≤r1,有 |f'(z)|≤|g'(z)|,其中r1是方程

在区间(0,1)内的最小正根.

证明由于g∈BR*,故由从属关系和（1）式,可得

其中ω(z)=c1z+c2z2+…∈P,P表示在U内有界且满足条件

的解析函数类[9].

根据（3）式和（4）式,不难得到

又f(z)≪g(z),则由定义1可知

对上式两边关于z求导,可得

又注意到φ(z)∈P满足不等式

故将（5）式和（7）式代入（6）式,有

若取 |z|=r和 |φ(z)|=ρ(0≤ρ≤1),则上式可变为

其中

要确定r1,我们只需取

其中

显然,当 ρ=1 时,Ψ(r,ρ)取得最小值, 即

又因为函数 ψ(r)在(0,1)上连续,且 ψ(0)=1＞0,ψ(1)=-2＜0,故存在 r1,使得当 r∈[0,r1]时 ψ(r)≥0 成立,其中r1为方程（2）在区间(0,1)内的最小正根.定理得证.

〔1〕MacGregorT H.Majorization byunivalent functions[J].Duke Math J,1967,34：95-102.

〔2〕Roberston M S.Quasi-subordination and coefficient conjectures[J].Bull Amer Math Soc,1970,76：1-9.

〔3〕Srivastava H M,Owa S.Current Topics in Analytic Function Theory[M].World Scientific Publishing Company,Singapore,New Jersey,London,and Hong Kong,1992.

〔4〕Sokol J,Stankiewicz J.Radius of convexity of some subclasses of strongly starlike functions[J].Zesz Nauk Politech Rzeszowskiej Mat,1996,19：101-105.

〔5〕TangHuo,DengGuantie,LiShuhai.Majorization properties for certain classes of analytic functions involving a generalized differential operator[J].Journal of Mathematical Research with Applications,2013,33(5)：578-586.

〔6〕Li Shuhai,Tang Huo,Ao En.Majorization properties for certain new classes of analytic functions using the Salagean operator[J].J Inequal Appl,2013,2013：86.

〔7〕TangHuo,LiShuhai,DengGuantie.Majorization properties for a new subclass of -spiral functions of order [J].Mathematica Slovaca,2014,64(1)：39-50.

〔8〕Tang Huo,Aouf A K,Deng Guantie.Majorization problemsfor certain subclassesof meromorphic multivalentfunctionsassociated with the Liu-Srivastava operator[J].Filomat,2015,29(4)：763-772.

〔9〕Goodman A W.UnivalentFunctions[M].Mariner Publishing Company,Tampa,Florida,1983.

〔10〕Nehari Z.Conformal Mapping[M].Mac-Graw-HillBook Company,New York,Toronto and London,1955.