以形助数 化难为易

陆红力

著名数学大师华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”这句话道出了数与形之间的紧密联系.“以形助数”其实就是将抽象的数量关系转化为直观的几何图形，借助形象思维解决抽象的问题，达到化难为易的目的.本文以不等式（组）为例，通过一个课本题及其变式来说明“以形助数”在中考中的重要应用.

【课本原题】（苏教版《数学》七下第130页）求不等式2x-3≤5的正整数解.

【思路分析】先求出不等式的解集，再利用数轴求出正整数解.

【解答】（过程略）1，2，3，4.

【演变过程】本题是在考查解一元一次不等式的基础上演变而来的.

【考题在线】

变式1：（2017·内江）不等式组[3x+7≥2，2x-9<1]的非负整数解个数是（ ）.

A.4 B.5 C.6 D.7

【思路分析】解出不等式组的解集，数轴上观察解集，得出不等式组的非负整数解的个数.

【解答】解不等式组[3x+7≥2，（1）2x-9<1. （2）]

解不等式（1）得：x≥[-53].

解不等式（2）得：x<5.

∴不等式组的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为[-53]≤x<5，

∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，故选B.

【解后反思】利用数轴直观清晰地显示不等式组的解集，非负整数解一目了然.

变式2：（2017·宿迁）已知4

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【思路分析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示解集，观察数轴，求出整数解.

【解答】解不等式组[x-m<0，（1）4-2x<0. （2）]

解不等式（1）得：x

解不等式（2）得：x>2.

∴不等式组的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为2

由图可知，不等式组的非负整数解为3、4，共2个，故选B.

【解后反思】本题考查解不等式组，因题中有参数，故利用数轴能更清晰地显示不等式组非负整数解的个数.

变式3：（2017·金华）若关于x的一元一次不等式组[2x-1>3（x-2），x

A.m≥5 B.m>5 C.m≤5 D.m<5

【思路分析】将两个不等式的解集在数轴上表示，直观观察出m的取值范围.

【解答】解不等式组

[2x-1>3（x-2），（1）x

解不等式（1）得：x<5，

∵解集是x<5，

∴不等式组的解集在数轴上的表示应为：

由图可知：m>5.

当m=5时符合题意，

∴m的取值范围是m≥5.

【解后反思】本题为已知含参不等式组的解集，探求参数的取值范围问题.对于参数的取值范围问题，一般可分两个步骤进行：一是动态分析，即让x

变式4：（2016·凉山州）已知关于x的不等式组[4x+2>3x+a，2x>3x-2+5]仅有三个整数解，则a的取值范围是 .

【思路分析】先解不等式组，再在数轴上表示，根据仅有三个整数解，确定a的取值范围.

【解答】解不等式组[4x+2>3x+a，12x>3x-2+5，2]

解不等式（1）得：x>3a-2，

解不等式（2）得：x<1.

∵解集中仅有三个整数解，

∴不等式组的解集在数轴上的表示应为：

由图可知：-3<3a-2<-2.

当3a-2=-3时符合题意；

当3a-2=-2时不合题意；

∴-3≤3a-2<-2.

a的取值范围是[-13]≤a<0.

【解后反思】本题是已知含参不等式组整数解的个数，探求参数的取值范围问题，方法与上题类似.在数轴上看不等式x>3a-2的端点随a的变化而运动，利用数轴来观察整数解个数的变化，得出符合条件的取值范围.

变式5：（2016·大庆）关于x的两个不等式①[3x+a2]<1与②1-3x>0.

（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；

（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范圍.

【思路分析】（1）求出不等式②的解集，表示出不等式①的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可.

【解答】由①得：x<[2-a3]，

由②得：x<[13]，

∴解集在数轴上可表示为：

（1）因为两个不等式的解集相同，所以两个解集的端点重合，即：[2-a3]=[13]，解得：a=1.

（2）∵不等式①的解都是②的解，

∴不等式组的解集在数轴上的表示应为：

由图可知：[2-a3]<[13]，

当[2-a3]=[13]时，符合条件.

∴[2-a3]≤[13]，解得：a≥1.

【解后反思】本题考查的是不等式解集之间的关系.借助数轴，则可攻破难点，同时端点的取舍也要引起同学们的重视.

数与形是数学问题的两个重要表征.“数形转化”是一种重要的解题策略，对于帮助我们直观地解决数学问题有着重要的意义.

（作者单位：江苏省太仓市教师发展中心）