电基于零控脱靶量的大气层外拦截弹最优中制导律研究

臧月进，李仁俊，安国琛

(1.上海机电工程研究所， 上海 201109; 2.上海航天技术研究院北京研发中心， 北京 100081)

大气层外拦截,由于远程变轨机动不可避免的误差，造成拦截器的实际飞行状态和理想飞行状态之间存在很大误差，很难直接进入末制导阶段，因此在中段飞行需要引入制导过程[1]。中制导的作用是使拦截器在有限的时间内运行到中、末制导交班空域，使中制导结束后，目标处于拦截器导引头的视场范围内[2]，尽量减少燃料消耗，确保末制导顺利进行。

大气层外飞行的弹道导弹或卫星目标在地心引力场惯性飞行，其运动状态可以精确预测[3,4]，因此拦截中制导的终端约束不需要使拦截器与目标之间的相对距离为零，而是以零控拦截流形为目的，拦截器在中制导发动机关机后，在无控状态下击中目标[5]，其优点是快速消除预测零控脱靶量。

预测制导方法需要实时预测脱靶时刻和零控脱靶量[6]，其精确值要用数值积分方法从当前制导时刻t0精确积分到脱靶时刻tf才能获得，每个制导周期都需重复计算。在拦截器的GNC计算机没有能力实时通过数值积分获得高精度的脱靶时刻和零控脱靶量的情况下[7]，寻找高精度、快速的tf和ZEM预测方法是预测制导方法获得实际应用的关键。

陆亚东等[2]利用预测命中点制导方式给出了发动机的定向策略，但计算量大不适合在线处理；胡正东等[5]基于预测制导方法获得三维制导律，且指令解算快速但精度偏低。本文采用基于零控脱靶量寻求一种快速求解制导律的解析方式，并具备一定的精度。

1 零控脱靶量预测方法

对于大气层外的非机动目标的拦截问题，可以忽略气动力的影响，零控脱靶量可以表述为拦截器与目标在仅受引力场作用下被动飞行至脱靶时，两飞行器之间的最小相对位置矢量[8]。

大气层外拦截器与目标之间的被动段运动方程可以表示为[9]

(1)

式(1)中:rI表示拦截器地心位置矢量的模值；rT表示目标地心位置矢量的模值；μ表示地球引力常数。

目标与拦截器的相对运动方程可以表示为

(2)

式(2)右端表示两飞行器之间的引力差，即

(3)

(4)

在两飞行器之间的相对距离不是太大的情况下，可以假设RI≈RT，即假设被动飞行过程中两飞行器受到相同的引力影响，即

ΔG(t)=GT(t)-GI(t)=0

(5)

(6)

式(6)中：R0为t0时刻目标相对于拦截器的相对位置矢量R0=R(t0)；V0为t0时刻目标相对于拦截器的相对速度矢量V0=V(t0)。

根据脱靶量的定义[10]，ZEM发生时刻应有

R(tf)·V(tf)=0

(7)

由此解出脱靶时刻和ZEM的预测值为

(8)

可看出零引力差模型预测脱靶时刻和零控脱靶量的计算公式是完全解析的。该零引力差模型虽然在开始阶段精度不高，但随着制导过程的进行，拦截器距目标越来越近，其模型准确度也随之提高。

2 大气层外拦截中制导律设计

大气层外的被动飞行段，忽略气动力对飞行轨迹的影响，在地心赤道惯性坐标系下目标与拦截器的运动方程为

(9)

式(9)中，aC示拦截器上的推力加速度。

假设在拦截过程中，两飞行器受到的引力加速度近似相等，即GT(t)≈GI(t)，则目标与拦截器之间的相对运动方程表示为

(10)

设性能指标为

(11)

式中tbo表示发动机关机时刻。

把上式写成状态方程形式为

(12)

其中，

(13)

在拦截器发动机关机后的被动飞行阶段，零引力差模型下

(14)

上两式可写成

X(tf)=P1X(tbo)

(15)

式(15)中：

经整理，中制导律设计问题可以表述为：对于线性系统，已知当前状态X(to)，寻找控制量u(t)(t0≤t≤tb0)，使性能指标极小。

(16)

