多因子进化算法研究进展

徐庆征，杨 恒，王 娜，伍国华，江巧永

XU Qingzheng1,YANG Heng1,WANG Na1,WU Guohua2,JIANG Qiaoyong3

1.国防科技大学 信息通信学院，西安 710106

2.国防科技大学 系统工程学院，长沙 410073

3.西安理工大学 计算机科学与工程学院，西安 710048

1.College of Information and Communication,National University of Defense Technology,Xi’an 710106,China

2.College of Systems Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China

3.School of Computer Science and Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China

1 引言

经过几亿年的发展，简单的细胞逐步演化形成了缤纷多彩的生物界和自然界。生命科学与工程科学的相互渗透和相互促进是近代科学技术发展的一个显著特征。进化算法（Evolutionary Algorithms，EA）也称为演化算法，它是一种具有“生成+检测”迭代过程的启发式随机搜索算法，其蓬勃发展恰好体现了科技发展的这一趋势[1-3]。依照达尔文的自然选择规律和孟德尔的遗传变异理论，生物的进化是通过繁殖、变异、竞争和选择这四种基本形式来实现的。受其启发，进化算法将待解决的问题理解为对某个目标函数的全局优化，通过程序迭代模拟该自然演化过程，进而寻求问题的最优解。它主要包括遗传算法、进化策略和进化规划等典型方法。尽管它们之间很相似，但是历史上这三种算法是彼此独立发展起来的。

经过几十年的发展，进化算法已经成功解决了众多的科学和工程问题。目前，典型的应用领域包括模式识别、图像处理、机械工程、通信网络、经济管理、生物及社会行为学等。通常，这些复杂优化问题被分为两类：单目标优化（Single-Objective Optimization，SOO）和多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）[4-6]。当只存在单个优化目标时，最优解就是在给定约束条件下使目标函数值最大的独立变量，当需要同时优化多个相互制约的目标时，就只存在某种形式的折衷解或者妥协解，通常称为Pareto最优解集。

但是，人类认知的一个显著特征是，有能力同时管理和执行多项任务，并产生高质量的生活体验。因此，有必要着手研究多因子优化（Multifactorial Optimization，MFO）问题[7]。在现实世界中，存在着大量此类型问题。例如，在一个复杂多级供应链网络中，同时涉及作业车间调度、二次分配问题和车辆路径问题等多个优化问题。如果只处理其中某个优化问题，就属于单目标优化问题。如果这些问题相互结合，构成一个复杂的整体优化问题，就属于多因子优化问题。

需要特别注意的是，对于所有的目标函数，多目标优化使用唯一的搜索空间。但是，在多因子优化问题中，同时存在着多个异源的搜索空间，每一个搜索空间对应于各自不同的优化任务，这些任务可能是相互独立的，也可能是彼此相关的。其根本目标是优化每一项基本任务，而不是像多目标优化那样，在多个任务之间寻求某种形式的折衷方案。

2016年，受多因子遗传模型[8-9]的启发，新加坡南洋理工大学Ong教授首次提出多因子进化算法（Multifactorial Evolutionary Algorithm，MFEA），用于处理跨域的多因子优化问题[10]。两年来，多因子优化算法取得了一系列理论和应用成果，得到学术界和工业界的广泛关注。本文首先介绍了MFEA的生物学基础、文化基因算法，并描述了MFEA算法的结构，然后从工作机理、算法改进、典型应用领域等角度，系统总结了前人的研究成果。最后，提出了若干研究方向，供同行参考借鉴。

2 多因子进化算法

2.1 生物学基础

医学研究显示，从基因水平来看，人类遗传性状的遗传方式包括单基因遗传和多基因遗传两种[11]。其中，单基因遗传的性状，也称为质量性状，符合孟德尔遗传方式，群体的变异分布是不连续的。多基因遗传的性状与单基因遗传的性状不同，其群体的变异分布是连续的，又称为数量性状。这种性状不遵循孟德尔遗传方式，既不能从表型来推测基因型，也不能用简单的遗传法则来预期杂交的结果，而只能用生物统计学方法来研究这种性状的遗传。Nilsson-Ehle提出了多因子假说（或多基因假说）来解释多基因遗传性状的遗传现象[12]。

