用“五环节”模式上好《鸡兔同笼》问题

赖瑜静

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2018）12-0086

教学内容：人教版四年级下册第九单元数学广角第103—105页。

教材说明：“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。教材在四年级下册数学广角中安排“鸡兔同笼”的教学内容，其教学方法与常规课不同。因此，在教学此内容时，一方面可以通过生动有趣的古代数学问题使学生在感受我国古代数学文化的同时激发学生的民族自豪感和爱国热情，另一方面在解决问题的过程中，了解解决问题的不同方法和策略。“鸡兔同笼”问题的解法包括：列表法、假设法、方程法等。由于四年级的学生还没有学方程，因此，这里主要引导学生通过猜测、列表、假设等方法来解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理的能力。

设计理念：采用五环节课堂教学模式上好《鸡兔同笼》问题。

第一环节：创设情境，理解题意。即由生动的情境引入，激发学生的学习兴趣。首先通过富有情趣的古代课堂，引入《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，理解题目的内容及已知与所求，并激发学生解答我国古代数学问题的兴趣。

第二环节：多法探究，感受体验。即用多样化的策略和方法引导学生探究体验。让学生在经历、体验、解决问题的过程中，感悟解决问题的策略及方法的多样化。首先，将《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题数据变小，引出例1，让学生感悟化繁为简策略在解决问题过程中的作用。其次，让学生经历猜测到列表法，再到用假设法解决问题的探究过程，在这个过程中，感受解决问题的多样化。另外，在最后介绍古人的巧妙解法，拓宽学生的解题思路。

第三环节：知识应用，巩固内化。即巩固与内化对“鸡兔同笼”问题的认识，感知其在生活中的广泛应用。即配合“鸡兔同笼”问题，在教学中，应编排类似习题，例如“龟鹤算”问题等，巩固列表法、假设法等解题策略。

第四环节：拓展练习，深化提高。即编排一些生活中与鸡兔同笼问题相关的实际问题，进行深化提高。例如，购物、租船等。让学生拓展视野，实现转化，感受这类问题在日常生活中有着广泛应用。

第五环节：知识总结，学法迁移。即对全课知识，以学生为主体进行全面总结，对学到的解题方法，根据不同的情况实现快速迁移。

教育目标：

1. 知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，渗透化繁为简的思想，掌握用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。渗透培养学生合作、探究、形式逻辑思维与分析解决问题的能力。

2. 过程与方法：让学生经历猜测、探究、尝试用列表、假设等方法解决“鸡兔同笼”问题，有序建构解决“鸡兔同笼”问题的知识结构，获得自信、愉悦、成功的体验。

3. 情感态度与价值观：了解我国古代数学文化，感受古代数学问题的趣味性，借助古代解法，学习古人的科学态度，感知其应用价值，增强民族自豪感，培养爱国情怀。

教学重点：经历自主探究解决问题的过程，掌握运用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题。

教学难点：理解掌握假设法，能运用假设法解决数学问题。

教学过程：

一、创设情境，理解题意

1. 情境导入

师：同学们喜欢画画吗？（生：喜欢）老师也喜欢画画，看看老师画的是什么？（生猜的答案多样性）

师：那我想让它表达的是一种动物，它有着大红冠子花外衣，油亮脖子金黄腿，猜它是什么？（生：是鸡）恭喜你们答对了，圆形我们可以看作它的头，两条竖线可以作为它的腿。如果我给它再添加两条腿，它有可能是什么动物？（生猜的答案不唯一）都有可能，今天老师想让它代表兔子。

2. 问题理解

早在1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中就记载了一道与这两种动物有关的数学趣题——“鸡兔同笼”问题。（课件出示情境图）

师：知道这是什么意思吗？

生：笼子里关有鸡与兔，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，问鸡与兔各有几只？

师：这个问题，已知什么，求什么吗？

生：已知笼子里鸡与兔的头共35个，脚共有94只，求鸡与兔各有几只。

师：知道如何求吗？这就是本节课要探究的新知識。

自我评析：情境图的呈现，一方面借助古代数学问题让学生感知我国古代数学文化的源远流长，在感受数学文化的同时激发民族自豪感和爱国热情;另一方面，让学生经历古文字到白话文，去理解题意，明确已知与所求，为学生探究“化繁为简”的解题经历做好铺垫。

二、多法探究，感受体验

1. 列表法探究

（1）化繁为简

师：我们知道鸡有脚（生：2只），兔有脚（生：4只）这个问题如何求呢？为了使探究方便我们将已知数适当减小，再进行研究。（课件呈现例1，生同步读题：笼子里鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。问鸡和兔各有多少只？）

