基于三角函数组合的洛伦兹曲线模型

周递芝

（贵州民族大学 教务处，贵阳550025）

引言

作为刻画社会收入分配的有效工具，洛伦兹曲线模型已得到广泛而深入的研究。一般情况下，可通过两种途径获取收入分配数据的洛伦兹曲线，一种是通过已知数据拟合收入分配的概率密度函数，再导出洛伦兹曲线；另一种是由收入分配数据直接构造洛伦兹曲线。由于收入分配的统计分布不易确定，导致很难拟合出合适的概率密度函数。因此，数理经济理论界学者更倾向使用第二种途径，即直接构造洛伦兹曲线。

设收入分配的概率密度函数为（fx），对应的概率分布函数为F（x），则p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例。记收入低于或等x于的人口群体拥有收入占总收入的比例为L（p），则；记F（x）的反函数为F-（1p），μ为平均收入，则也被称为收入分配的洛伦兹曲线。实际应用中，可通过入户调查获得家庭收入与消费等数据其中pi与Li分别为低收入群体的累计比例和该群体的总收入比例。利用最小二乘拟合的方法，先确定L（p，τ）参数向量 τ的估计值，再用作为洛伦兹曲线对收入分配进行近似分析。L（p，τ）是定义在[0，1]区间上满足L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L（'p，τ）≥0，L"（p，τ）≥0，（0.1）的函数，即在[0，1]上是一个凸的增函数。

一直以来，人们的普遍关注洛伦兹曲线模型.文献[1]列出了大量的洛伦兹曲线模型[1]，并进行比较.文献[2]构造了形如 G（p）=pαL（p）n的洛伦兹曲线模型[2]。随后，Ogwang等人在文献[3]通过凸组合和加权积的方式构造一系列洛伦兹曲线模型[3]。此后，众多学者以幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等为基础通过加权、组合、扭曲等方式构造了一些洛伦兹曲线模型[4-11]。

一、洛伦兹曲线模型的构建

文献[10]和[11]对文献[4]中形如 G（p）=pαL（p）n的几个具体模型进行数值实验后发现，当参数αˆ的估计值αˆ∈（0，1）时，pα相应模型的拟合效果较好。显然，当时是一个凹函数。据此，通过恰当的幂函数与对数函数形式的凹函数替换pα，它们构造了一类具有良好拟合效果的凹凸组合的洛伦兹曲线模型。受此启发，下面通过三角函数形式的凹函数替换pα，构造一个基于三角函数与幂函数的凹凸组合的洛伦兹曲线模型。

证明：要证 J（p）为洛伦兹曲线模型，只需验证 J（p）满足（0.1）式。直接计算可得J（0）=0，J（1）=1。由知，当时，J'（p）≥0。因为所以，当 0≤p≤1 时

二、模型检验

为了检验定理1中模型的合理性，下面选取文献[12]所采用的美国100个分位点的详细收入分配分组数据进行模型检验[12]，分别定义均方误差、平均绝对误差、最大绝对误差和基尼系数G为：

借助Lingo9.0，可以得到1977年美国收入分配分组数据的拟合检验情况（见表1）。式的凹函数构造凹凸组合形式的洛伦兹曲线模型，亦具有较好的拟合精度。这不仅进一步说明凹凸组合形式的洛伦兹曲

表1 1977年美国收入分组数据均方误差检验结果

检验结果表明，该模型的拟合精度较高，对细致数据具有很好的适应性。

结语

继文献[10]与[11]分别用幂函数和对数函数形式的凹函数来构造凹凸组合形式的洛伦兹曲线模型后，用三角函数形线模型拟合精度高、适应强，而且丰富并完善了已有的洛伦兹曲线模型理论及其应用。

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