1918年，Fisher发表了划时代论文“根据孟德尔遗传假设的亲属间相关研究”[13]，标志着经典数量遗传学的创立。随后，研究者构建了不同的多因子模型来描述连续表型或阈值特征。其中，Rice构建的多因子遗传模型考虑了选型交配（assortative mating）和文化传播（cultural transmission），对后世产生了积极影响[8-9]。

2.2 文化基因算法

达尔文提出的以“自然选择”理论为核心的进化学说仅限于生物进化研究。但是，广义进化论认为，人类的生物学进化与人类的文化进化是相互作用、相互影响的。20世纪80年代，Wilson逐渐创立了基因-文化协同进化的观点[14]。他认为，从性质上来讲，文化进化总是以拉马克主义为特征的，即文化进化依赖于获得性状的传递，速度相对比较快；而基因进化是达尔文主义式的，依赖于若干世代后基因频率的改变，因而是缓慢的。

Moscato借鉴上述学说的思想与精髓，将其融入到进化算法当中，首次提出文化基因算法[15-16]。该算法利用局部启发式搜索来模拟需要大量专业知识支撑的变异过程。因此，文化基因算法是一种基于种群的全局搜索和基于个体的局部启发式搜索的结合体[17]。实际上，文化基因算法是一种框架（或概念），采用不同的搜索策略能够构成不同的文化基因算法。例如，全局搜索策略可以采用遗传算法、进化策略、进化规划等，局部搜索策略可以采用爬山搜索、模拟退火、贪婪算法、禁忌搜索等。

2.3MFEA算法描述

MFEA算法的基础是从父代遗传至子代的生物学构件（基因）和文化构件（文化基因）。因此，该算法属于文化基因算法的范畴，其算法流程如算法1所示[10]。它借助多因子遗传的两个特征（选型交配和垂直文化传播），将文化影响集成于传统进化算法之中。在多任务环境中，每一项任务都被视为一个独特的遗传基因，并对种群中个体的进化产生显著影响。MFEA算法基于统一的搜索空间确定候选解的表达方式，遗传物质能够有效地在各个任务间迁移，从而加速算法的收敛速度。

算法1多因子进化算法

1.随机产生N个个体，构成初始种群P0

2.for初始种群P0中的每个个体 pido

3. 随机分配一个技能因子τi

4. 只针对优化任务τi，评估个体 pi

5.end for

6. 对于所有个体 pi，计算其标量适应度φi

7.t=0

8.while（终止条件不满足）do

9. 针对当前种群Pt应用基因操作，产生种群Ct（参见算法2）

10. for种群Ct中的每个个体cido

11. 根据垂直文化传播（参见算法3），分配一个技能因子τi

12. 只针对优化任务τi，评估个体ci

13. end for

14. Rt=Pt∪Ct

15. 更新种群Rt中所有个体的标量适应度和技能因子

16. 从种群Rt中选择N个最优个体，形成下一代当前种群Pt+1

17. t=t+1

18.end while

选型交配特征表明，个体倾向于与自身具有相同或相似文化背景的个体交配。在MFEA算法中，技能因子被视为个体文化倾向的一种计算表达。因此，如果两个随机选取的父代个体具备相同的技能因子，那么它们就自由地执行交叉操作。相反，如果它们的技能因子不相同，那么就按照预先给定的随机交配概率(rmp)执行交叉操作，或者执行变异操作。选型交配的流程如算法2所示。

算法2选型交配

输入：从当前种群中随机选取的两个父代个体pi和pj

输出：子代个体ci和cj

1.if(τi=τj)or(rand ＜rmp)then

2. 基于父代个体 pi和 pj执行交叉操作，得到子代个体ci和cj

3.else

4. 基于父代个体pi执行变异操作，得到子代个体ci

5. 基于父代个体pj执行变异操作，得到子代个体cj

6. end if

显而易见，MFEA算法产生的个体不大可能在各个任务中都表现优异。因此，理想情况下，只在最可能表现优异的那个任务上才评估该个体，这样能够有效地减少函数评估的次数。垂直文化传播的思想能够以一种简洁的方式，将该特征集成于MFEA算法之中。垂直文化传播是一种遗传模式，并行地执行生物学遗传过程，且子代个体表型直接受到其父代个体表型的影响。垂直文化传播的流程如算法3所示。