师：我们从简单的问题入手，看看用列表的方式能不能从中找到一些解决问题的方法，你想不想试一试？那现在可以自己思考然后4人组讨论，然后在本子上填表，开始。

（2）猜测寻找

生：填表，发现答案：3只鸡5只兔。

师：大家都同意3只鸡5只兔，对吗？哪个组来说一说你们是怎么样推算出答案来的？

生：第一组，抓住总头数8保持不变，依次逐一减少鸡头数，同时逐一增加兔头数，在变化中使总脚数等于已知条件26只脚，通过列表观察求得3只鸡5只兔;或相反推算，即逐一递增鸡头数，同时逐一减少兔头数，同样可求得3只鸡5只兔。第二组，或先估算4只鸡4只兔共24只脚，与已知条件26只脚比，少了2只，因此，可增加一只兔，减少一只鸡，就刚好26只脚，所以是3只鸡5只兔。第三组，先估算2只鸡6只兔共28只脚，与已知条件26只脚比，多了2只，因此，可减少1只兔增加1只鸡，就刚好26只脚，所以是3只鸡5只兔。

师：真厉害！对，头数不变，兔子增加1只，鸡就会减少1只，脚就会增加2只。我们把兔子增加1只，而鸡减少1只，实际就相当于把1只鸡换成1只兔。

师：反过来呢，谁来说一说看？

生：减少1只兔换成1只鸡，脚数就减少2只。

师：也就是把1只兔换成1只鸡，脚数就（生：减少2只）

师：看来这个2很重要，那么假設我要增加4只脚，那该怎么办？生：增加4只脚那就要把2只鸡换成2只兔。

师：那如果要增加10只脚呢？（生：把5只鸡换成5只兔）

师：你们是怎么算的？（生：10除以2）

师：真厉害！那如果要减少6条腿呢？（生：把3只兔换成3只鸡）

师：同意吗？看来同学们发现了鸡和兔之间隐藏的脚数的秘密。

（3）列表法界定

师：刚才我们通过总头数不变的方式进行有序列表，或跳跃式列表，通过一步一步调整，找到了这个正确的答案，我们把这种方法叫列表法。（板书：列表法）

自我评析：在教学过程中，第一层，笔者渗透化繁为简的思想，引导学生理解题意，找出隐藏条件，然后在小组中运用开放式的列表求解“鸡兔同笼”的问题。第二层，让学生在自主猜测与尝试，初步经历有序填表或跳跃式填表，抓住头数不变，再通过一组数据算出脚数，与题中脚数条件相对照，然后再做调整，直到找到正确答案为止，同时渗透函数思想。第三层，教师组织有层次的汇报和交流，意在让学生逐步清晰地认识到：鸡和兔的脚数差中有一个2或几个2，就要把一只鸡或几只鸡（或兔）换成兔（或鸡）。有了这样的感悟，对于假设法的探究就打下了良好的基础。第四层，指出列表法的本质特征。这样安排有条理，层次分明，前后呼应。

2. 假设法探究

（1）引导发现

师：请大家仔细观察这个表格，我们一块来发现？（生观察思考）

师：表格中左起第一列，8和0各代表什么？

生：就是8只鸡和0只兔，也就是假设全是鸡。（点击课件出示全是鸡的图形）

师：那实际上笼子里是不是全是鸡呢？（生：不是）这也就是把什么当作鸡来算了？

生：把兔子当作鸡来算

师：这样算会有什么结果呢？

生：脚的总数要比实际的脚的数量少10只。

师：脚的数量少了该怎么办？（师指这课件说）

生：把鸡换成兔子，应该用5只鸡换5只兔。

师：真厉害，对，每把一只鸡换成一只兔，脚数就增加2只，把5只鸡换成5只兔就增加了10只脚。

（2）感受列式

师：你们能把这个思考过程列出算式表示出来吗？请你们自己试一试。（教师巡视）

师：谁来说一说你是怎么列式的？（指名一个学生说，教师板书）

生：（26-2×8）=10;10÷（4-2）=5（只）;8-5=3（只）

综合算式：（26-2×8）÷（4-2）=5（只）;8-5=3（只）

师：你们都明白某某同学列的这些算式所表达什么意思吗？

10÷（4-2）=5这个算式的意义以及求出来的结果代表什么？

生：同学质疑或表达自己对某一步算式不明白之处，其他同学解疑，明确每一步算式的意义。10÷（4-2）=5（只）表示兔数，4-2表示每只鸡比兔少2只脚，共少10只脚，所以除得的结果5表示兔数，鸡数是8-5=3（只）。

（3）简单应用

师：我们刚才假设全是鸡的方法找到了答案，那能否假设全是兔来解决呢？

生：列式是：（4×8-26）÷（4-2）=3（只）;8-3=5（只）。

答：笼内有鸡3只;兔5只。

师：点击课件，出示全是兔的图形，对照算式进行解读，强化验证。

（4）认识假设法

师：仔细观察这两种方法，你有什么发现？相同的地方在哪里？

生：都是假设法。兔与鸡的脚数相差都是2。

师：对，都是假设法，不同之处呢？

生：假设全是鸡，脚数比实际数少;假设全是兔，脚数会比实际数多。通过脚数的相差数，用对应的方法，我们可求出鸡和兔的数量。

师：刚才我们通过假设全是鸡或兔出发，进而发现规律，求出答案的方法，我们把它叫做假设法。（板书：假设法）

自我评析：此环节是本课的重点也是本课的难点，假设法的算理对于大部分学生来说，都是比较难以理解和掌握的，所以在实施时仔细引导，层层推进，并采用画图、数形结合，再依据图与算式，让学生准确地说明算理，学会思考，学会解析，可以让学生更加直观地掌握假设法与感受它解法的优越性。

