借助直觉思维 发展数学素养——以“长方形和正方形的认识”的教学为例

江苏南京市金陵小学（210000）

在小学数学学习中，学生从一年级开始就借助实物认识长方体、正方体、圆柱体和球体；二年级逐渐从实物中抽象出图形；到了三年级，则进一步认识长方形和正方形的基本特征，抽象出几何模型。在三年级这一阶段，图形的很多几何特征需要学生动手操作进行验证，在验证的过程中可有效培养学生的基本素养。由于三年级学生正处于从直觉思维过渡到抽象思维的阶段，因此指导学生借助直觉思维进行几何学习，是一个非常重要且有效的教学手段。

一、联系生活，激活经验

师：课前已让大家寻找身边哪些物体的面是长方形或者正方形，现在谁愿意说一说？

[评析：“让学生寻找身边物体的哪些面是长方形或者正方形”，这看似简单，其实正是要激活学生的直觉思维。教育学家第斯多惠曾经说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”让学生从自己或他人的介绍中唤醒已有的数学经验，在经验的帮助下明确长方形和正方形是物体上的一个面，从而体会面和体是不一样的。]

二、了解学情，明确重点

师：你已经知道了长方形和正方形的哪些特征？你是怎么知道的？

生1：它们都是四边形，我是通过数边知道的。

生2：它们都有四个角，我是通过数角知道的。

生3：它们的四个角都是直角，可以用三角尺来量。

生4：长方形对边相等，正方形四条边都相等，折一下就知道了。

……

师：我们通过数一数就可以知道长方形和正方形都有四条边和四个角，可是生3和生4所说的话，我们需要借助一定的工具来证明是否正确。也就是说生3和生4提出了两个“数学猜想”，我们大家需要想办法证明它们是否正确，这个想办法的过程就叫作“验证”。

[评析：关于长方形和正方形的特征，很多学生都有这样的认识：“长方形对边相等，正方形四条边都相等，这个早就知道了，为什么还要验证，什么叫验证，怎么进行验证……”如果教师一直纠结于这些偏离了本节课的教学重点的问题，那么教学时间将会远远不够，学生也不能经历“发现问题—提出猜想—进行验证”的过程；而如果教师忽视这些问题，则会大大打击学生学习数学的积极性，降低学生的学习效率。]

作为教师，我们要认识到，学生“早就知道”长方形和正方形的这些特征，这正是直觉思维的作用。但也正是因为直觉思维对学生认知的影响，学生会忽略掉“验证”这一关键步骤。因此，我们教学的首要任务并不是帮助学生按部就班地解决问题，而是激发学生的思维活力，促进学生更好地理解数学的基本知识和基本思想。考虑到以上这些情况，本节课我先请学生汇报长方形和正方形的特征。由于之前已经唤醒了学生的生活经验，这里学生会说出很多结论（当然大部分结论肯定是正确的），这些结论正是数学学习过程中最不可或缺的一部分——数学猜想。匈牙利著名数学家波利亚说过：“要想成为一名好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家。”可见，猜想对于数学学习的重要性。

三、细化操作，进行验证

在学生验证猜想的过程中，我们不难发现，他们验证“直角”非常迅速，可是验证“边相等”却有些缓慢，并且验证的过程也不太严谨。因为学生没有相应的数学经验，他们认为折一下，长方形和正方形的四条边放在一起就能知道“长方形对边相等，正方形四条边都相等”。为了避免学生走入误区，也为了让他们能够看清楚究竟哪几条边相等，教师应引导学生进行细化操作。在教学中，我采取让学生对边进行编号的方式进行验证（长方形四条边依次编号 1、2、3、4）。

师：像这样折（1号边和3号边对折），长方形的哪几条边是相等的？你是怎么知道的？

生5：1号边和3号边是相等，因为它们正好重合，而2号边和4号边被折成两半，不能马上说相等。

师：也就是说，折一次证明了几条边相等？

生5：2 条。

师：如果想证明2号边和4号边是相等，怎么做？

生5：换个方向对折。

师：所以要证明长方形对边相等，需要折几次呢？

生5：2 次。

师：要证明正方形四条边都相等，需要折几次？可以怎么折？

[评析：数学直觉是一种感觉，更是学生经验、知识与技能的再拓展。在本环节中，学生正是在数学直觉的牵引下，联想到用折一折的方法进行验证。当然，在折的过程中存在着不严谨的现象。美国加州大学的伍鸿熙教授曾强调指出：“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们（学生）很快会忘记猜测与证明之间的区别。”因此，教师要给予适时的帮助，细化操作和验证的过程，真正培养学生的数学意识和数学素养。]

四、借助实物，构建模型

对于长方形和正方形的特征，其实远不止角和边的关系，还有对角线互相平分、中心对称、轴对称等关系。那么对于这一课时的教学，应该实现怎样的教学目标呢？基于这样的思考，我启发学生利用直觉思维，让学习在操作中逐步展开。

师：刚刚我们把正方形斜着折，那么长方形可不可以斜着折呢？（学生自主动手折长方形）

师：这两个三角形大小相等吗？

生6：应该相等吧。

师：数学要严谨，可不能用“应该”这个词！怎么证明它们是否相等？

师：刚刚我们把长方形和正方形都对折了，现在把它们打开，仔细观察折痕，你发现了什么？

[评析：在这一环节，通过问题的引领，学生兴奋地实践着、操作着，也在不经意间去观察自己的活动，审视纸片上的折痕。为了更清晰直观地呈现折痕，学生会尝试将这些折痕描出来。丰富的活动和感知积累，势必会诱发学生的灵感，焕发学生的直觉思维。因此，学生很快就有所发现，更有一些学生通过用直尺量一量就发现这些折痕都被中心点平分。]

在教学中，我们要重视学生观察能力的培养，因为观察是发现的基础，也是创造的灵感源泉所在。“将长方形和正方形打开，仔细观察折痕，你发现了什么？”这个问题不但能激发学生的观察兴趣，也让学生的观察更具指向性。学生对“轴对称”获得了最直接的感悟。

爱因斯坦曾说：“真正可贵的因素是直觉。”数学直觉思维的培养是数学教学中容易被忽视但又非常重要的实践内容，教师应充分认识数学直觉思维对创造性思维发展的意义和作用，在数学教学中注意培养学生的数学直觉思维，使学生的数学素养得到有效提升。