算法3垂直文化传播

输入：子代个体c。它要么有两个父代个体（pi和 pj），要么有一个父代个体（pi或 pj），参见算法2。

输出：已评估的子代个体c。

1.if个体c有两个父代个体（pi和 pj）then

2.产生一个随机数rand∈[0，1]

3.if(rand＜0.5)then

4.个体c模拟父代个体 pi（只针对任务τi评估该个体）

5.else

6.个体c模拟父代个体 pj（只针对任务τj评估该个体）

7.end if

8.else

9.个体c模拟其父代个体 pi或 pj（只针对任务τi或τj评估该个体）

10.end if

11.设置未评估任务所对应的目标函数值为无穷大

3 研究现状

3.1 文献统计

依托全文数据库、引文数据库、谷歌学术等网络资源，共搜集到31篇学术文献，全部采用英语撰写，包括8篇期刊论文、20篇会议论文，以及3篇图书章节和技术报告。

这些文献共涉及53位作者。发表论文最多的四位作者是Yew-Soon Ong（20篇）、Abhishek Gupta（17篇）、冯亮（11篇）和Bingshui Da（7篇），前三位是多因子进化算法的首创者，第四位是Ong教授的一位博士生。这些作者来自于新加坡、中国、波兰、中国台湾等8个国家或地区，涉及到25所大学或研究院。其中，新加坡南洋理工大学（21篇）和重庆大学（11篇。冯亮2015年博士毕业后任职于该校）的贡献最多，其次是深圳大学（5篇）、中国台湾国立中兴大学和新加坡制造技术研究院（均为4篇）。

截至2018年2月28日，依据谷歌学术的检索结果，引用最多的四篇论文依次为文献[10]、文献[18]、文献[19]和文献[20]，其他论文的引用次数都少于10次。其中，文献[10]并非投稿时间和出版时间最早的文献。但是，鉴于其完整表述了MFEA算法的提出背景、生物学基础、基本概念、算法设计、仿真实验及结果，因此，该论文得到学术界的普遍认可，两年内累计被引用54次，是该研究领域的最经典论文。从论文所选取的关键词来看，“evolutionary multitasking”、“memetic algorithm”和“multi-factorial optimization”排在前三位。

3.2 工作机理

在MFEA算法中，具有不同技能因子的个体执行交叉操作，为跨任务的基因迁移提供了机会[19]。实验结果表明，尽管存在着负迁移效应的风险，但是，在大多数情况下，高质量遗传物质的正迁移效应要大于负迁移效应，这将加快算法的收敛速度，减少同时优化多项任务的有效时间。

Gupta以求解数独问题（Sudoku puzzles）为例，验证了基因迁移和种群多样性的相互关系[21]。实验结果表明，尽管基因迁移和种群多样性在MFEA算法中扮演着同等重要的作用，但是，对于具有较强互补性的多任务而言，基因迁移对于种群快速收敛的影响更加显著。进一步地，作者首次提出了协同指标的概念，以便定量地描述两个优化任务之间的互补性[22]。基于此概念，作者能够回答什么时候、为什么隐含的基因迁移能够提升MFEA算法的收敛性能，这将有助于设计性能更优的算法。

如前所述，MFEA算法属于基因文化算法的范畴。Da巧妙地将其中的文化因素（选型交配和垂直文化传播）尽可能地滤除掉，形成PGEA算法，并通过实验比较两者之间的性能差异，由此说明MFEA算法的优秀性能来源于基因和文化的相互协作[23]。Wen注意到，在MFEA算法中，根据个体与其父代个体的一致性，子代个体存在三种来源途径，且存活率不尽相同[24]。据此现象，首先计算出累积存活率，进而在迭代过程的后期重新分配函数评价资源。

