数学史的渗透对复变函数课程教学效果的促进

赵宏艳

摘 要：复变函数与积分变换是工科类学生的专业基础课。它的承接性很强、研究价值很高同时应用范围极广。然而，学生们在学习过程中的问题较多。部分学生感到高深难懂，学起来畏缩不前;部分学生视其为高等数学的重复，感觉食之无味;还有部分学生认为它脱离现实，如空中楼阁，学而无用。作者在教学过程采用渗透教学史的方法，适当穿插相关史实，既活跃了课堂气氛，又丰富了学生的数学体验，加深了学生的课堂记忆。结果表明，该方法取得了较好的教学效果。

关键词：复变函数;积分变换;课堂教学;数学史

中图分类号：O174.5

文献标识码：A

复变函数与积分变换是工科专业学生的重要的专业基础课。这门课的主要内容是电子电气、信息工程、热学和流体力学类专业课的基础，因此，在专业学习中具有举足轻重的地位。然而，笔者在教学过程中发现，学生在学习时存在着较多问题。本文接下来将从学生反映的主要问题出发，针对特定问题，给出具体的数学史范例和讲解过程，详细介绍该史实与知识点的逻辑关联以及教学效果。最后给出结论。

问题一： 部分学生反映，高等数学的函数、导数等都可以有直观解释，而复数似乎没有直观对应，接受和理解上有难度。

对策：穿插讲解复数的由来和整个复变函数体系的发展过程，会收到较好的课堂效果。复数、虚数这两个名词，都是人们在解方程时引入的。1545年，意大利米兰数学家卡尔丹发表了《关于代数的大法》一书，公布了三次方程的一般解法，第一次将负数的平方根写到公式中。在卡尔丹发表著作约100年后，在1637年，法国数学家笛卡尔写了《几何学》一书，使得虚数这个名称流传于世。又过了约140年，在1777年，德国数学家欧拉在《微分公式》一书中首创了用符号i 作为虚数的单位。30年后，在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图像表示法。又过了约30年，还是高斯，首提“复数”。至此，复数理论才完整系统地建立起来。

负数开方的提出到完整复数理论的建立，经历了近三百年的时光，是卡尔丹、笛卡尔、欧拉、高斯等数学家们前赴后继、辛勤耕耘的成果。详细了解这一史实后，学生们容易产生共鸣，既有来之不易的珍惜感，又有能与久仰其名的伟人名家的思想比肩而行的骄傲感。无论是哪种情感，灌注在书本里，冰冷的文字就会变得鲜明生动，理解并记忆也就容易得多。

问题二： 复变函数的概念、复积分、复级数涉及的部分概念和公式与高等数学一致，一些学生反映，这些内容无非是高等数学的重复。

对策：对于这种情况，可以适当讲解些二者不同之处，加强辨析。复变函数以解析函数作为主要研究对象，柯西-黎曼定理是复变函数论的重要内容之一，该定理也被称为达朗贝尔-欧拉方程[1]。早在1752年，达朗贝尔就已经发现了这两个方程，并将它们写进了他的一篇关于流体力学的论文中。25年后，1777年，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了一类复变函数的积分，这类函数满足上述两个方程。这两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，分别作了更详细的研究，通过不同的推导方法得到该方程组与复变理论之间的重要联系。这个定理的出现，揭示了复变函数可导和实函数可导的根本不同。复函数要想可导，实部虚部需要满足比较严苛的条件，而实函数则不用。复函数从本质上是两个函数共同作用的结果，研究起来自然要比实函数更为复杂。

通过史实来解释基本概念上的差异，可以让学生清楚地认识到复变函数绝对不是高等数学的简单重复，它从最基础的研究对象开始，就已经构建了与实变函数完全不同的结构体系。

問题三：有些学生反映，复变函数与积分变换脱离我们的现实生活，无法实际应用。

对策：复变函数与积分变换有较为复杂的应用领域，如飞机机翼的结构问题的解决[2]。但它的应用绝不仅限于此，复变函数在通信领域有广泛的应用。快速傅里叶变换（FFT）使数字信号处理从理论走向实用，FFT 的出现大大减少了离散傅立叶变换的运算量，使实时的数字信号处理成为可能，极大促进了该学科的发展。所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。

通过对学生的反馈进行深入分析，笔者将问题主要归纳为三个方面，站在学生的角度从学科的抽象性、内容与高等数学部分相似性以及应用领域的难以理解等方面进行阐述，提出引入数学史的办法，介绍了具体的数学史实，针对以上三个问题充分展开，提供了解决思路和方法。实践表明，结合数学史学习复变函数与积分变换课程取得了良好的教学效果，值得推广。

参考文献：

[1]李跃武，周瑞宏. 从历史的角度引入柯西-黎曼方程[J].高等数学研究，2009（4）：121-123.

[2]钟玉泉.复变函数论（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.