三、知识应用，巩固内化

1. 计算原题

师：同学们，我们现在回到《孙子算经》鸡兔同笼的这道原题，你们觉得用哪种方法解决更好？（点击课件）

师：为什么不用列表法？

生：数字大，要浪费比较多时间。

师：那现在你能用假设法来解决吗？来，试一试。

生：学生独立计算，教师巡查，然后叫一名学生投影自己的方法并说明解题思路。

2. 两种算法

生：假设全是鸡，0只兔，则鸡换兔，算式一：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）兔，35-12=23（只）鸡。生阐述算理（略）;假设全是兔，0只鸡则兔换鸡，算式二：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）鸡，35-23=12（只）兔。生阐述算理（略）

自主评析：运用已学的方法解决古代“鸡兔同笼”问题，有利于巩固新知，另外，还有利于创设课堂教学文化氛围，提高学生探究数学的热情，培养学生勇于实践的精神。激励每一位学生成为现代版的孙子，增强学生的民族自豪感，培养爱国情怀。

四、拓展应用，深化提高

1. 拓展典题

师：呈现内容：（1）日本的“龟鹤算”问题：龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？（2）日常生活中相关问题：全班共有38人去公园游玩，要租8条船，大船每条船坐6人，小船每条船坐4人，每条船都坐满了，请问大小船各租了几条？

2. 解答深化

生：在组内完成，可相互帮助。

第一题，方法一：设全是龟，0只鹤，则龟换鹤算式：（4×40-112）÷（4-2）=24（只）鹤;40-24=16（只）龟

方法二：设全是鹤，0只龟，则鹤换龟算式：（112-2×40）÷（4-2）=16（只）龟;40-16=24（只）鹤

第二题，方法一：全部租大船，0個小船，则大船换小船数算式：（6×8-38）÷（6-4）=5（条）小船;8-5=3（条）大船

方法二：全部租小船，0个大船，则小船换大船数算式：（38-4×8）÷（6-4）=3（条）大船;8-3=5（条）小船

师：第二题，如何转化成鸡兔同笼问题？

生：将租船数8看作头数，大船载人数看作6只脚，小船载人数看作4只脚，人数38看成总脚数，大船与小船脚数差2，就可用鸡兔同笼法解答了。

3. 介绍《孙子算经》中的算法（书本p105）：（学生在课后可以点击课件）

（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数去掉了一半，还有 94÷2=47只脚。（2）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差 47-35=12，就是兔子的只数。

古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。

自主评析：从“鸡兔同笼”问题到日本“龟鹤算”问题再到生活实际问题，它们实际上都是同一类型的题，虽然很多生活实际问题里没有出现“鸡和兔”，但解决问题关键在于在 理解题意时找准题中把什么比喻成“鸡、兔、鸡兔头数总和以及腿相差数”，再运用所学方法解决生活中的实际问题，因此，在拓展题教学中，应着重抓转化去深化认识。最后安排介绍《孙子算经》中鸡兔同笼的算法，一则显示我们祖先的智慧，另则让学生在课外阅读中进一步拓展视野，学到祖先另类的算术解法。

五、知识总结，学法迁移

师：同学们，一节课总是很短暂，在这短短的四十分钟里你们有什么收获？

生1：以后碰到复杂的问题，我们可以像今天一样先通过化繁为简的策略去解决，也就是可以先从简单的问题入手，找到解决问题的方法 。

生2：我学会了用列表法和假设法来解决“鸡兔同笼”问题。

生3：数字比较大的时候用列表法时要不断调整，会比较浪费时间，这时用假设法会更快更优。

生4：我注意到了用假设法解决问题时，如果假设全是鸡，那么脚数比实际脚数少，用比实际脚数少的数除以4减去2的差求出来的是兔子的只数，为什么不是鸡的只数呢？因为我们是假设全是鸡，脚数少了，是要用鸡换成兔，脚数才会和实际脚数相符，所以求出来的是兔，不是鸡。最后再用鸡兔总数减去兔得到鸡的只数。

生5：同理，假设全是兔，那么脚数会比实际脚数多，用比实际脚数多的数除以4减去2的差求出来的是鸡的只数。

生6：在生活中好多的问题我们都可以用“鸡兔同笼”的方法去解决。

自主评析：这个环节，以学生为主体，全面的总结本节所学知识与学法，可使学生对知识的建构更加系统，对知识的调用与迁移更加明白。

（作者单位：广东省珠海市珠海高新区唐家小学 519000）