根据两个优化任务间表型空间的重叠程度，多任务环境可分为完全重叠、部分重叠和完全不重叠三种情形[18]。对于完全重叠的情形，能够区别不同任务的唯一特征就是辅助变量，它们从本质上描述了该优化任务的具体背景。对于部分重叠的情形，任务间知识的迁移主要集中于这些重叠区域。对于完全不重叠的情形，不再可能利用先验经验，但是，在统一的基因型空间，任务之间仍然存在一些潜在的互补性可供利用。

3.3 算法改进

多因子优化的目标是同时优化多项任务，这些任务可能来自于完全不同的领域，具有明显不同的特征。因此，多因子进化算法必须在同一搜索空间内构建统一的编码方案。传统MFEA算法采取随机键方式[25-26]统一地对候选解进行编码，解决跨域多因子优化的普适性问题[10]。但是，该方案存在一些不足：（1）每次计算适应度时，都需要将随机键解码，这将导致额外的计算代价；（2）不同的基因型可能对应于相同的表型，导致信息有损。人们针对车辆路径问题、旅行商问题等组合优化问题的结构特征，提出了新的基于排列的编解码方案[27]，以及基于分裂的编解码方案[28]。

如果优化任务之间的相似性持续降低，那么，遗传物质的负迁移效应风险就会增加，进而导致MFEA算法性能不断恶化。Bali借鉴机器学习中的域适应思想，将线性域适应与交叉算子相结合，提出LDA-MFEA算法[29]。在多因子优化问题中，随着待优化任务的不断增多，任务间的信息交互就显得非常重要。在传统MFEA算法基础上，Liaw提出了互利共生生物群落进化（EBS）框架[30]。它具有两个鲜明特征：一是信息交换的自适应控制；二是利用任务间的共享信息选择子代个体。最近，Chen也提出了四种改进措施[31-32]。一是在任务间，引入基于拟牛顿法的局部搜索技术，以提高算法效率；二是为了克服MFEA算法的局部收敛问题，针对部分最差个体，引入重新初始化技术；三是利用自适应父代个体选择策略，以便适应不同的搜索阶段；四是在合作协同进化的框架下，将高维复杂优化问题分解为多个低维子优化问题。

针对多目标优化问题，Mo首先利用M2M分解技术，将一个多目标问题转化为多个有约束的多目标子问题，然后再利用MFEA算法的不同子种群分别求解这些子问题[33]。此外，还将支持向量机作为预选择步骤。也就是说，利用上一代种群及其子代种群作为训练集合，这样能够有效地预测某个解是否足够优秀。Yang利用K均值聚类算法，将决策变量划分为两组：与多样性相关的变量组和与收敛性相关的变量组[34]。在执行选型交配操作时，不同的变量组独立选取不同的参数，以便同时改善MFEA算法的多样性和收敛性。

为了降低计算成本，在垂直文化传播机制中，MFEA算法只需针对一个任务评估种群个体。但是，在某些应用实例中，计算压力主要来自于程序的执行本身，而不是优化任务的数量。针对这种特殊情形，Sagarna提出一种任务分配机制，以便缓解该算法的计算压力[35]。

许多研究者还试图将多因子优化的思想引入到其他智能算法之中，例如粒子群算法[36]、差分进化算法[36]、头脑风暴优化算法[37]、遗传规划[38]和极限学习机[39]等。

3.4 典型应用领域

MFEA算法对于每一项优化任务没有任何约束，其应用领域十分宽泛，涵盖连续空间函数优化、离散空间组合优化、单目标优化、多目标优化、人造的标准问题和现实世界的问题等。

为了更加公平地评估MFEA算法的性能，拓宽其应用领域，Ong教授已经在智能计算领域的顶级国际会议（IEEE CEC）连续组织了两次MFO竞赛，公布了一些标准的测试数据集，包括单目标优化[40]和多目标优化[41]两类问题。此外，Liaw依托CEC 2014的30个单目标函数，提出了构造许多任务（＞3）的标准测试问题的方法[30]。