用庞特里雅金极小值原理求解，选取哈密尔顿函数为

(17)

协态方程为

(18)

控制方程为

(19)

终端条件表示为

(20)

把式(15)代入横截方程公式中得到横截条件为

(21)

可解得

(22)

式(22)中：

(23)

由式(19)解出最优控制为

(24)

代入到系统方程式(12)，得到

(25)

其解为

X(t)=Φx(t,t0)X(t0)-

(26)

令t=tbo，整理得到

Φx(tbo,t0)X(t0)

(27)

由式(27)解出X(tbo)，得到最优制导律u(t)。化简后得到拦截器制导推力加速度为

(28)

式(28)中，定义剩余关机时间tb和被动飞行时间为tδ

(29)

3 仿真算例

在轨道计算过程中，考虑地球非球形引力摄动J2项，其他摄动力暂不考虑。远程轨道机动由Lambert算法规划，由于导航误差和推力器执行误差，假设远程变轨结束后的拦截弹和弹道导弹在J2000坐标系下初始位置和速度如表1所示。

表1 拦截弹和弹道导弹标称初始轨道根数

根据以上初始条件，在不加制导律和增加本文制导律的情况下对比仿真如图1所示。

图1 无制导时弹目相对距离变化末端放大曲线

在不加中制导对远程变轨误差进行修正的情况下，产生的脱靶量约为18 km，图1是弹目相对距离变化曲线的末端放大图。

图2和图3分别为在J2000坐标系下的运动轨迹和拦截弹在 J2000坐标系下的相对位置分量。

图2 两飞行器在J2000坐标系下的运动轨迹

利用中制导对远程变轨误差进行修正的情况下，产生的脱靶量约为1 km，如图4所示，可见中制导可以有效修正远程变轨的误差，保证中制导结束后目标处于拦截器导引头的视场范围。

图3 拦截弹在 J2000坐标系下的相对位置分量

图4 最优制导时弹目相对距离变化末端放大曲线

因此，基于预测零控脱靶量的最优制导方法具有很高的制导精度，能保证拦截器顺利完成中、末制导交班。

针对本算例，分别采用文献[5]的三维预测制导和本文最优中制导离线仿真，其脱靶量和燃料消耗对比如表2所示。

表2 制导策略对比

从表2可见，采用文献[5]的解析预测制导方法，对应的零控脱靶量为5.4 km，明显优于无制导情况下的脱靶量，但相比本文的最优制导精度差，且消耗燃料量略高于本文制导策略。

4 结论

本文基于预测零控脱靶量思想，提出了一种最优控制的中制导段制导方法。该制导方法对大气层外拦截具有较高的制导精度，满足了进入末制导段时的精度要求且具备在线计算的实时性，所设计的制导律有效。

[1] PAUL Z.Midcourse guidance strategies for exoatmospheric intercept[C]//Proceedings of AIAA/BMDO Interceptor Technology Conference.Colorado Springs,CO,1998.

[2] 陆亚东,杨明,王子才.基于预测零控脱靶量的拦截器中制导段导引[J].航天控制,2005(6):17-20.

[3] 刘世勇,吴瑞林,周伯昭.基于拦截点的大气层外拦截弹中制导[J].航天控制,2005(2):54-58.

[4] 汤一华,陈士橹,万自明.基于零控脱靶量的大气层外拦截中制导研究[J].飞行力学,2007(9):34-37.

[5] 杨洋.拦截弹中制导段性能分析[D].长沙：国防科学技术大学，2009.

[6] 郑立伟.预测制导理论在飞行器再入与大气层外拦截中的应用[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2007.

[7] 胡正东,郭才发,蔡洪.天基对地打击动能武器再入解析预测制导技术[J].宇航学报，2009(5):1039-1044.

[8] 李运迁,齐乃明.基于零控脱靶量的大气层内拦截弹制导律[J].宇航学报，2010(7):1768-1774.

[9] NEWMAN B.Strategic intercept midcourse guidance using modified zero effort miss steering[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,1996,19(1):107-112.

[10] 吴启星,刘世勇,张为华.大气层外拦截弹末段修正能力分析[J].弹箭与制导学报,2007(4):178-184.