初中数学绝对值问题探究

曹恒

【摘 要】初中生对绝对值问题的理解，常常不那么深入，往往是定义背得熟透了，一到回答问题或者写作业的时候就老是犯错误，只停留在死记硬背定义的层面，不能灵活运用，我们首先对绝对值问题进行深入讲解，然后结合足够例子的演讲，以期能提供给初中数学老师参考，共同搞好初中数学教学。

【关键词】绝对值；正数；数轴；原点；距离

中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）34-0240-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.34.099

如果一个数是正数，那么它的绝对值就是它自己；如果一个数是负数，那么它的的绝对值就是它的相反数；如果一个数是零，那么它的绝对值就是零。即：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。这样一来，任何数的绝对值都是非负数。

化简含绝对值的式子，关键的地方是去绝对值符号，先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即a>0，a<0还是a=0）。如果已知条件没有给出其正负，应该分类讨论（即分别讨论a>0，a<0和a=0的情形）。分类思想是数学中一种非常重要的思想。

以下我们用具体例子来加以说明。

例l.x+1+x-1的最小值是（ ）。

A.2 B.0 C.1 D.-1

【分析】常规方法是去掉绝对值，分类讨论，但我们还可从绝对值几何意义入手。

【解法一】分类讨论：

当x<-1时，x+1+x-1=-（x+1）-（x-1）=-2x>2；

当-1？燮x？燮1时，x+1+x-1=x+1-（x-1）=2；

当x>l时，x+1+x-1=x+1+（x-1）=2x>2.

比较可知，x+1+x-1的最小值是2，选A。

【解法二】 由绝对值的几何意义知，x-1表示数x所对应昀点与数1所对应的点之间的距离；x+1表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；x+1+x-1的最小值是指到点1与点-1两点之间距离之和的最小值，如图1。

易知，当-1？燮x？燮1时，x+1+x-1的值最小，最小值是2，故选A。

例2.若a+b+1与（a-b+1）互为相反数，则a与b的大小关系是（ ）。

A.a>b B.a=b C.a

【分析】互为相反数的两数之和为0，若这两数均为非负数，则这两数均为0。

【解法一】因为a+b+1？叟0，（a-b+1）2？叟0，且a+b+1与（a-b+1）2互为相反数，而互为相反数的两个数：一个不大于0，另一个不小于0。

所以，即，解得。故a

【解法二】 由解法一知a-b+1=0，所以b=a+l，所以a

例3.下列选项中，（ ）的解集如图2所示。

A.x-4<3 B.x-4>3 C.x+4<3 D.x+4>3

【分析】这是一道关于数形结合的绝对值问题，应考虑绝对值的几何意义：x-4表示在数轴上点x离开点4的距离。

【解】 对于A有17或x<1；對于C有-7-l或x<-7，所以选C。

【探密】1.解绝对值问题常与数轴紧密相连.若能理解绝对值的几何意义和数轴间的关系，本题求解就会得心应手了。

2.从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括：①数轴上的点所表示的数的正负性；②数轴上的点到原点的距离。

例4.如果m-3+（n+2）=0，则方程3mx+1=x+n的解是____。

【分析】 想办法先去绝对值，再解方程。

【解】 由绝对值的性质，得m-3？叟0，又（n+2）2？叟0.所以m-3=0且n+2=0，解得m=3，n=-2。于是，方程3mx+1=x+n转化为9x+l=x-2，解得x=-。

【参考文献】

[1]李益锋.找寻那最初的“模样”——绝对值函数最值问题的探讨[J].中学数学教学，2018年04期，56-60.

[2]樊友年.数形结合解一次绝对值函数若干问题[J].中等数学，2000年01期，71-73.

[3]周学文，南山，姜文清.含绝对值的函数[J].中学数学教学参考，1995年07期，42-43.

[4]陈明升.含有绝对值函数的作图[J].甘肃教育1999年Z2期，32-33.