求解计算昂贵的优化问题的基本思路是，利用计算廉价的代理模型来部分地代替那些费时的适应度评估，以便降低计算成本。该思路恰好适合采用MFEA算法。Ding提出决策变量平移策略，使得所有任务的最优解都位于统一搜索空间的相同位置[42]。同时，他还提出了决策变量洗牌策略，以增强具有不同维度的优化任务之间的知识迁移的有效性。

双层规划是一种具有双层递阶结构的系统优化问题。Gupta注意到，大多数情况下，当高层函数的变量只发生少许变化时，低层目标函数的变化幅度也不显著[20]。因此，以传统MFEA算法为基础，将高层进化算法中的种群个体进行合理的聚类，构造出M-BLEA算法。

此外，研究者正在尝试将MFEA算法应用于一些现实世界的真实问题中。例如，软件测试[35]、复合材料液体模塑成型[19-20，43]，以及飞行器设计等复杂智能系统[44-45]。

4 挑战和机遇

与其他相对成熟的智能计算方法相比较，多因子优化以及多因子进化算法的研究尚处于起步阶段[46]。多因子进化算法理论与应用研究所面临的挑战和机遇主要包括以下四方面。

第一，MFEA算法的作用机理尚不明晰，即，知其然不知所以然。一方面，承认多因子进化算法针对众多人造以及实际问题获得了良好的结果，看似具有普遍的适用性。另一方面，研究结果也充分说明，遗传物质在任务之间的迁移有时存在负效应，甚至会在某种程度上适得其反，降低算法的收敛速度。因此，只有充分理解多因子进化算法的内部机理和外部联系，从待求解多任务的解空间、基因迁移规律、多因子进化算法设计的辩证关系入手，选择合适的数学工具，在三者之间建立一个桥梁或纽带，才能为构造新模型、扩展新领域提供灵感。

第二，MFEA算法自身的效率和适应性有待提高。多项优化任务同时到来，进化算法的效率和适应性对于算法的应用价值显得尤为关键。传统的MFEA算法只是在交叉、变异、选择等进化算子的基础上，添加了选型交配和垂直文化传播等操作，算法效率并不高。因此，在深刻理解任务特征的基础上，基于种群分布特征设计新的编解码方案、高效的进化算子，以实现种群多样性的主动控制和种群搜索方向的自适应调整，是当前需要解决的一个关键问题。

第三，MFEA算法的能力提升存在较大空间。除了提高算法自身的效率之外，另一个关注点就是开发高级算法，全面提升算法能力。例如，算法同时处理许多任务的能力、算法的自适应能力，以及算法利用先验知识的能力等。理想的多因子优化算法能够挖掘优化任务的先验知识或特征，自适应地调节其核心工作机制（包括基因操作、种群规模和分布、局部搜索策略等），使得任务间知识迁移的积极效应最大化，以便求解不同任务规模的复杂科学和工程问题。

最后，MFEA算法的应用领域亟待扩展。目前，MFEA算法的应用较多地集中于连续域内的函数优化问题以及离散域内的组合优化问题，距离实际应用阶段尚存在较大的差距。更进一步，该算法尚未在一些具有重要科学意义或社会价值的研究领域取得令人振奋的开创新成果，难以得到国际同行的广泛认可，也没有深入地反思为什么在这些领域率先取得突破，更没有总结出MFEA算法适用的研究领域的基本特征。

5 结束语

多因子进化算法符合近代科学技术发展的趋势，是智能计算领域新近涌现的研究热点，逐渐引起学术界和工业界的热切关注。本文从工作机理、算法改进、典型应用领域等角度，系统总结了MFEA算法的理论和应用研究成果，并指出当前所面临的若干挑战和机遇。

但是，MFEA算法的研究成果过度集中于不多的几个研究小组，学术界的认可程度尚待提高。算法的理论基础还比较薄弱，尚未利用合适的数学工具论证新算法的收敛性、多样性、稳定性、鲁棒性等基本算法特性。此外，算法性能和综合能力（处理许多任务、自适应、利用先验知识等）还有待改善。建议研究者应当积极与工业界开展合作，构建较完整的理论框架，开发更加高效的多因子进化算法，发挥更好的科学和社会效益。

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