数学史在数学教育中的作用

徐海翔

(安徽省亳州市蒙城县蒙城中学 安徽 亳州 236800)

(1)数学发展到今天,已经延伸出上百个分支,但它毕竟是一个整体,并且有它自己的重大问题和目标.如果一些分支专题对于数学的心脏无所贡献,它们就不会开花结果,一些被分裂的学科就面临着这种危险.如由于在工业技术上的极大应用,哈密顿四元法曾传播很广,风行一时,但不久后,四元法就不再使用了.如同 Hilbert说的:“数学是一个有机体,它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合.”[2]

(2)数学课程所介绍的似乎是一些没有什么关系的数学片段.历史可以提供整个课程的概貌,不仅使课程的内容互相联系,而且使它们和数学思想的主干也联系起来.数学史既可以展示数学发展的总体过程,又详加介绍各学科的具体发展过程,把握数学这一发展过程可使学生视野开阔,深刻理解数学的本质,以便在今后的教学中能高瞻远瞩.把握数学这一发展过程,还可以使学生加深对所学知识的理解.正如无理数是由于度量问题而产生的,它的发现导致几何学在一定时期内独立于算术孤立发展;求极大、极小问题、求曲线长等问题的研究,直接促使牛顿、莱布尼兹发明微积分.微积分产生后,出现了许多分支,如常微分方程、偏微分方程;分析学中的“病态”函数给勒贝格以启发,后来勒贝格创立了测度论;著名数学家康托因研究分析学问题而发明朴素集合论,朴素集合论又包含悖论.因此,集合论应运而生.深刻地理解数学史的内容,才能了解数学发展的基本进程.

(3)对于学生来说,通常的数学课程直接给出一个系统的逻辑叙述,使人们产生这样的印象:数学家们几乎理所当然地从定理到定理,数学家们能克服任何困难,并且这些课程完全经过锤炼,己成定局.学生被湮没在成串的定理中,特别是当他们刚开始学习这些课程的时候.历史却形成对比,它教导我们,一个科目的发展是由汇集不同方面的成果,点滴积累而成的.我们也知道,常常需要几十年,甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步.不但这些科目并非天衣无缝,就是那些已经取得的成就,也常常只是一个开始,许多缺陷有待填补,或者真正重要的扩展还有待创造.

(4)课本中的字斟句酌,未能表现创作过程中的斗争、挫折、以及数学家所经历的艰苦漫长的道路.通过学习数学史,学生一旦认识到这一点,他将不仅获得真知灼见,还将获得顽强学习的勇气.因为看到数学家如何跌跤,如何在迷雾中摸索前进,如何一点一滴地得到他们的成果.这样对于自己在学习中遇到的挫折就不会感到颓丧.我们都知道17世纪最伟大的法国数学家费马提出的“费马大定理”——不存在正整数x,y,z,n,使得xn＋yn＝zn(当n＞2时).从那时起,许多卓越的数学家在此问题上付出了数不清的艰辛努力.1779年欧拉给出了一个n＝3的证明.不久,欧拉又出色地证明了n＝4的情况.大约1825年,勒让德和狄利克雷独立地对n＝5给出了证明;拉梅于1839年对于n＝7证明了此定理.德国数学家库默尔对此问题的研究做了有意义的推进.1843年提出了“库默尔理想数”为费马关系式的不可解性导出了一个条件.1908年,德国数学家佛尔夫斯克尔给哥廷根科学院留下10万马克,作为这个“定理”的第一个证明的完全奖金.三百多年过去了,直到1995年由英国的数学家怀尔斯成功地证明了这个定理.被称为“20世纪最辉煌的数学成果”.由此可见,多少数学家经历了艰苦漫长的道路,才取得了最后的成功.数学的发展很少有风平浪静的时候,每前进一步,都充满斗争和挫折,特别在重大突破的关键时刻,不仅会遇到世俗观念的阻碍,还会遇到数学界传统观念的排挤,数学家本人也会犯错误.天文学家兼数学家伽里略,被罗马教皇夺去了生命;解析几何的创始人笛卡尔受到教会的残酷迫害;第一个发现无理数的希伯斯被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进了大海.但是数学家们并没有被困难、挫折、诽谤所吓倒,而是充满勇气,充满创造,披荆斩棘,克服种种困难,推动数学的车轮滚滚向前.

(5)通过对数学史的学习,可以使学生更好地感知和理解数学美.提高他们的审美情趣,陶冶情操,从而更热爱数学这门学科,执迷于对数学的探索.数学美指的是数学具有简洁性、对称性、和谐性和奇异性.德国数学家弗希纳做过一次别出心裁的试验,他召开了一次“矩形展览会”,会上展出了他精心制作的各种矩形.并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形.结果矩形的长与宽之比为0.618的矩形被为是最美的矩形.0.618——“黄金比值”,这一神秘的数字,蕴涵着奇异的数学美,这一美的密码一经被人类掌握,立即成为服务于人类的法宝.艺术家们则用它创造出更加令人神往的艺术珍品;设计家利用它设计出巧夺天工的建筑;科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏0.618这一美的旋律.此外像对数螺线、裴波那契数列,哥德巴赫猜想、费马最后定理、四色问题、多阶幻方等给人以美的欢乐、醉心的向往.

(6)通过学习数学史可以使学生更好地回顾往昔,展望未来.20世纪上半叶的数学成果既然可以超过19世纪的几倍,近三十年所出现的数学分支又可超过18世纪的总和.可以预料:随着新世纪的到来,数学事业将会更神速的发展.数学分支越细,越有利于数学家在某一方向上深入发展.数学信息的繁密,更能帮助数学家了解自己研究方向上的概况.避免无效的劳动.随着计算机的飞速发展,使数学家逐步摆脱了沉重的计算负担;人工智能的不断开发,将协助数学家进行部分劳动.面对美好的数学前景,增强了学生的使命感和目标感,吸引着更多的学生献身于这一艰苦而又伟大的事业。